2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题10数列求和(插入新数列混合求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题10数列求和(插入新数列混合求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共34页。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9065" 一、典型题型 PAGEREF _Tc9065 \h 1
\l "_Tc29341" 题型一：插入新数列构成等差 PAGEREF _Tc29341 \h 1
\l "_Tc811" 题型二：插入新数列构成等比 PAGEREF _Tc811 \h 4
\l "_Tc30514" 题型三：插入新数混合 PAGEREF _Tc30514 \h 5
\l "_Tc2426" 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 PAGEREF _Tc2426 \h 7
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
1．（23-24高二下·陕西汉中·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
(3)若对于任意，数列的前项和恒成立，求实数的取值范围．
2．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
3．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
5．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和．
题型二：插入新数列构成等比
1．（2024·湖北武汉·二模）已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由.
3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
4．（2023·吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
题型三：插入新数混合
1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足（，）.
①试确定实数的值，使得数列为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列的前项和，对任意正整数，有 ，且 .
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和.
3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求；
(3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．
4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和.
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
1．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，为等比数列，且，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项，构成如下的新数列；，记该数列的前n项和为，求．
4．（2024高三·江苏·专题练习）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
7．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
8．（2023·全国·模拟预测）已知正项递增等比数列满足是方程的两根．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为，规律是在和中间插入k项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，求数列的前60项的和．
9．（21-22高三上·贵州黔东南·期末）已知等比数列满足，且成等差数列，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前2n项和．
10．（23-24高三上·江西·期中）已知是正项数列的前项和，满足，.
(1)若，求正整数的值；
(2)若，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列，即为，求的前30项的和.
专题10 数列求和（插入新数列混合求和）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9065" 一、典型题型 PAGEREF _Tc9065 \h 1
\l "_Tc29341" 题型一：插入新数列构成等差 PAGEREF _Tc29341 \h 1
\l "_Tc811" 题型二：插入新数列构成等比 PAGEREF _Tc811 \h 8
\l "_Tc30514" 题型三：插入新数混合 PAGEREF _Tc30514 \h 11
\l "_Tc2426" 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 PAGEREF _Tc2426 \h 15
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
1．（23-24高二下·陕西汉中·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
(3)若对于任意，数列的前项和恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得证，再由等比数列通项公式计算可得；
（2）依题意可得则，利用错位相减法计算可得；
（3）依题意可得（）恒成立，令，利用作差法判断的单调性，即可求出的最小值，即可得解．
【详解】（1）因为①，
当时，，所以．
当时，②，
由①－②得，即，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，故．
（2）因为，所以，
解得，所以．
所以，
，
两式相减得
，
所以．
（3）由于对于任意，恒成立，即恒成立，
等价于的最小值大于．
令，则，
所以数列是递减数列，故数列中的最大值为，
所以的最小值为，所以当对于任意恒成立时，．
2．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解；
（2）利用等差数列的通项公式即可得解.
【详解】（1）因为，
当时，，所以，
当时，，
所以，整理得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为;
（2）因为，
由题意得：，即，
所以.
3．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在，
【分析】（1）根据的关系式可得是首项为1，公比为的等比数列，再根据可分别对的奇数项和偶数项分别求通项公式可得；
（2）（i）利用定义可求得新插入的数列公差，求得并利用错位相减法即可求出；
（ii）求得，易知对于任意正整数均有，而，所以不是数列中的项；又，分别对其取值为时解方程可求得.
【详解】（1）由①，当时，②，
得，
当时，，
是首项为1，公比为的等比数列，故，
由③.由
得，又④.
④-③得，
的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得.
综上可得；
（2）（i）在和之间新插入个数，使成等差数列，
设公差为，则，
则.
⑤
则⑥
⑤-⑥得：，
所以可得
（ii）由（1），又，
由已知，
假设是数列或中的一项，
不妨设，
因为，所以，而，
所以不可能是数列中的项.
假设是中的项，则.
当时，有，即，
令，
当时，；
当时，，
由知无解.
当时，有，即.
