专题01 空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题01 空间几何体的外接球与内切球问题
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21072" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc21072 \h 1
\l "_Tc21571" 二、典型题型 PAGEREF _Tc21571 \h 3
\l "_Tc8836" 题型一：内切球等体积法 PAGEREF _Tc8836 \h 3
\l "_Tc7717" 题型二：内切球独立截面法 PAGEREF _Tc7717 \h 6
\l "_Tc4099" 题型三：外接球公式法 PAGEREF _Tc4099 \h 9
\l "_Tc1112" 题型四：外接球补型法 PAGEREF _Tc1112 \h 10
\l "_Tc8444" 题型五：外接球单面定球心法 PAGEREF _Tc8444 \h 13
\l "_Tc6103" 题型六：外接球双面定球心法 PAGEREF _Tc6103 \h 16
\l "_Tc24542" 三、专项训练 PAGEREF _Tc24542 \h 19
一、必备秘籍
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
类型二 球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）

②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；
③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.
4、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥中：
①选定底面，定外接圆圆心
②选定面，定外接圆圆心
③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
1．（2024·全国·模拟预测）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为 ．
【答案】/
【分析】
当平面平面时，四面体的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解．
【详解】
不妨设菱形的边长为，，，
外接球半径为，内切球半径为，
取中点为，连接，
因为，所以，
当平面平面时，平面平面，
平面，所以平面，
此时四面体的高最大为，
因为，所以
所以，
，
令解得，
令解得，
所以在单调递增，单调递减，
所以当时最大，最大体积为，
此时，
以四面体的顶点构造长方体，长宽高为，
则有解得，所以，
所以外接球的表面积为，
又因为，
所以，
，
所以，
所以，
所以，及内切球的表面积为，
所以内切球和外接球表面积之比为．
故答案为：
2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）三棱锥中，是边长为的正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，且．三棱锥的内切球为球，外接球为球，若球的半径为，球的半径为，则 ；若为球上任意一点，为球上任意一点，则线段的最小值为
【答案】
【分析】将三棱锥放入正方体中，利用等体积法可得内切球半径，根据正方体的外接球求解，进而可求解空1，根据两球的关系，结合半径的关系即可求解空2.
【详解】由题易知，三棱锥为棱长为1的立方体的一部分，如图
由等体积法求，，即.
又由，即，所以；
的外接圆半径为，故点到平面的距离为，
由于，所以在三棱锥的外部，
故球内含于球，且，
所以.
故答案为：，
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
3．（23-24高二上·江西景德镇·期中）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该四面体的外接球的表面积为 ，该四面体内切球表面积为 ．
【答案】 /
【分析】由题意确定四面体外接球的球心，进而求得外接球半径，即可求得四面体的外接球的表面积；利用等体积法求得四面体内切球的半径，即可求得四面体内切球的表面积.
【详解】由题意可知底面，底面，
故，又，
平面，故平面，
平面，故，
取PB的中点为O，则，

即O为四面体的外接球的球心，
又，则，
则四面体外接球半径为,
故该四面体的外接球的表面积为；
设四面体的内切球球心为，半径为r，则，
即,
解得，则四面体内切球表面积为，
故答案为：；
题型二：内切球独立截面法
1．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等体积可求得内切球半径，再取截面并根据比例求得球的半径，则可求得球的表面积．
【详解】取三棱锥过内切球球心的截面，如图所示：
依题意得，
底面的外接圆半径为，解得；
点到平面的距离为，
所以，
所以，
设球的半径为，
所以，
则，得，
设球的半径为，则，又，得，
所以球的表面积为．
故选：A．
2．（2024·广东深圳·二模）已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为 ．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
【答案】
【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.
【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：

