专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31175" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc31175 \h 1
\l "_Tc32624" 二、典型题型 PAGEREF _Tc32624 \h 1
\l "_Tc4425" 方法一：等面积法 PAGEREF _Tc4425 \h 1
\l "_Tc498" 方法二：角互补 PAGEREF _Tc498 \h 7
\l "_Tc20811" 三、专项训练 PAGEREF _Tc20811 \h 10
一、必备秘籍
角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在中有：;
在中有：
二、典型题型
方法一：等面积法
1．（23-24高一下·山东·阶段练习）的内角的对边分别为，满足
(1)求；
(2)的角平分线与交于点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式正弦定理倍角公式化简已知等式，即可求解；
（2）由，得，利用基本不等式求的最小值.
【详解】（1）由得：，
由正弦定理得：，倍角公式得，
由，有，所以，
得，所以.
（2）由，得，
即，得，
，
当且仅当即 时等号成立
所以的最小值为.
2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且，
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简即可求出.
（2）利用余弦定理及已知求出，然后利用三角形面积公式列方程求解即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，得
，即，
而，解得，又，
所以.
（2）由及余弦定理得，又，解得，
由得，
即，则，
所以.
3．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）如图在中，，，分别是角，，所对的边，是边上的一点.
(1)若，，，，求的面积.
(2)试利用“”证明：“”；
(3)已知，是的角平分线，且，，求的面积.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据，利用三角形面积公式求解即可；
（2）由得，两边同时乘以，再利用向量的数量积即可证明；
（3）根据正弦定理将角化边求出，利用和余弦定理求出的值即可求出的面积.
【详解】（1），，
，
的面积为；
（2），，
两边同时乘以得，
即,
，
两边同时除以，得，
；
（3），
根据正弦定理有，即，
，，，即，
，，即，
是的角平分线，，
，
，
即，
整理得①，
在中，,
即②，
①②联立解得（舍）或，
,
的面积为.
4．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，
（2）由，可得，根据等面积法可求，由余弦定理即可求的值．
【详解】（1）由可得
故，进而，
由于所以
（2）由面积公式得，解得，
，，
即，，
又，，
．
5．（22-23高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
【答案】(1)
(2)长的最小值为，的最大值
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，
方法二：角互补
1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求；
(2)若点在边上，，且满足 ，求边长；
请在以下三个条件：
①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；
其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可；
（2）由（1）问，分析边角关系，利用余弦定理等知识求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
由倍角公式可得，则，
又因为，则，
所以，
即．
且，则，可得，
又因为，所以．
（2）若选择①：若为的中线，设（），
由余弦定理可得，，
因为，可得，
即，整理得，可知，
又因为，解得或（舍去），
所以；
若选择②：若为的角平分线，则，
在中，由余弦定理得，即，
可知，即，可知，，
所以；
若选择③：若为的高线，则，
则，即，则，
可知，可知，,
所以．
2．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．
【答案】
【分析】由三角恒等变换化简可得出，利用角平分线定理可得出，结合可得出，，然后在、中，应用余弦定理可得出，结合已知条件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】解：因为，
所以，，
即，由正弦定理可得，
因为的角平分线交于，则，所以，．
又因为，，由可得，
即，则，．
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得．②
因为，
则①②可得，，即，
即，即，解得，
此时满足，故，所以，．
3．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.
(1)若为的角平分线，求的周长；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由和，根据为的角平分线，得到，再与求解.
(2)由和，得到，再结合，得到求解.
【详解】（1）在中，，①
在中，，②
因为为的角平分线，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，
所以，，
所以的周长为.
（2）在中，，
在中，，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
所以所以，
令，则，
则，，
，
当时， ，当 时， ，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，所以的取值范围为.
三、专项训练
1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．
【答案】
【分析】由余弦定理求得，然后由角平分线定理求得，，再由余弦定理利用，求得．
【详解】中，由余弦定理得，
解得（舍去），
是角平分线，则，
所以，，
又由余弦定理得：
，
，
而，
因此，
，
，．
故答案为：．

2．（2024·浙江·模拟预测）在中，是的角平分线且，若，则 ，的面积为 ．
【答案】 6
【分析】根据给定条件，求出边AB，AC长的关系，再利用余弦定理、三角形面积定理求解作答.
【详解】在中，是的角平分线，且，则有：
，令，则，
在与中，由余弦定理得：，，
因此，，得，即有，解得，
的面积为.
故答案为：；6
3．（23-24高三下·浙江·开学考试）在△中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 ， .
【答案】
【分析】由角平分线的性质可得，设结合列方程求参数m，即可求，再由余弦定理求.
【详解】由角平分线的性质知：，若，
因为，则，
所以，整理得，解得或（舍）.
所以，则.
故答案为：
4．（23-24高三上·江西赣州·）在中，内角的对边分别为，满足为的角平分线，且，则 .
【答案】6
【解析】根据题意先求出的三角函数值，在中，已知两边夹一角，可以利用余弦定理求出， 再求出的三角函数值，在中，已知和，先求出，再利用正弦定理求解即可.
【详解】记，因为，所以，，
在中，由余弦定理，，代入数据，解得，
，
，所以，，
在中，，
由正弦定理， ，即，解得，，即.
故答案为：6
【点睛】本题主要考查解三角形正弦定理和余弦定理的综合应用，考查学生对三角形中角和边关系的分析能力，同时还考查学生的计算能力，属于中档题.
5．（2024·江苏常州·模拟预测）已知中内角的对边分别是，.
(1)求的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形的正弦定理，结合诱导公式以及两角和的正弦公式可得所求值；
（2）设ADx，运用三角形的面积公式，结合等积法可得，解方程可得所求值．
【详解】（1），由，可得，
，可得B为锐角，则，
所以sin=，
由=可得，解得；
（2）由（1）可得，
因为是的平分线，
所以,
设，由，
可得，
化为，
解得，
则．
6．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.
（2）利用三角形面积公式，先求，再利用余弦定理求即可.
【详解】（1），
，
由正弦定理得，
，
又，.
（2）
，
，
，
由题意知，
，
，
，
，
，故.
的周长为.
7．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求角A的大小；
(2)若是角平分线，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合同角的三角函数关系即可求得答案；
（2）根据角平分线性质可得，利用展开化简即可证明结论.
【详解】（1）由，由正弦定理可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，可得.
（2）因为是角平分线，且，所以，
所以，
可得，
可得，
所以，所以，
即.
8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.
（2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
又在中，,
∴，
即，
又，∴,
又，∴，即角B的大小为.
（2）∵.
是的角平分线，而，
∴，
即，∴.
∵，∴，
∵，∴，即,
当且仅当时取等号，则，
即的面积的最小值为.
9．（2024·广东惠州·模拟预测）条件①，
条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，
(1)求；
(2)若是的角平分线，且，求的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由已知结合三角形的面积公式可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得，
即，
所以，
而，，故，因为，所以；
选②：因为，由正弦定理，
即，由余弦定理，
因为，所以；
选③：因为，
正弦定理及三角形内角和定理可得，
即，
因为、，则，所以，，，
所以，所以，即.
（2）解：由题意可知，，
由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，即，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
10．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，.
(1)若点D为的中点且，求的余弦值；
(2)若的角平分线与相交于点E，当取得最大值时，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）延长到F，构造平行四边形，转化角后由余弦定理计算；
（2）设，，由余弦定理用表示出，由面积把用表示，然后计算出，利用基本不等式得最大值．
【详解】（1）根据题意，延长到F，使得，连接，
可得四边形为平行四边形，
所以；
（2）设，，
可得，
因此，
又
当且仅当时等号成立，
所以.