江苏省苏州市苏州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试卷

这是一份江苏省苏州市苏州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
总分：150分 时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为
A. B.C.D.
2.“”是“直线和直线平行”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
3.在四面体中，，，，为△ABC的重心，在上，且，则（ ）
A. B. C.D.
4.已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（ ）
A.B. 48C. 36或48D. 或48
5.若直线与直线的交点在第一象限，则直线的倾斜角取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A． B． C．4 D．2
7.如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
8.如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．
9.下列说法正确的是（ ）
A.若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C.当点到直线的距离最大时，的值为
D.已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
10.已知点，，且点在直线：上，则（ ）
A.存在点，使得 B.存在点，使得
C.的最小值为 D.若，则的最小值为2
11.如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B.存在线段，使平面平面
C.G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小
D.若平面与棱有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量.若,则的值是________.
13.的顶点坐标分别为、、则角的平分线所在的直线方程为________.(用一般式表示)
14.直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．
四.解答题
15.（13分）已知平面内两点，．（直线方程最后结果用一般式表示）
(1)求过点且与直线垂直的直线的方程；
(2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程；
(3)已知直线过点，且点到的距离为，求直线的方程．
16.（15分）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱
,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
（15分）在斜三棱柱中，，，.
证明：在底面上的射影是线段的中点；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
18.（17分）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，.
(1)若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；
(2)若，求的面积的最大值；
(3)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.
19.（17分）如图，直角梯形ACDE 中,、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点．
(1)证明：MN∥平面A'BE；
(2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面NBM与平面BEDC 夹角的正切值．
参考答案和解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为
A．B．C．D．
【解答】解：直线的倾斜角为，
则，
直线的倾斜角为，
直线的斜率为，
直线在轴上的截距为3，
直线的方程为，即．
故选：．
2.“”是“直线和直线平行”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【分析】分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围．
【解答】解：当时，两直线分别为：，，
两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则
或，
综上所述，是两直线平行的充分不必要条件．
故选：．
3. 在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】延长交于点，则点为的中点，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，，，
所以，
故选：C.
4．已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（ ）
A．B．48C．36或48D．或48
【答案】D
【解析】将改写为，
因为两条直线平行，所以．
由，解得或，
所以或48．
故选：D.
5．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为直线恒过点，
直线与坐标轴的交点分别为，
直线的斜率，此时倾斜角为；
直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：B.
6.如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）

A．B．C．4D．2
【答案】C
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
7. 如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
取的中点为，连接
因，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
8. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，
以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
因正三棱柱的所有棱长均为1，则，
，因动点P在线段上，则令，
即有点，，，，
因此点P到直线的距离
，当且仅当时取等号，
所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
故选：C
二．多选题
9.下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．当点到直线的距离最大时，的值为
D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
【答案】ACD
【详解】对于A选项，若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，A对；
对于B选项，方程表示过点，且斜率为的直线，但不包括直线，B错；
对于C选项，将直线方程变形为，由可的，
所以，直线过定点，
当直线与垂直时，点到直线的距离最大时，
因为，则，C对；
对于D选项，如图，
，，所以由图可知，或，
则斜率的取值范围是，D对.
故选：ACD.
10．已知点，，且点在直线：上，则（ ）
A．存在点，使得B．存在点，使得
C．的最小值为D．若，则的最小值为2
【答案】BCD
【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，
，与不垂直，同理时与不垂直，
当且时，，
若，则，
去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；
对于B：设，若，则，
即，由，所以方程有解，
则存在点，使得，故B正确；
对于C：如图设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；