设圆锥高为，母线长为，
则在三角形中有，即①，
又由得，即②，
所以由①②得，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：.
3．（2024高三·全国·专题练习）圆台内有一个内切球，球的表面积和圆台的侧面积的比为，求球和圆台的体积之比．
【答案】
【分析】
法一、利用圆台及球体的特征先作出轴截面，由勾股定理及直线与圆的位置关系结合几何体的表面积、侧面积、体积公式计算即可；法二、通过设角解三角形，利用三角函数表示线段长，根据几何体的表面积、侧面积、体积公式计算即可.
【详解】如图，作轴截面，其中都是切点．

法一、设．
由圆的切线的性质可知，，，．
，
．
，
．
法二、设，则，
∴，，．
．
因此， ．
题型三：外接球公式法
1．（2024·天津·二模）已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正方体的特征及球的体积公式可计算正方体棱长，再根据三棱锥的体积公式计算即可.
【详解】由题意可知正方体的外接球直径为正方体的体对角线，
所以，
所以.
故选：B
2．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知是球O表面上不同的点，平面，，，，若球的体积为，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】由已知易得四点均为长宽高分别为三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的体积公式可得答案.
【详解】因为平面，，
所以四面体的外接球半径等于以为长宽高的长方体的顶点的外接球，
又球的体积为，即，所以，
所以，
所以.
故选：B.
题型四：外接球补型法
1．（2024·河南信阳·模拟预测）把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件分析四面体的结构特征，由此考虑构造长方体，结合长方体的外接球的半径的与长宽高的关系结合条件求出，再由球的表面积公式求球的表面积即可.
【详解】如图，记的中点分别为，
因为，，，
由中位线性质可得，
翻折后的四面体如图：
由翻折的性质可得，
所以四面体对棱相等，
故可以考虑将四面体补形为长方体如下；
四面体的外接球即长方体的外接球，
设其外接球半径为，，
则，
因为，所以，
所以，
所以四面体的外接球表面积，
故选：D.
2．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为 ；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为 ．
【答案】 /
【分析】
由三棱锥的结构特征，可扩成长方体，利用长方体的外接球半径得三棱锥的外接球半径；由动点的轨迹形状，求长度.
【详解】三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，如图所示，
则有，，
把三棱锥扩成长方体，
则有，解得，
则长方体外接球半径，
所以三棱锥的外接球半径；
点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，
由，动点的轨迹是半径为的圆，
轨迹长度为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：
三组对棱分别相等的四面体(三棱锥)——补形为长方体(四面体的棱分别是长方体各面的对角线).
题型五：外接球单面定球心法
1．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正三棱锥的结构特征可求解高的长度，进而根据勾股定理即可求解半径，即可由表面积公式求解，或者利用空间直角坐标系求解半径.
【详解】方法一：如图，取正三角形的中心为，连接，
则三棱锥的外接球球心在上，连接.
在正三角形中，，所以.
在中，，所以.
设外接球的半径为，
由，，解得，
所以三棱锥的外接球表面积.
故选:C.

