【考题猜想】专题04 随机变量及其分布类常考题型归类-高二数学下学期期末考点大串讲试卷（人教B版2019选择性必修第二册）

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一．离散型随机变量的均值与方差
1．（23-24高二下·安徽·月考）若随机变量X的分布列为
则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】由题意，得，所以，
．故选：B
2．（23-24高二下·福建泉州·月考）已知随机变量的分布列如表，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意，，B．对任意，，
C．存在，，D．存在，，
【答案】B
【解析】由题意可得：，且，即，
对A、C：由题意可得：，
∵开口向下，对称轴，，
则，故，
即，不存在x，，，C错误；
例如，则，即存在x，，，A错误；
对B：，
则，
故对任意x，，则，B正确；
对D：令，
则开口向下，对称轴，且，
故，即，
不存在x，，，D错误；故选：B．
3．（22-23高二下·广东深圳·月考）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，可取，
，，
则，.故选：D.
4．（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选）设，随机变量的概率分布如表，则（ ）
A．B．随增大而增大
C．D．最小值为
【答案】AD
【解析】由期望公式，可得，故A正确，B错误；
因为，故C错误，D正确．故选：AD．
5．（23-24高二下·浙江·期中）（多选）已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C错误；
对于D，，
则的分布列如下：
所以，
则.故选：ABD.
二．均值与方差性质的应用
1．（23-24高二下·广东广州·月考）已知随机变量的分布列如下:
设，则的数学期望的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
所以.故选：A.
2．（23-24高二下·北京·期中）已知离散型随机变量的分布列为
若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，而，
所以.故选：D
3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知X的分布列为
且，，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得.
所以，，
所以.
故选：D
4．（23-24高三下·江西·月考）（多选）已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由可得：①，
又因为，解得：，故C正确.
所以，
则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
5．（22-23高二下·湖北武汉·期末）（多选）设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，，
所以，故B正确；
对于CD，根据均值与方差的关系可得，故C错误，D正确.
故选：ABD.
三．常见分布列的均值与方差
1．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知，若，则（ ）
A．B．4C．D．9
【答案】B
【解析】由已知服从二项分布，，
.
故选：B.
2．（22-23高二下·辽宁沈阳·月考）（多选）若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由题意可知，，所以，
，，
故选：AB
3．（23-24高二下·江苏泰州·月考）（多选）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】，均服从于超几何分布，且，，
，，
对选项A：，，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确；
故选：ACD.
4．（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．已知随机变量，则
【答案】D
【解析】对于A中，由随机变量，因为，
可得，可得，所以A错误；
对于B中，由变量满足，可得，所以B错误；
对于C中，由随机变量，可得，
则，解得，所以C错误；
对于D中，由随机变量，可得，所以D正确.
故选：D.
5．（22-23高二下·江苏淮安·期中）（多选）下列关于随机变量X的说法正确的是（ ）
A．若X服从正态分布，则
B．已知随机变量X服从二项分布，且，随机变量Y服从正态分布，若，则
C．若X服从超几何分布，则期望
D．若X服从二项分布，则方差
【答案】BCD
【解析】对A，由于，所以，
根据方差的性质，，故A错误；
对B，服从二项分布，，
解得，
，根据正态分布的对称性可得，，故B正确；
对C，服从超几何分布，
根据超几何分布的期望公式，，故C正确；
对D，服从二项分布，
根据二项分布方差公式得，，故D正确.
故选：BCD.
四．离散型随机变量的分布列
1．（23-24高二下·湖南·期中）将4个形状､大小､颜色均相同的排球随机放入4个编号为的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2的排球筐内最终的排球个数为.
(1)求编号为2的排球筐内有球的概率；
(2)求的分布列.
【答案】(1)；(2)分布列见解析
【解析】（1）设事件“编号为的排球筐内有球”为事件，
则；
（2）由题意，的可能取值为，，，，，
所以，，
，，.
所以的分布列为：
2．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．
【答案】(1)；(2)分布列见解析
【解析】（1）比赛结束时，
恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
3．（2024高三·全国·专题练习）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表：
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在的学生数为X，求X的分布列．
【答案】(1)；(2)分布列见解析
【解析】（1）设“该名学生考核成绩优秀”为事件，
由已知60名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以，
可以估计这名学生考核优秀的概率为；
（2）由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为的学生中任取8人，
则考核成绩在的学生应抽取人，在的学生应抽取5人，
由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以，，
，，
所以随机变量X的分布列为
4．（23-24高二下·江西·月考）在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为.
