【考题猜想】专题03 条件概率与事件独立性常考题型归类-高二数学下学期期末考点大串讲试卷（人教B版2019选择性必修第二册）

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一．条件概率的计算
1．（23-24高二下·北京·期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】记事件，包含的基本事件数是，，，共3个基本事件，
事件，包含的基本事件数是，，共2个基本事件，
所以．故选：D.
2．（23-24高二下·福建漳州·月考）抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子，记事件：“甲骰子的点数大于4”，事件：“甲、乙两骰子的点数之和等于8”，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知事件为甲骰子的点数大于4，且甲、乙两骰子的点数之和等于8，
则事件包含的基本事件为，
而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有36种情况，所以，
因为甲骰子的点数大于4的有5，6两种情况，所以，
所以，故选：C
3．（23-24高二下·四川眉山·月考）现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知事件发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，
个数为,
事件同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，
故.故选：D.
4．（23-24高二下·广西柳州·期中）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，
所以，，
所以．故选：B.
5．（2024·贵州毕节·三模）某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设为“第次按对密码”（），
则事件 “不超过2次就按对”可表示为，
记“密码的最后一位数字是奇数”为事件，
由条件概率的性质可得.故选：C.
二．条件概率的性质及应用
1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，，由，是互斥事件知，，
所以，故选：A．
2．（23-24高二上·全国·课后作业）下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由条件概率公式知，
但是不一定等于，所以选项A错误；
根据条件概率的性质可知，所以选项B错误；
由条件概率公式可得出，所以选项C正确；
由条件概率公式可得出，所以选项D错误.故选：C
3．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
又，，故C错误；
，，，故A正确；
，，故B正确；
，故D正确.故选：C.
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则 A，B对立
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
【答案】C
【解析】对A，，故A错误；
对B，若A，B对立，则，反之不成立，故B错误；
对C，根据独立事件定义，故C正确；
对D，若A，B互斥，则，故D错误；故选：C
5．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）（多选）设为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则可能不相互独立
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A选项，根据条件概率公式及，
得，即，所以，、相互独立，A错；
对于B选项，由A知，当时，，
所以，，B对；
对于C选项，由，得，
所以，即也成立，C对；
对于D选项，，
，所以，，D对.故选：BCD．
三．全概率公式的应用
1．（23-24高二下·广东东莞·期中）袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，
事件：表示第2次取到黑球，
于是，，
则.故选：B
2．（23-24高二下·江苏淮安·月考）某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ）
A．0.155B．0.175C．0.01D．0.096
【答案】B
【解析】设事件表示被保险人是“谨慎的”，事件表示被保险人是“一般的”，
事件表示被保险人是“冒失的”，
则依题意可知：
又设事件表示被保险人在一年内发生事故，
则
再由全概率公式得
.
故选：B.
3．（23-24高二下·山西忻州·月考）某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】用事件，分别表示甲参加，两种抽奖活动，表示甲中奖，
则，，，，
由全概率公式得，
所以甲参加抽奖活动中奖的概率．故选：D
4．（23-24高二下·北京顺义·期中）从甲地到乙地共有、、三条路线可选择，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.9
【答案】B
【解析】依题意李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，
即选择、、路线的概率均为，
又选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，
所以堵车的概率.故选：B
5．（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ）
A．0.25B．0.27C．0.48D．0.52
【答案】C
【解析】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”，
由题意可知：
，，
故.故选：C.
四．贝叶斯公式的应用
1．（23-24高二下·全国·专题练习）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”，
则由贝叶斯公式得，故选：A
2．（22-23高三上·山西·月考）书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设事件：第一次取出的是语文书，事件：第二次取出的是数学书，
则.故选：D
3．（23-24高二下·江苏南通·月考）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件，
，
，
则.故选：C
4．（22-23高二下·福建龙岩·月考）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 .
【答案】
【解析】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件，
记取到的芯片是次品为事件，
则，
，
，
故，
则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.
5．（22-23高二下·福建龙岩·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为 ．
【答案】
【解析】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，
根据题意得，，，
则.
五．相互独立事件的概率计算
1．（23-24高二下·浙江金华·期中）袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，时，取球的情况为：白白红，白白黑，白黑白，
白黑黑，白黑红，黑白白，黑白黑，黑白红，
所以.故选：A.