方法二：在正三棱锥中，过点作底面于点，
则为底面正三角形的中心，
因为正三角形的边长为2，所以.
因为，所以.
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，.
设三棱锥的外接球球心为，半径为.
由，得，解得，
所以，
则三棱锥的外接球表面积.
故选：C.
2．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件，证得平面，再确定三棱锥外接球球心，并求出球半径及表面积.
【详解】在三棱锥中，，，正的边长为1，
则，即有，同理，而平面，
于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为，
则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则，
而，则四边形是矩形，，
所以球半径，表面积.
故选：B
3．（2024·浙江嘉兴·二模）在四面体中，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为 .
【答案】3
【分析】根据题意，将四面体补形为直三棱柱，设，由求得，在中，勾股定理得，由余弦定理可得，结合基本不等式求解.
【详解】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱，因为与所成的角为，
所以或，设，外接球半径记为，
外接球的球心如图点.
易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
，得，
在中，，
在中，由余弦定理得，
所以当时，外接球的半径会更小.
所以，
所以，
所以.
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：本题关键是将求四面体补形为直三棱柱，转化为求直三棱柱外接球半径的最小值.
题型六：外接球双面定球心法
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知长方体中，侧面的面积为2，若在棱上存在一点，使得为等边三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【分析】根据几何体的特征，确定四棱锥外接球的球心，结合长度和几何关系，基本不等式确定半径的最小值，即可求解.
【详解】如图，由对称性可知，点是的中点，设，则，，点是的中点，
由底面矩形的对角线的交点作底面的垂线，过等边三角形的中心作平面的垂线，两条垂线交于点，点是四棱锥外接球的球心，
，，则，
当，即时，等号成立，则的最小值为,
所以四棱锥外接球表面积的最小值为.
故答案为：
2．（23-24高二上·江西九江·期中）如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 ；过靠近点的三等分点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是
【答案】
【分析】先判断当平面平面时，三棱锥的体积最大，求得，再找出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得半径，进而得到表面积；当垂直于截面圆时，截面圆半径最小，面积最小即得答案.
【详解】第一空：设点到平面的距离为，
在中，取的中点，连接交于点，连接，
因为为等边三角形，为的中点，则，
由题意可知，、分别为、的中点，则，则，，
翻折后，则有，所以二面角的平面角为，
过点在平面内作或其延长线上，
因为，，，、平面，
所以平面，
因为平面，则，
又因为，，、平面，
所以平面，
所以，且，则，
当为直角时，取最大值，
因为为的中点，为定值，
故当为直角时，取最大值，
此时，平面平面，
故是边长为的等边三角形，
因为，则，
因为为的中点，为的中点，则且，
同理可得，则为四边形的外心，
设等边的外心为点，过点作平面，
因为平面，则，
过点作平面的垂线交于点，则为四棱锥的外接球球心，
连接，则为球的一条半径，
因为平面平面，平面平面，，
平面，则平面，因为平面，则，
又因为平面，则，故四边形为矩形，
且，则，
因为，则，则，
所以，
所以球的表面积为；
第二空： 因为等边的外心为点，，则，，又，，
则，
当过点的截面与垂直时，截面圆的半径取最小值，
且，
因此，过的三等分点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是.
故答案为：；.
三、专项训练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理求，结合正弦定理求解外接圆半径，再根据三棱柱的外接球球半径与三棱柱的高以及外接圆半径的关系得出结果.
【详解】如图所示，在中，，，，
由余弦定理可得，所以，
由正弦定理可得外接圆半径，
设此圆圆心为，球心为，在中，，易得球半径，
故此球的表面积为．
故选：A．
2．（2024高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由是直角三角形得的中点是的外心，再由等腰三角形结合勾股定理得到平面，平面平面；结合是等边三角形确定三棱锥外接球的位置，求得半径，最后得到表面积.
【详解】
如图，设是的中点，连接，由于，
所以是的外心，.
由于，是的中点，则，，，
则，则.
又，平面，
所以平面.而平面，所以平面平面.
由于是等边三角形，设是的外心，则,
又因为在上，所以，则也是三棱锥外接球的球心．
设外接球的半径为，根据等边三角形的性质可知，
所以外接球的表面积为.
故选：D.
3．（2024·四川泸州·三模）已知圆锥的体积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设圆锥的底面半径为，高为，由题意可得，可求得，，进而可得轴截面是等边三角形，求得等边三角形的内切圆的半径即可求得圆锥的内切球的表面积.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
由题意可得，解得，
所以母线长为，底面圆直径为，
可得圆锥的轴截面为等边三角形，该等边三角形内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，
由等边三角形的性质可得内切球的半径，
所以圆锥内切球的表面积为.
故选：D.
4．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先找和 的外接圆的圆心，过圆心分别作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.
【详解】如图，取BC的中点为E，BD的中点为，所以为的外心，
连接AE，EF，设的外心为，
因为，即为等边三角形，
所以点在AE上，且设球心为，连接OG，OF，
则平面平面BCD，
因为平面平面BCD，所以，
因为为等边三角形，为BC的中点，所以，
因为平面平面BCD，平面平面，面，
所以平面BCD，则，又平面BCD，所以，
同理平面ABC，所以，故四边形OGEF是矩形.
由，可得，故，
又，
设球的半径为，则，
所以球的表面积.
故选：C.
5．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球的表面积公式即可得.
【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，
该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，
画出该轴截面如图，
由母线长为，底面半径为可得该圆锥的高，
设内切球的半径为，则有，
解得，即内切球表面积为.
故选：A.
6．（2024·广西·二模）已知轴截面为正方形的圆柱的体积与球的体积之比为，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据已知，结合圆柱和球的体积公式，可得圆柱底面圆半径和球的半径相等，再利用圆柱和球的表面积公式可解.
【详解】设圆柱底面圆半径为，球的半径为，
则圆柱的高为，由，可得，
所以圆柱的表面积与球的表面积之比为.
故选：B
7．（2024·广东·二模）已知球与圆台的上、下底面和侧面均相切，且球与圆台的体积之比为，则球与圆台的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由球与圆台的体积之比为，得到圆台的上、下底面半径分别为，球的半径之间的关系，代入表面积公式化简，即可得到答案.
【详解】