(1)求的分布列与期望；
(2)证明为等比数列，并求关于的表达式.
【答案】(1)分布列见解析，；(2)证明见解析，
【解析】（1）的可能取值为2，3，4.
，，，
则的分布列为
故.
（2）①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5，
则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为；
②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是，
此时红球的个数为.
故，
，
则，所以是公比为的等比数列.
故，
即.
5．（2024·河南新乡·三模）甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．
(1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
(2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）记这2个球颜色相同为事件，
则；
（2）依题意的可能取值为、、，
则，
，
，
所以的分布列为：
所以.
五．服从二项分布的概率最值
1．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标 次.
【答案】8或9
【解析】设击中目标的次数为，由题可知，击中目标的次数，
则，
令，即，
化简得，解得，又，
所以最有可能击中目标8或9次.故答案为：8或9.
2．（2024高三·全国·专题练习）某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中 次的可能性最大．
【答案】8
【解析】∵ 射箭命中次数，
∴ ，
设最有可能命中m次，即命中m次的概率最大，则
解得，
∵ ，∴.故答案为：8.
3．（22-23高二下·江苏淮安·期中）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为 .
【答案】
【解析】由已知可得，，.
则，，，，，，
所以，当时，取得最大值.故答案为：.
4．（23-24高二下·广东佛山·月考）甲、乙两位选手进行围棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
(1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
(2)若采用五局三胜制比采用三局两胜制对甲更有利，求p的取值范围；
(3)若，已知甲、乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）．
【答案】(1)0.352；(2)；(3)18
【解析】（1）若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或．
因为每局比赛的结果是独立的．所以甲最终获胜的概率．
（2）若采用五局三胜制，则甲最终获胜的三种可能的比分为，或．
因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率．
若用三局两胜制，由（1）可得甲最终获胜的概率．
因为五局三胜制对甲有利，所以，
所以，则，
解得，所以．
（3）易得，，，
记，
则，
由，得，
即当时，，当时，，
故当时，最大、所以n的估计值为．
5．（23-24高三下·重庆·月考）甲､乙两选手进行象棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，求的取值范围；
(2)若，已知甲乙进行了局比赛且甲胜了13局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）.
【答案】(1)；(2)21.
【解析】（1）采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分或.
因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率为
.
采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分或，
可得甲最终获胜的概率为.
因为5局3胜制对甲有制，所以，
，
，，
.
（2）易得，
记，则
，
由，得，
即，
故时，最大，所以的估计值为21.
六．二项分布的综合应用
1．（23-24高二上·江西丰城·期末）已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，.
(1)求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；
(2)记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）记“，两位毕业生中有且只有一位通过招聘”为事件.
通过招聘的概率为，通过招聘的概率为，
∴.
即，两位毕业生有且只有一位通过招聘的概率为.
（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3.
通过招聘的概率为，
由（1）得，两位毕业生通过招聘的概率均为.
∴，，三位毕业生通过招聘的人数.
则，
，
，
，
随机变量的分布列为：
数学期望.
2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
【答案】(1)；(2)分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析
【解析】（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题，
所求概率.
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3，
，，，
则的分布列为
所以，，
设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为
所以，
，
由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
3．（2024·云南曲靖·二模）袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
(1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
(2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率.
角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，
则，,
所求概率；
（2）的所有可能取值为.
，，
，，
的分布列为：
,的均值.
4．（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响．
(1)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；
(2)从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【解析】（1）设事件老师审核通过，事件老师审核通过，事件老师审核通过，
事件征文通过筛选，事件征文经过复审，则，
，
，因此，
所以它经过了复审的概率为.
（2）依题意，的可能取值为，显然，
则
，，
所以的分布列如下：
数学期望为.
5．（2024·河北承德·二模）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕，各地报起了一股学习党史风潮，某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：
(1)求上表数据中的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)63.2；；(2)分布列见解析，
【解析】（1）
.
（2）随机抽取一位同学成绩不低于60分的频率为，
由题意可知，，则，
所以的分布列为
.