所以存在使得是数列中的第3项；
又对于任意正整数均有，所以时，方程均无解；
综上可知，存在正整数使得是数列中的第3项.
【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项时，关键是限定出，再对数列的取值范围进行限定可得不是数列中的项，再由只能取得正整数可知只需讨论或有无解即可求得结论.
4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据递推关系可得，从而可得公比，故可求首项从而得到通项公式；
（2）先求出的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列.
【详解】（1）因为，故，故，
而为等比数列，故其公比为，
又，故，故，
故.
（2）由题设可得，
若数列中存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列，
则，因为等差数列，
故即，故，
故即，这样不同矛盾，
故数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列.
5．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，作差得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式；
（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，
当时，解得，
当时，
所以，即，
所以，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）因为，，
所以，
所以，则，
所以
.
题型二：插入新数列构成等比
1．（2024·湖北武汉·二模）已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）利用等比数列定义，根据将，代入构造方程组解得，，可得数列的通项公式；
（2）假设存在，，成等比数列，由，，成等差数列可得，且，解得，与已知矛盾，因此不存在这样的3项.
【详解】（1）由题意知当时，①
当时，②
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列，确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式；
（2）根据等差数列的定义出，假设存在满足条件的三项、、（其中、、成等差数列），由已知可得出，根据等比数列的定义可得出，化简得出，再利用作差法推出矛盾，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为数列满足，，
则当时，，且，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，，故.
（2）解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，
假设数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，
则，即，即，
由已知可得，所以，，
事实上，
，
即，矛盾，假设不成立，
故不存在这样的三项、、成等比数列.
3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由，得，两式相减化简可得是以为首项，为公比的等比数列，从而可求出通项公式，
（2）由题意可得，假设存在这样的三项成等比数列，则，结合已知化简可得结论.
【详解】（1）由①
得时②
①-②得，①中令得，
是以为首项，为公比的等比数列，，
（2）
假设存在这样的三项成等比数列，
为递增数列，不妨设，
则
则，
成等差数列，
，，
由，得，所以，与题设矛盾
不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.
4．（2023·吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用项与和的关系即可求解；
（2）先确定数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，再利用分组求和的方法即可求解.
【详解】（1）当时，，解得（舍去），
由得时，，
两式相减得，
因为，所以，
所以是等差数列，首项为4，公差为3，
所以；
（2）由于，
因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，
所求和为.
题型三：插入新数混合
1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足（，）.
①试确定实数的值，使得数列为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意，推得，再求得，得到数列为等比数列，即可求解；
（2）①根据题意，求得的值，结合，求得，即可求解；
（2）根据题意，得到必是数列中的某一项，求得，结合，得出，进而求得的值.
【详解】（1）解：因为在数列中，，
当时,，
两式相减得，可得，
又因为时,，可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故.
（2）①当时，可得，当时，得，当时,得，
因为数列为等差数列，可得，可得，
当时，由，可得，
又由，当时，数列为等差数列；
②由题意知，
则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，则，理由如下，
从而必是数列中的某一项，
则
，
又因为，所以，
即，所以，
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解，
即当时，，不合题意,舍去；
综上所述,满足题意的正整数仅有.
2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列的前项和，对任意正整数，有 ，且 .
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项；
（2）考虑到，，从而确定的前91项中有87项来自，其他4项由组成，由此分组求和．
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由，所以，
又，所以前91项中有87项来自.
所以故
.
3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求；
(3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用条件计算等差数列、等比数列的基本量即可；
（2）利用错位相减法计算求和即可；
（3）利用裂项相消法及分组法计算求和即可.
【详解】（1）由已知，得，解得，
；
（2）记，
所以，
，
作差得：
，
；
（3）由（1）得，
则，
所以
.
4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推公式求出，从而求出，再验证从而可求解.
（2）分析数列前项中，各有多少项，然后再利用分组求和即可求解.
【详解】（1）由题意知当时，，
当时，，即，
所以数列为等比数列，且，当时，也满足，
所以数列的通项公式为.