故选：BCD
11．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是（ ）．
A.三棱锥的体积为定值．
B.存在线段，使平面平面．
C.G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小．
D.若平面与棱有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是．
【答案】ACD
【解析】易知侧面，所以上的点到侧面的距离始终不变，
即正方体的棱长2，而对于三棱锥的体积，故A正确；
如图所建立的空间直角坐标系，则,
可设，则，
设平面的一个法向量为，则，
取，即，显然，
若平面平面，则，
此时G不在线段上，即B不成立；
易知，设直线与所成角为，
则，
显然时，，即取得最小值，此时，故C正确；
如图所示，要满足题意需G靠C近些，过G作，延长交延长线于I，
连接IN交AB于M，设，易知，
所以，
由，所以D正确；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量5，，1，2)，若平面ABC，则x的值是______．
【答案】
【详解】平面，
存在事实，使得，
，解得．
故答案为．
13.△ABC的顶点坐标分别为A(4，3)，B(-2，-5)，C(8，0)，则角A的平分线所在的直线方程为________.
14．直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．

【答案】/
【详解】
取交点于点，
因为直四棱柱的所有棱长都为，
所以，
以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
所以A3,0,0，，，，
，，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则有，令，则，，所以，
因为点在四边形及其内部运动，所以设，，
又因为，所以，
即，则，
设点到平面的距离为，则有，
又因为，所以时，，
即点到平面的距离的最小值为 .
故答案为：.
四.解答题
15．已知平面内两点，．
(1)求过点且与直线垂直的直线的方程．
(2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
（3）已知直线l过点A,且点B到l的距离为4，求直线l的方程．
【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即．····································5分
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即．
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点在直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，·······························10分
所以点坐标为或，
则直线的方程为或．···············13分
（3）或
16. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
【小问2详解】
设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
17.在斜三棱柱中，，，.
(1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点；
(2)求直线AC1与平面所成角的余弦值．
【详解】（1）法一：取线段的中点，连接，
由题意，故，则，于是，
而，则，为等边三角形且为的中点，故，
∵，且面，则面，面，
∴，
∵且为的中点，
∴，又，，且面，
∴面，面，则，
又，且面，
∴平面，即在底面ABC上的射影是线段BC中点M；
法二：取线段的中点，设，，，
由题意得，，故，
由，故，则，
∵，，
∴，代入化简，得，
∵，∴，即，
同理，又，面，
∴平面，即在底面ABC上的射影是线段BC中点M；
（2）法一：设，作平面，连接，

则即为直线AC1与平面所成角，
在中，，，，
∴，
由（1）得，，∴，
，由（1）易知：平面与之间的距离为1，
由，则，解得，
在中，，
，直线AC1与平面所成角的余弦值为.
法二：如图，以M为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，故，
设面的法向量，则，令，即，
又，
设线AC1与面所成角为且，则，
，直线AC1与平面所成角的余弦值为.
18．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，.
（1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率；
（2）若，求的面积的最大值；
（3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.
【解析】解：（1）因为O为坐标原点且，则所在直线方程为，
当直线斜率不存在时，直线方程为，点B坐标为，
的面积为，
当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得，
令，解得，
联立，可得，
由得或，由得或，所以或．
所以的面积
令，则，
则
因为，所以当时，面积最小，
此时，即，则，所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为.
（2）下面用弧度表示角，设，则，
由正弦定理得，
所以，
因此
当即时，的面积的最大，最大值为.
（3）因为，所以，
所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为（①），
当直线斜率存在时，即时，直线方程为，
整理可得（②）（①满足②，所以对②都成立），
同时除以得③，
又因为，所以代入③整理得
，对于任意都成立，
所以，解得，
所以直线过定点，定点坐标为.
19．如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点．
(1)证明：MN∥平面A'BE；
(2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值．
【详解】（1）取的中点，的中点，由题意知，，
直角梯形中，四边形为正方形，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
平面，不在面内，
平面.····································6分
（2）连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，面，
平面，
，··············8分
，，
，∵二面角为锐二面角，为等边三角形，
则，
设为平面的法向量，易知为平面的法向量，
，令··································12分
设平面与平面的夹角为，
，
平面与平面的夹角的正切值为.····································17分