七．超几何分布的综合应用
1．（23-24高二下·浙江·期中）某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
(1)求该学生能通过自主招生初试的概率；
(2)若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，．
【解析】（1）该学生通过自主招生初试的概率，
（2）该学生答对题的数量的可能取值为2，3，4，
则，，，
所以的概率分布列为
．
2．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个．
(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
(2)设表示取到的红豆粽个数，求的分布列．
【答案】(1)；(2)分布列见解析
【解析】（1）依题意基本事件总数，
选取的三个粽子中恰有个肉粽包含的基本事件个数，
选取的三个粽子中恰有个肉粽的概率；
（2）设表示取到的红豆粽个数，则的可能取值为，，，
所以，，
，
的分布列为：
3．（23-24高二下·河北石家庄·月考）吃粽子是端午节的传统习俗．一盘中装有7个粽子，其中有4个豆沙馅，3个肉馅，这些粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求选取的3个粽子的馅相同的概率；
(2)用表示取到的肉馅粽子的个数，求的分布列和均值．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）由题意可知：选取的3个粽子的馅相同的概率．
（2）由题意可知：的可能取值有0，1，2，3．则有：
，，
．
所以的分布列为
期望．
4．（23-24高二下·广东广州·月考）某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查．
(1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；
(2)若在两批产品混合前采取分层抽样方法抽取一个样本容量为10的样本，再从样本中抽取3个芯片，求这3个芯片含第二批芯片数的分布列和数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）设事件为“任取一个芯片是合格品”，事件为“产品取自第一批”，
事件为“产品取自第二批”，
则，，，
所以
.
（2）由条件可知第一批芯片抽取个，第二批芯片抽取个；
则的可取值为，，，；
则；；
；；
所以的分布列为：
所以．
5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）．
(1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望；
(2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差．
【答案】(1)分布列见解析；；(2)，，
【解析】（1），，，，
故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线，
则的所有可能取值为、、，
，，，
则其分布列为：
则；
（2）由题意可得，
则
，
，.
八．正态分布的概率计算
1．（23-24高二下·江苏苏州·月考）已知某地区高中生的身高近似服从正态分布，若，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
【答案】D
【解析】解：依题意，，故选：D.
2．（23-24高二下·江西抚州·月考）某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且 ， ，则（ ）
A．0.14B．0.22C．0.2D．0.26
【答案】B
【解析】因为数学考试成绩服从且，
所以，
又因为，
所以．
故选：B．
3．（23-24高二下·广东深圳·月考）某地区5000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（ ）
A．400B．900C．1800D．2500
【答案】B
【解析】由，成绩在的学生人数约为1600，得，
因此，
所以成绩在100分以上的学生人数约为.故选：B
4．（2024·四川南充·三模）某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布且．则该农作物茎高在范围内的株数约为（ ）
A．1000B．2000C．3000D．4000
【答案】C
【解析】由题意可知：，且，
则，
所以该农作物茎高在范围内的株数约为.故选：C.
5．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（ ）
A．1700B．1600C．1400D．600
【答案】C
【解析】因为服从正态分布，且，
所以该企业生产的该种零件合格的概率，
所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为，
故选：C．
九．正态分布的综合应用
1．（23-24高二下·重庆长寿·月考）某市为了了解全市1万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估算该校50名学生成绩的中位数；
(2)现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，这两人成绩排名（从高到低）在全市前230名的人数记为，求的概率分布和均值.
参考数据：，则.
【答案】(1)；估计该校50名学生成绩的中位数为；(2)分布列见解析，
【解析】（1）由题意可知：每组的频率依次为，
则，解得；
又因为，
可知该校50名学生成绩的中位数，
则，解得，
所以估计该校50名学生成绩的中位数为.
（2）成绩在的人数为，
因为，，
则，
且，可知全市前230名的成绩需在90分以上，
而50人中90分以上的人数为，所以的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为：
的期望.
2．（23-24高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91.
(1)计算样本平均数和样本方差；
(2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据）
附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
【答案】(1)；;
(2)分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，
分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.
【解析】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得：
数据的平均数为，
数据的方差为.
（2）该市所有参赛者的成绩近似服从正态分布，
设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖，
成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖，
则，，，.
因为，所以.
因为，
所以，
因为，所以.
综上可得，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，
分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.
3．（23-24高三下·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布．
(1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）；
(2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客．
附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，．
【答案】(1)分布列见解析，期望值为；(2)
【解析】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得，
则可得，
即任意一名乘客体重大于的概率为，
则的所有可能取值为，
，
，
所以的分布列为
期望值为
（2）设为第位乘客的体重，则，其中，
所以，
由可得，
即，可得，即，.