由题意，作出圆台的轴截面，
设圆台的上、下底面半径分别为，球的半径，
则，过A作于点，
由，得，化简得，
由球的体积公式，
圆台的体积公式，
已知球与圆台的体积之比为，则，
化简得，
则，得，
又球的表面积，圆台的表面积，
所以，
故选：D.
8．（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，是边长为2的正三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到平面平面，再取的中点，连接、、，推导出为外接圆的圆心，再设的外接圆的圆心为，四棱锥外接球的球心为，即可求出外接球的半径，从而求出球的表面积.
【详解】取的中点，连接、，因为是边长为2的正三角形，
所以，，
又，，，所以，
在中，由余弦定理，
即，又，所以，
所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
取的中点，连接、、，则、及均为等边三角形，
易知且，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
所以等腰梯形外接圆的圆心为，设的外接圆的圆心为，则，
设四棱锥外接球的球心为，连接、、，
则平面，平面，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以外接球的半径，
所以外接球的表面积.
故选：C
【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
9．（23-24高一下·浙江金华·期中）已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，，则此三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三棱锥的三条侧棱两两垂直，知其外接球就是所在长方体的外接球，设出棱长，求出体对角线，即可得出球的直径得解.
【详解】三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，
其外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，
设，
则有，可求得，
即长方体的对角线的长为，所以球的直径是，半径为，
所以外接球的体积．
故选：A．
二、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥内半径最大的球的体积为 .
【答案】
【分析】首先作出半径最大的球与圆锥组合体的截面图，根据几何关系，列式求解.
【详解】如图所示，设圆锥底面圆的圆心为，圆锥的顶点为，则圆锥的轴截面为等腰.
设球的球心为，则球的体积最大时，球的轴截面是的内切圆.
由题意知，，设球的半径为，
由得，即，解得，
所以球的体积的最大值为

故答案为：
11．（2024·全国·模拟预测）在菱形中，，，将沿翻折，使二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意，取的中点，然后根据菱形的性质求解出,，得到是二面角的平面角.根据余弦值为，求解出，判断是正四面体，放置在正方体中，进而求出外接球的表面积.
【详解】如图所示，取的中点，连接，，则，，
故是二面角的平面角,
因为,所以,
在中，由余弦定理,得，故四面体是正四面体.
如图所示，将其放置在正方体中，使得，，，是正方体的四个顶点，
则正方体的棱长为，体对角线长，即四面体的外接球的半径为，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
12．（23-24高三下·河南·阶段练习）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于 .
【答案】/
【分析】由余弦定理求得，根据正弦定理求出的外接圆半径，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解.
【详解】在中，由余弦定理得，
由，得，设的外接圆半径为r，
由正弦定理得，则，
设三棱柱的外接球半径为R，则，
所以球O的表面积.
故答案为：