2．（23-24高二下·安徽·月考）甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7次出拳后停止游戏的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】记第i次出拳是平局为事件，则，
记第7次出拳后停止游戏为事件A，则，
所以．故选：D．
3．（23-24高二下·河南·月考）甲､乙两人各自在两个区域各投篮1次，且每次投篮互不影响，甲在区域投中的概率为，在区域投中的概率为；乙在区域投中的概率为，在区域投中的概率为.已知甲､乙共投中3次，则甲恰好投中2次的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设“甲､乙共投中次”为事件，“甲恰好投中次”为事件，
则，
，
故.故选：D.
4．（23-24高二下·江苏扬州·月考）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意可知，甲进入决赛的概率为，
乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，
所以甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率：
.故选：A
5．（23-24高二下·江苏南通·月考）（多选）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A．B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】ACD
【解析】对A：，故A正确；
对B：，，
则，故与不相互独立，故B错误；
对C：，，
则，故与相互独立，故C正确；
对D：，
则，故与相互独立，故D正确；故选：ACD.
六．概率综合大题计算
1．（23-24高二上·内蒙古兴安盟·期中）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)恰有1个人译出密码的概率.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，
可得事件，为相互独立事件，且，，
两个人都译出密码的概率为.
（2）恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，
且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为
.
2．（23-24高二下·河北张家口·月考）李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，.
(1)求李教授迟到的概率；
(2)现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设“李教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“自己开车”；
则，，
由全概率公式得：
.
（2）由题意可知所求概率为，
由贝叶斯公式得：.
3．（23-24高二下·四川遂宁·期中）某品牌汽车厂今年计划生产万辆轿车，每辆轿车都需要安装一个配件，本厂每年可生产万个配件，其余的要向甲、乙两个配件厂家采购，已知向甲厂购买万个配件，向乙厂购买万个配件，且本厂、甲厂、乙厂生产的配件的次品率分别为，
(1)求该厂生产的一辆轿车使用的配件是次品的概率；
(2)现有一辆轿车由于使用了次品配件出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为元，若维修费用由本厂、甲厂、乙厂按照次品配件来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
【答案】(1)；(2)本厂、甲厂、乙厂应该承担的维修费用分别为元、元、元
【解析】（1）因为甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件的比例分别为，
又甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件的次品率分别为，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件是次品的概率为.
（2）设“该轿车使用了次品配件”，
“配件来自甲厂”，“配件来自乙厂”，“配件来自本厂”，
由（1）知，
又，
，
所以本厂应该承担的维修费用为元、
甲厂应该承担的维修费用为元、
乙厂应该承担的维修费用为元.
4．（23-24高二下·安徽·月考）通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生．
(1)求该学生为肥胖学生的概率；
(2)在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）记“任取1名中小学生是肥胖学生”，“学生为小学生”，
“学生为初中生”，“学生为高中生”．
则，且，，两两互斥，
由题意得，，，
，，，
则
，
即随机抽取1名学生，该学生为肥胖学生的概率为0.025．
（2）“抽取的学生是肥胖学生且为高中生”，
则，
所以，
即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为0.24.
5．（23-24高二下·江苏常州·月考）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个盒子，Ⅰ号盒中有2个白球和3个黑球；Ⅱ号盒中有2个白球和2个黑球；Ⅲ盒中有3个白球和1个黑球．现从Ⅰ号盒中任取1个球放入Ⅱ号盒中，再从Ⅱ号盒中任取1个球放入Ⅲ号盒中，最后从Ⅲ号盒中任取1个球放回Ⅰ号盒中．
(1)求3个盒子的球的组成都保持不变的概率；
(2)问Ⅰ号盒中的球怎样组成的可能性最大？
【答案】(1)0.336；(2)保持不变可能最大
【解析】（1）一次试验后，Ⅰ号盒中的球有以下3种可能组成：
不变（记为事件）；3白2黑（记为）；1白4黑（记为）.
又设事件分别表示自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ号盒中取走的是白球，
则3个盒中球都保持不变为事件，
所以，
（2），
,
,
,
,
所以,
,
，
所以，Ⅰ号盒中的球的组成保持不变的可能性最大.