所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客.
4．（23-24高三上·广东江门·月考）某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布，其中，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”．
(1)若，求a的取值范围；
(2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，，则，，．
【答案】(1);(2)464100
【解析】（1）由正态分布的对称性可知，若，
当，即时，因为，
所以有，得；
当，即时，要使，
则有，解得（舍去）.
综上，a的取值范围为.
（2）因为
所以，
，
所以A级群有个，B级群有个，
C级群有个，
所以，公司大约需要准备奖金元.
5．（23-24高三上·山东·开学考试）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
(1)分别求，的值；
(2)试估计这批零件直径在的概率；
(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数.
参考数据：；若随机变量，则，，.
【答案】(1)，;(2)0.8186;(3)1637．
【解析】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：
故，.
（2）设表示零件直径，则，即.
，
由对称性得， ，即.
同理，，
，即.
.
故这批零件直径在的概率为0.8186.
（3）由（2）知，，
所以在这2000个零件中，零件的直径在的有个.
十．概率统计中的决策问题
1．（23-24高三上·山东滨州·期末）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；
(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？
【答案】(1);(2)小明应该选择方案一
【解析】（1）设小明第3次购买是恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为，
则分为有空盒和无空盒两种情况，．
（2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为．
的可能取值为80，110．
则，．
所以．
方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为．
依题意，的可能取值为70，100，130，
则，
，
．
所以．
因为，所以小明应该选择方案一．
2．（23-24高二下·广东东莞·期中）某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关. 该企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场.
(1)设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求；
(2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和期望；
(3)现有两种方案，方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；方案二：安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个. 已知每个质检员每月的工资为3000元，该企业每月生产该产品件，请从企业获益的角度考虑，应该选择选择哪种方案？
【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)答案见解析.
【解析】（1）依题意，，
，
所以.
（2）依题意，的可能值为，
，，
，
，
所以的分布列为：
期望.
（3）若选方案一，则企业每月支出质检员工资共9000元；
若选方案二，则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计，
若，则.
所以当且时，选方案一；当且时，选方案二.
3．（23-24高二下·河北石家庄·月考）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项：
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
【答案】(1)样本空间见解析，；(2)以数学期望为依据选择方案一更恰当
【解析】（1）由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为：
，
所以该考试得分的概率；
（2）设方案一、二的得分分别为X，Y，
则可取，可取，
①∵，．
∴X的分布列为：
则，
②∵，，，
∴Y的分布列为：
则，
∵，
∴以数学期望为依据选择方案一更恰当．
4．（21-22高二下·湖北十堰·期末）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的．
(1)求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率；
(2)设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，，选择甲班代表学校参加比赛更好
【解析】（1）设甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道问题为事件A
由于甲班5人中有3人可以正确回答这道题目，故从甲班中抽取的3人中至少有1人能正确回答这道题目
故事件为甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，具体情况为甲班1人回答正确，
其他5人回答错误或甲班2人回答正确，其他4人回答错误或甲、乙两班各1人回答正确，
其他4人回答错误
因为
所以
（2）X的所有可能取值为1，2，3
，，
所以X的分布列为
所以
因为乙班能正确回答题目的人数，
所以，即．
因为，
，，
所以甲、乙两个班级能正确回答题目的人数的期望相等，但甲班的方差小于乙班，
所以选择甲班代表学校参加比赛更好．
5．（23-24高二下·福建泉州·月考）年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ 随机选一个选项 Ⅱ 随机选两个选项 Ⅲ 随机选三个选项．
若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
【答案】(1)；(2)①；②
【解析】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”．
，
即学生甲该题得分的概率为．
（2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，，
， ，
，
所以的分布列为
则数学期望．
记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则，
，
所以．
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，
解得：，故的取值范围为．0
1

x
y
P
y
x
0
1
2
1
2
1
4
0
1
X
0
1
P
0
1
X
1
2
3
4
5
P
m
n
0
1
2
3
4
2
3
4
5
成绩
人数
5
5
15
25
10
X
1
2
3
4
P
2
3
4
0
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
X
0
1
2
3
4
成绩区间
频数
20
180
200
280
220
80
20
0
1
2
3
2
3
4
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2
零件直径（单位：厘米）
零件个数
10
25
30
25
10
0
1
2
3
X
2
3
P
Y
0
4
6
P
X
1
2
3
P