（2）由题知，由（1）知，在数列中（含）前面共有：
项，
由，，解得，
所以数列前项中含有数列的前项，含有数列的前项，
所以
.
【点睛】关键点点睛：（2）问中的关键是计算出在数列中前100项中包含数列，的项数，利用分组求和法从而可求解.
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
1．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）根据等比数列求和公式化简得出公比即可求出通项公式；
（2）根据题意可以先分组求和，再并项后利用错位相减法求，分析可知，只需比较与大小即可得解.
【详解】（1）因为，所以，解得，
所以.
（2）因为
所以，
，
所以，
两式相减得：
，
所以，
易知随着增大而增大，
当时，，
当时，，
而
综上，的最小值为.
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用求解即可.
（2）依题意可知，插入数列后，与所构成的数列为，，，，，，，，，，结合等差数列前n项和公式及错位相减法求和即可求得结果.
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，即，
所以，
当时，符合，
所以；
（2）依题意，，
，
，
︙
．
所以，
即，①
则，②
由①②可得，，
所以．
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，为等比数列，且，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项，构成如下的新数列；，记该数列的前n项和为，求．
【答案】(1)
(2)5528
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由题意列出方程组，求出的值，即可求得答案；
（2）确定新数列中，项（含）之前共有项，解可确定新数列的前70项中，含有中的前11项，含有中的前59项，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，，，得，
解得，故；
（2）由题意可知新数列中，项（含）之前共有项，
令，由于，则，此时时，，
即新数列的前70项中，含有中的前11项，含有中的前59项，
故
.
4．（2024高三·江苏·专题练习）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
【答案】(1)，
(2)11522
【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；
（2）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可．
【详解】（1）
由
得：
∵
则是首项，公差为2的等差数列，∴，
又当时，得，
当，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，∴，∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
（2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；
∴．
5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列前四项和为30，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．
①若，求；
②若，求．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）由等比数列性质列方程求得公比首项即可得解.
（2）①首先得，进一步，，结合等差数列求和公式即可得；②直接由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解.
【详解】（1）设的公比为，则：，
则，所以．
（2）①在和之间插入个数、、、，
使、、、、、成等差数列，设其公差为，
此数列首项为，末项为，
则，，
则，
②，
则，
，
则，
故：．
6．（23-24高二上·广东江门·期末）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一，由已知条件得，求得公比，代回求得得解；解法二，由与的关系将条件式转化得，求得公比，得解；
（2）由（1）将代入运算得，代入得，利用错位相减法求解.
【详解】（1）解法一：设等比数列的公比为，
，
时，，时，.
，，
，，
.
解法二：，
，
两式相减得：，
即，
为等比数列，设公比为，则，
，
时，，即，
，
，
.
（2）由（1）得，由题得，
，
，
，
两式相减得
，
所以.
7．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的性质列方程组，解方程，求出，即可得出答案；
（2）由（1）求出，再由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意，，，
，
又在正项等比数列中，，，
故.
（2）因为，所以，
令，其前项和为
，
，
所以
，
所以，所以.
8．（2023·全国·模拟预测）已知正项递增等比数列满足是方程的两根．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为，规律是在和中间插入k项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，求数列的前60项的和．
由于，解得，所以，则.
（2）由（1）得，则，
所以，
所以
.
10．（23-24高三上·江西·期中）已知是正项数列的前项和，满足，.
(1)若，求正整数的值；
(2)若，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列，即为，求的前30项的和.
【答案】(1)364
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合的关系可推得.结合已知即可得出，然后根据已知，结合换底公式可得出，代入求解即可得出答案；
（2）根据已知分析数列的构成，前30项中取自数列数列中有7项，数列中有23项，进而即可分组，求解计算，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，当时，
有.
又因为，，
所以有.
又时，也满足.
所以，是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，.
又，所以.
又
，
所以，，
所以，，
即，即，
解得，.
（2）由已知可得，数列中，项及以前共有项，
其中数列中有项，数列中有项.
且，，
即数列中，项及以前共有28项，其中数列中有7项，数列中有21项.
所以，，.
所以，的前30项的和
.