2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共40页。

\l "_Tc4504" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4504 \h 2
\l "_Tc10478" 题型一：等差型 PAGEREF _Tc10478 \h 2
\l "_Tc18587" 题型二：无理型 PAGEREF _Tc18587 \h 4
\l "_Tc11447" 题型三：指数型 PAGEREF _Tc11447 \h 5
\l "_Tc6765" 题型四：通项裂项为“”型 PAGEREF _Tc6765 \h 7
\l "_Tc6365" 三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练 PAGEREF _Tc6365 \h 8
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
类型二：无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列；
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
3．（23-24高二下·上海·期中）已知数列满足，，数列满足，．
(1)求证：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设数列满足.
(1)证明：为等差数列；
(2)若数列的前项和为，证明：.
题型二：无理型
1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）设数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，求；
(3)证明：．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式及；
(2)设______，求数列的前n项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（23-24高二下·云南·开学考试）在等差数列中，，是和的等比中项．
(1)求的公差；
(2)若数列的前项和为，且，求.
4．（23-24高三上·山西阳泉·期末）已知数列的前项和为，点在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
题型三：指数型
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知首项为1的数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
2．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围．
3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知为正项数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
4．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设数列的前项和为，为等比数列，且，，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，数列的前项和为，证明：．
5．（2024·河南南阳·一模）已知数列，若.
(1)求证：数列是等比数列;
(2)若数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.
题型四：通项裂项为“”型
1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．
(1)证明：是单调递减数列．
(2)求数列的前项和．
2．（23-24高二下·安徽·开学考试）已知在数列中，．
(1)证明是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求的前n项和.
4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)已知数列，求数列的前项和．
5．（2024·云南昭通·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练
1．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（23-24高二下·云南·阶段练习）已知数列中，为的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
3．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足．
(1)计算，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
4．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列满足
(1)求证: 为等比数列；
(2)数列的前n项和为，求数列 的前n项和.
8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正项数列，满足．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
9．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列为等差数列，数列满足，若，，成等比数列，且．
(1)求，；
(2)求数列的前n项和．
10．（23-24高三上·云南德宏·期末）在等差数列与等比数列中，已知，，且，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为．求证：．
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项积为．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
专题06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29301" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc29301 \h 1
\l "_Tc4504" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4504 \h 2
\l "_Tc10478" 题型一：等差型 PAGEREF _Tc10478 \h 2
\l "_Tc18587" 题型二：无理型 PAGEREF _Tc18587 \h 5
\l "_Tc11447" 题型三：指数型 PAGEREF _Tc11447 \h 9
\l "_Tc6765" 题型四：通项裂项为“”型 PAGEREF _Tc6765 \h 13
\l "_Tc6365" 三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练 PAGEREF _Tc6365 \h 18
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
类型二：无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，两式相减由累乘法可求出的通项公式；
（2）求出，由裂项相消法可求出数列的前项和.
【详解】（1）因为，令得，
因为，
所以，
两式相减得，
即．
所以，
所以，
即，
所以当时，，
又，所以．
（2）由（1）可得，
所以.
2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列；
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设出数列的公差，再由已知列出方程组，求出即可得解.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法计算推理即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，
得，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，
，由恒成立，得数列单调递增，因此，
所以.
3．（23-24高二下·上海·期中）已知数列满足，，数列满足，．
(1)求证：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求的通项公式，进而求出的通项公式；
（2）根据累乘法求出，再求出，根据的通项公式特征，采用裂项法求其前项和，求单调性并求其范围即可求出的范围．
【详解】（1）因为，，两边同时除以可得：
，从而，，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，
则；
（2）由，，
所以，则，
所以，
所以
则，
因为中的每一项，所以为递增数列，
所以，因为，
所以，即实数的取值范围为.
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设数列满足.
(1)证明：为等差数列；
(2)若数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对递推公式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）根据（1）中所证求得，再根据裂项求和法求得，进而适度放缩即可证明.
【详解】（1）证明：因为，所以，即.
因为，所以是首项为2，公差为3的等差数列.
（2）由（1）可知，所以.
因为，
所以.
