【考点清单】专题08+导数及其应用-高二数学下学期期末考点大串讲试卷（人教B版2019选择性必修第三册）

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【考点题型一】平均变化率与瞬时变化率问题
1、平均的变化率的定义：.
2、设物体运动路程与事件的关系是，当趋近于0时，函数在到之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。
【例1】（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）函数在上的平均变化率是（ ）
A．B．8C．D．
【变式1-1】（23-24高二下·北京·期中）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（ ）
A．B．
C．D．a和b的大小随着m，n的改变而改变
【变式1-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A．B．2C．D．
【变式1-3】（23-24高二下·重庆·月考）（多选）一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ）
A．该物体瞬时速度的最小值为1m/sB．该物体瞬时速度的最小值为2m/s
C．该物体在第1s时的动能为16JD．该物体在第1s时的动能为8J
【考点题型二】导数定义中极限的应用
导数的形式化计算主要考查对导数概念的理解。需要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。
【例2】（23-24高二下·河南·月考）已知函数，则（ ）
A．5B．10C．15D．20
【变式2-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知，则（ ）
A．－1B．1C．2D．4
【变式2-2】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，则（ ）
A．B．2C．D．
【变式2-3】（23-24高二下·江苏无锡·月考）已知是定义在上的可导函数，若，则 .
【考点题型三】求（复合）函数的导数
1、导数的四则运算法则
（1）加减法：
（2）乘法：
（3）除法：
2、复合函数的求导法则
一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
【例3】（23-24高二下·广东广州·期中）下列函数求导正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）下列导数运算错误的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
【变式3-2】（23-24高二下·重庆·月考）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【考点题型四】“在”曲线上一点的切线问题
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
【例4】（23-24高二下·内蒙古·期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】（23-24高二下·广东深圳·月考）已知曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A．2B．C．1D．
【变式4-2】（23-24高二下·湖南常德·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 .
【变式4-3】（23-24高二下·江西·月考）已知曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求曲线过点的切线方程.
【考点题型五】“过”曲线上一点的切线问题
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
【例5】（22-23高二下·辽宁·月考）过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（23-24高二下·江西赣州·月考）已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．24B．或C．45D．0或45
【变式5-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为（ ）．
A．B．C．D．
【变式5-3】（23-24高二下·河南·月考）过点可作的斜率为1的切线，则实数 .
【考点题型六】两条曲线的公切线问题
求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；若不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程。
具体做法为：设公切线在上的切点，在上的切点，
则
【例6】（23-24高二下·湖北·月考）已知直线是曲线与的公切线，则（ ）
A．B．1C．D．2
【变式6-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式6-2】（22-23高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）．
A．26B．23C．15D．11
【变式6-3】（22-23高三下·安徽·开学考试）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ．
【考点题型七】利用导数研究函数的单调性
1、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2、含参函数讨论的
（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；
（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；
（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；
（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
【例7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（23-24高二下·福建莆田·期中）已知函数，其单调增区间为 ；
【变式7-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）讨论函数的单调性；
【变式7-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【考点题型八】已知函数的单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
【例8】（23-24高二下·四川内江·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（23-24高二下·江苏·期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（23-24高二下·安徽·月考）已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为 ．
【考点题型九】原函数与导函数的图象关系
通过图象研究函数单调性的方法：
（1）观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
（2）观察导函数的图象重在找出导函数图象与轴的交点，分析导数的正负。
【例9】（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（ ）
A．，B．，
C．，D．，，
【变式9-1】（23-24高二下·全国·期末）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-2】（23-24高二下·吉林·期中）已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的大致图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点题型十】导数构造法解函数不等式
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造
【例10】（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】（23-24高二下·山东枣庄·月考）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式10-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【变式10-4】（23-24高二下·贵州贵阳·月考）已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为 .
【考点题型十一】利用导数求函数的极值或极值点
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根的左右侧的符号不变，则不是极值点．
【例11】（23-24高二下·广东潮州·期中）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的减区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【变式11-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）函数的极大值点为 ．
【变式11-2】（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数在和上为增函数，在上为减函数．
（1）求的解析式；
（2）求的极值．
【变式11-3】（23-24高二下·四川达州·期中）已知函数，的图象在处的切线交轴于点.
（1）求实数的值；
（2）求函数的极值.
【考点题型十二】已知函数的极值或极值点求参数
1、已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
= 1 \* GB3 ①求函数的导数； = 2 \* GB3 ②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数
注意：求出参数后，一定要验证是够满足题目的条件。
2、对于函数在某区间内无机制的问题，往往转化为其导数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。
【例12】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）若在处有极值，则（ ）
A．0B．C．1D．
【变式12-1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A．0B．C．D．6
【变式12-2】（23-24高二下·广东广州·期中）函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式12-3】（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若在上没有极值点，求的取值范围．
【考点题型十三】利用导数求函数的最值
1、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
2、利用导数求函数最值的方法
（1）若函数的图象是一条连续不断的曲线，在曲线内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点.
（2）求一个函数在闭区间上的最值时，一定是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，期中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。
【例13】（23-24高二下·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值，最大值分别为（ ）
A．0，B．0，C．D．
【变式13-1】（23-24高二下·江西赣州·月考）函数的最大值是（ ）
A．B．0C．D．3
【变式13-2】（23-24高二下·山东青岛·期中）函数在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【变式13-3】（23-24高二下·江苏·期中）已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在区间上的最小值．
【考点题型十四】已知函数的最值求参数
已知函数的最值求参数问题常用方法有函数图象法、导数法等。
（1）图象法是较为直观的一种方法，通过观察函数的图象来判断函数的极值及其对应的参数值；
（2）导数法：对于已知的函数，我们可以先求出其导数，然后找出导数为零的点或者导数变号的点，这些点就是函数取得极值的地方。接下来，可以通过这些点进行一些判断，例如使用二阶导数来判断极值类型，从而得到函数的最值及其对应的参数值。
【例14】（23-24高二下·四川遂宁·月考）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【变式14-1】（23-24高二下·宁夏·月考）已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式14-2】（23-24高二下·浙江海宁·月考）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 .
【变式14-3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知函数在上存在最小值，实数a的取值范围为 ．