【考点清单】专题04+随机变量的均值与方差综合-高二数学下学期期末考点大串讲试卷（人教B版2019选择性必修第二册）

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【考点题型一】离散型随机变量的均值（期望）
1、一般地，如果离散型随机变量的分布列如下表所示．
则称为随机变量的均值或数学期望（简称期望）.
2、离散型随机变量的均值也可用表示，它刻画了的平均取值．
【例1】（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列如下，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设随机变量的分布列为，，则的数学期望（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织、两团体运动员进行比赛.其中团体的运动员3名，其中种子选手2名；团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体的概率；
（2）已知，设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及其期望.
【考点题型二】均值性质的应用
1、（为常数）．
2、若，其中为常数，则也是随机变量，且．
3、．
4、如果相互独立，则．
【例2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知随机变量的概率分布如下表
则（ ）
A．1B．C．11D．15
【变式2-1】（23-24高二上·黑龙江双鸭山·月考）设的分布列如图，又，则 .
【变式2-2】（23-24高二下·辽宁·月考）若是离散型随机变量，且，其中为常数，则有，利用这个公式计算
【变式2-3】（22-23高二下·北京怀柔·期中）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则 .
【考点题型三】离散型随机变量的方差与标准差
为随机变量的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量的标准差．
【例3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）若随机变量X的分布列为（ ）
则（ ）
A．5B．7C．13.6D．14.6
【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则 ．
【变式3-2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）随机变量的取值为，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数．
（1）求随机变量的分布列和期望；
（2）若，设随机变量的方差为，求证：．
【考点题型四】方差性质的应用
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
【例4】（23-24高二下·福建厦门·期中）已知随机变量的分布列如下：
则的值为（ ）
A．20B．18C．8D．6
【变式4-1】（23-24高二下·浙江湖州·月考）已知随机变量的取值为，若，，则 .
【变式4-2】（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列．
（1）求常数的值；
（2）求；
（3）求随机变量的分布列及方差．
【变式4-3】（23-24高二上·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．
（1）写出X的分布列，并求出和的值；
（2）若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值．
【考点题型五】方差的期望表示
．
【例5】（22-23高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（22-23高二下·黑龙江·期中）（多选）已知，，随机变量，的分布列如下表所示：
下列说法中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式5-2】（22-23高二下·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ．
【变式5-3】（23-24高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下：
若，则 ；当 时，最大．
【考点题型六】两点分布的均值与方差
若离散型随机变量服从两点分布，则，
【例6】（23-24高二上·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为 ．
【变式6-1】（22-23高二下·江西吉安·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-2】（23-24高二下·辽宁·期中）若随机变量X的分布列为
其中，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式6-3】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点题型七】二项分布的均值与方差
若离散型随机变量服从二项分布，即，则，
【例7】（23-24高二下·山西运城·期中）已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（23-24高二下·河南·月考）（多选）已知随机变量，则（ ）
A．B．C．4D．7
【变式7-2】（23-24高二下·江苏无锡·月考）（多选）已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24高二下·广西钦州·期中）已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ．
【考点题型八】超几何分布的均值与方差
若离散型随机变量服从超几何分布，即，则，
【例8】（23-24高二下·吉林长春·月考）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（22-23高二下·江苏连云港·月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-2】（23-24高二下·北京·期中）某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则 ．
【变式8-3】（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
（1）求甲老师答对2个问题的概率；
（2）若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求.
【考点题型九】利用均值与方差进行决策
1、解决实际生活中的决策问题一般有三种途径:
（1）利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定；
（2）利用均值(数学期望)：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定,如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好；
（3）利用方差：方差反映了随机变量偏离平均值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近；
（2）在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差（或标准差）.
【例9】（22-23高二下·广东东莞·期中）某公司计划在年年初将万元用于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、、．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
【变式9-1】（23-24高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
（1）求X，Y的概率分布；
（2）求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人.
【变式9-2】（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求：
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
【变式9-3】（22-23高二下·福建南平·期末）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：
方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元：
方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.
（1）求随机变量的分布列和数学期望：
（2）用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由.1
2
3
x
1
2
4
P
1
2
3
4
P
a
X
2
3
10
P
0.2
0.2
0.6
0
1
2
2
3
6
0
1
0
1
X
0
1
2
P
0
1
2
0.6
X
1
0
P
p
q