因为，所以，故.
题型二：无理型
1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）设数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，求；
(3)证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求出结果；
（2）根据（1）得到，再利用裂项相消法，即可求出结果；
（3）利用，即可证明结果.
【详解】（1）因为①，当时，②，
所以①②得到，即，
又，满足，所以.
（2）因为，
所以.
（3）因为，
所以，
即.
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式及；
(2)设______，求数列的前n项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，；
(2)答案见解析
【分析】（1）设出等差数列的公差，由题意列方程求出首项和公差，即可求得答案；
（2）不论选①、选②还是选③，都要利用（1）的结果，可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.
【详解】（1）由题意知等差数列的前n项和为，，，
设公差为d，则，解得，
故，；
（2）若选①，则，
故；
若选②，则，
故；
若选③，则，
故.
3．（23-24高二下·云南·开学考试）在等差数列中，，是和的等比中项．
(1)求的公差；
(2)若数列的前项和为，且，求.
【答案】(1)0或2
(2)12或3
【分析】（1）根据是和的等比中项列出关系式，可得或；
（2）当时，为常数列，可得，进而可得；
当时，，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）由题意得，因，得，解得或．
（2）当时，，则，所以．
当时，，
则，
所以．
故或．
4．（23-24高三上·山西阳泉·期末）已知数列的前项和为，点在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解；
（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为点均在二次函数的图象上，
可得，则有：
当时，；
当时，；
且也符合，所以．
（2）由（1）可得：，
所以
，
所以.
题型三：指数型
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知首项为1的数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由，变形为，结合求解；
（2）由，利用裂项相消法求解.
【详解】（1）解：由题意可得，
即，
则有，又，
因此是常数列，
即，则；
（2）设，
，
所以，
，
故．
2．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）降次作差即可得到，再根据等比数列的通项公式即可得到答案；
（2）裂项求和得到，再计算出的范围即可得到的范围.
【详解】（1）时，，即，所以.
时，，
所以，即，
因为，所以，
所以是首项为1公比为2的等比数列，
所以.
（2）由(1)得，
所以.
显然是递增数列，且，
所以，即，
所以，解得.
实数的取值范围是.
3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知为正项数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用变形整理可得数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由题意知：且，
两式相减，可得，
，可得，
又，当时，，即，
解得或（舍去），所以，
从而，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由，
可得
，
所以.
4．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设数列的前项和为，为等比数列，且，，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由等差数列以及等比数列的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）可得，结合裂项相消法代入计算，即可证明.
【详解】（1）因为，，成等差数列，即，
又为等比数列，则也成等比数列，
则，联立解得，
则数列的公比为，即，所以，
当时，，
且也满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，且，
则，记，
则，
则，
因为，所以.
5．（2024·河南南阳·一模）已知数列，若.
(1)求证：数列是等比数列;
(2)若数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义即可得证；
（2）结合（1）中结论，利用裂项相消法求得，从而将恒成立不等式转化为，再利用对数函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，所以 ，
又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）易知，
所以，
所以，则恒成立，
所以要使不等式对任意正整数恒成立，只须 ，
由题意可得且，则，所以，解得，
所以，即实数的取值范围是.
题型四：通项裂项为“”型
1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．
(1)证明：是单调递减数列．
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系依次求出，，再利用作商法可确定数列的单调性.
（2）先对通项分母有理化，再分奇偶进行讨论求解.
【详解】（1）证明：当时，，得．因为，所以．
当时，，则，
所以，即．
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
因为为正项数列，所以．
当时，，也适合该式，所以．
因为，且，所以是递减数列．
（2）解：由已知得：，
当为偶数时，，
当为奇数时，
，
所以，
2．（23-24高二下·安徽·开学考试）已知在数列中，．
(1)证明是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由题中递推数列化简为，从而可求解.
（2）由（1）结论可得，再利用裂项相消求和从而可求解.
【详解】（1）因为，由题意知，
所以，即，
故数列是以为公差的等差数列．
又，所以，
所以，即．
（2），
则，
．
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求的前n项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）由等比数列的定义、等差数列基本量的计算即可得解；
（2）由裂项法求和结合对分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
又因为，解得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）由题意，
若，
则，
若，
则，
所以的前n项和.
4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)已知数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据和的关系、等比数列的定义即可解答.
（2）利用裂项相消求和法即可求解.
【详解】（1）由，，
当时，，即；
当时，，整理得，即.
，
当时上式也成立.
数列是以首项，为公比的等比数列，
则，即.
（2），
.
5．（2024·云南昭通·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由题意构造出形式即可得；
（2）借助裂项相消法求和即可得.
【详解】（1）因为，且，
所以，即，
又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以；
（2）由（1）知，所以，
所以
，
故.
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练
1．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式；
（2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.
【详解】（1）当时，由，即，解得：，
所以，则数列为首项为，公差为的等差数列；
所以，则，
当时，，
当时，满足条件，
所以的通项公式为
（2）由（1）知，，
所以，
故，
即
2．（23-24高二下·云南·阶段练习）已知数列中，为的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，推得，且，得到是等比数列，即可求得数列的通项公式；
（2）方法一：由（1）求得，结合裂项相消法求和，即可求解；
方法二：由（1）求得，分为奇数和为偶数，结合相消法求和，即可求解.
【详解】（1）解：由数列中，为的前项和，，
当时，，两式相减得，
可得，当时，，则，
所以是等比数列，首项为3，公比为3，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）解：方法一：由（1）知，
可得
，
所以
.
方法二：由，
当为奇数时，
当为偶数时，
所以数列的前项和.
3．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足．
(1)计算，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）由，可得，可得，法一：可得为常数列，可求数列的通项公式；法二：可得，利用累乘法可求数列的通项公式；
（2）由（1）可得，进而可求的前项和.
【详解】（1）由题可知，，得，
由，得．
由已知，
可得，
两式相减得．
解法一：
整理得：．
又满足上式．
从而对均成立．
因此为常数列，
即有，故．
解法二：
整理得：．
又满足上式．
故．
即．
当时符合上式，故．
（2）由（1）可知．
．
因此
=.
4．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列满足
(1)求证: 为等比数列；
(2)数列的前n项和为，求数列 的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）变形给定等式，再利用等比数列定义判断得解.
（2）由（1）求出数列的通项公式及前n项和，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）数列中，，则，
而，即，
所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列..
（2）由（1）知，，，，
，
所以数列 的前n项和.
5．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，求得，再证明即可.
【详解】（1）因为，所以又，
所以，
所以是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
所以
，又，
所以.
6．（2024·浙江·二模）已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系求通项公式即可；
（2）裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）由①
所以当时，②
①②得：，整理得：，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
7．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组，即可解出首项和公差，进而求出的通项公式；
（2）将化简，利用裂项相消法求和，即可得，从而判断.
【详解】（1）设的公差为，由题意得，
即，解得，
所以.
（2），
所以，
因为，所以，即.
8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正项数列，满足．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
（2）根据（1）求出，利用裂项求和法求得结果.
【详解】（1）由，可得，，
两式相减得，又，
，即，，又，解得，
所以数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，
.
（2）由（1），，
所以
.
9．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列为等差数列，数列满足，若，，成等比数列，且．
(1)求，；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式及等比中项的性质列方程组求解即可；
（2）利用裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，又，
由，得，解得，
又，
因为，，成等比数列，
所以，解得，
所以，；
（2）由（1）得，
所以.
10．（23-24高三上·云南德宏·期末）在等差数列与等比数列中，已知，，且，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
【详解】（1）由，则．又，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以．
所以．
（2）因为，
所以，
所以．
当为奇数时，．
当为偶数时，是递增数列，所以．
综上，
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项积为．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)（或）
【分析】（1）由前项积定义可得，再由等差数列定义即可得出证明，并求得数列的通项公式为；
（2）利用裂项相消法求和，对的奇偶进行分类讨论即可得.
【详解】（1）由题意得当时，．
因为，所以，解得以．
当时，，即，因此．
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
可得．
所以．
（2）由题意知
．
当为偶数时，
；
当为奇数时，
．
所以（或）