临沂第十八中学2024-2025学年高二上学期9月份诊断性测试数学试卷(含答案)

这是一份临沂第十八中学2024-2025学年高二上学期9月份诊断性测试数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知向量，，且，那么实数等于( )
A.3B.-3C.9D.-9
2．直线的倾斜角( )
A.B.C.D.
3．如图,在四面体中,,,,点M在OA上,且,N为BC的中点,则等于( )
A.B.C.D.
4．已知直线过定点P,则点P到直线距离的最大值是( )
A.1B.2C.D.
5．直线的倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．如图，二面角等于，A、B是棱l上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于( )
A.B.C.4D.2
7．如图，正方形的棱长为2，线段上有两个动点E，F（点E在F的左边），且，下列说法错误的是( )
A.当点E，F运动时，不存在点E，F使
B.当点E，F运动时，不存在点E，F使
C.当点E运动时，二面角的最大值为
D.当点E，F运动时，二面角为定值
8．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”事实上,很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决,列如,与相关的代数问题,可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线,点在直线上,且,结合上述观点,的最小值为( )
A.B.C.D.5
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角为
B.若直线经过第三象限,则,
C.方程表示的直线都经过点
D.存在a使得直线与直线垂直
10．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中,正确的是( )
A.两条不重合直线,的方向向量分别是,,则
B.直线的方向向量,平面的法向量是,则
C.两个不同的平面,的法向量分别是,则
D.直线l的方向向量,平面的法向量是,则
11．如图,棱长为的正方体中,点M、N满足,,其中、,点P是正方体表面上一动点,下列说法正确的是( )
A.当时,平面
B.当时,若平面,则的最大值为
C.当时,若,则点P的轨迹长度为
D.过A、M、N三点作正方体的截面,截面图形可以为矩形
三、填空题
12．已知直线l的一个方向向量为,若点为直线l外一点,为直线l上一点,则点P到直线l的距离为________.
13．已知,,点P在直线上,若使取最小值,则点P的坐标是________.
14．过点与x轴、y轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为________.
四、解答题
15．求满足题意的直线方程:
（1）求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;
（2）求过点,且在x轴上的截距等于在y轴上截距的直线方程.
16．如图,梯形ABCD中,,,,沿对角线AC将折起,使点B在平面ACD内的投影O恰在AC上.
（1）求证:平面BCD;
（2）求异面直线BC与AD所成的角;
17．如图,四边形ABCD是圆柱OE的轴截面,点F在底面圆O上,,,点G是线段BF的中点.
（1）证明:平面DAF;
（2）求直线EF与平面DAF所成角的正弦值.
18．如图所示,在三棱柱中,四边形为菱形,,平面平面,,,E为AC的中点.
（1）求证:平面;
（2）求平面与平面所成角的大小.
19．在中,,,,D,E分别是AC,AB上的点,满足且DE经过的重心,将沿DE折起到的位置,使,M是的中点,如图所示.
（1）求与平面所成角的大小;
（2）在线段上是否存在点N（N不与端点,B重合）,使平面CMN与平面DEN垂直?若存在,求出与BN的比值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：，,且，,解得，,.故选:D.
2．答案：B
解析：由可得直线斜率,
又,
所以.
故选:B
3．答案：B
解析：因为N为BC中点,所以,
因为M在线段OA上,且,
所以,
所以,
故选:B
4．答案：D
解析：由题意知,直线恒过定点,
直线恒过定点,如图所示,
过作的垂线段PH,垂足为H,
那么必有,当且仅当Q与H重合时取等号,
从而PH的最大值为,
即点P到直线距离的最大值是.
故选:D.
5．答案：B
解析：设直线的倾斜角为.
因为,,,所以,.
又,则.
当时,单调递增,解,可得;
当时,单调递增,解,可得.
综上所述,.
故选:B.
6．答案：C
解析：由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，，得，，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
7．答案：C
解析：以C为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图（1），
则，，，，.因为点E，F在上，且，，所以可设，则.所以，，所以，所以恒为正，故A不符合题意.若，则A，B，，四点共面.这与AB和是异面直线矛盾，故B不符合题意.设平面ABE的法向量为.因为，，所以即取，则，，所以.易得平面ABC的法向量为，所以.设二面角的平面角为，则为锐角，所以.因为，在上单调递减，所以，所以，当且仅当时，取得最大值，为，即取得最小值，故C符合题意.如图（2），连接，，.因为平面EFB即为平面，而平面AEF即为平面，所以当点E，F运动时，二面角的大小保持不变，故D不符合题意.选C.
8．答案：D
解析：由已知表示点到点的距离,
表示点到点的距离,
所以,
过点A作,垂足为,
因为直线的方程为,,
所以,
又直线与直线平行,,
所以,
所以,,
所以四边形为平行四边形,
所以,
所以,
又,
当且仅当C,N,B三点共线时等号成立,
所以当点N为线段CB与直线的交点时,
取最小值,最小值为,
因为过点与直线垂直的直线的方程为,
联立,可得,
所以点的坐标为,所以,
所以的最小值为5,
故选:D.
9．答案：ACD
解析：对于A,直线的斜率,该直线的倾斜角为,A正确;
对于B,当,时,直线经过第三象限,B错误;
对于C,直线方程可整理为,
由得:,直线恒过定点,C正确;
对于D,若两直线垂直,则,解得:,D正确.
故选:ACD.
10．答案：AC
解析：对于A,两条不重合直线,的方向向量分别是,,
则,所以,即,故A正确;
对于B,直线l的方向向量,平面的法向量是,
则,所以,即或,故B错误;
对于C,两个不同的平面,的法向量分别是,,
则,所以,故C正确;
对于D,直线l的方向向量,平面a的法向量是,
则,所以,即,故D错误.
故选:AC.
11．答案：AC
解析：以点为原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、,、、,
对于A选项,当时,
,
设平面的法向量为,,,
则,取,可得,
所以,,则,
因为平面,故当时,平面,A对;
对于B选项,当时,N为CD中点,
分别取AB、BC中点G、H,连接、GH、、、GN,
因为G、H分别为AB、BC的中点,所以,,
又因为且,所以,四边形为平行四边形,则,
所以,,
因为平面,平面,所以,平面,
因为且,G、H分别为AB、BC的中点,
所以,且,所以,四边形BCNG为平行四边形,可得且,
又因为且,所以,且,
故四边形为平行四边形,则,
因为平面,平面,则平面,
因为,、平面平面,
当点P为的边上一点（异于点）时,则平面,则平面,
故点P的轨迹为的边（除去点）,
因为,同理可得,
结合图形可得,B错;
当时,、分别为、的中点,如下图所示:
此时点、、,,
当点在平面内运动时,设点,其中,,
则,
因为,则,解得,
设点P的轨迹分别交棱、于点、,则、,
当点P在平面内运动时,设点,其中,,
,则,
设点P的轨迹交棱于点,则,设点P的轨迹交棱于点,
因为平面平面,平面平面,
平面平面,所以,,同理可得,
所以,四边形RQFT为平行四边形,且,,
因此,点P的轨迹的长度即为平行四边形RQFT的周长,C对;
对于D选项,设截面AMN交棱于点U,连接AU、,
题意可知,截面AMN与平面重合,
因为平面平面,平面平面,
平面平面,所以,,同理可得,
所以,四边形为平行四边形,
易知,其中,所以,,,
所以,,故与不可能垂直,
故平行四边形不可能为矩形,故过A,M,N三点的截面不可能是矩形,D错.
故选:AC.
12．答案：
解析：由题意可得l的一个单位方向向量为,
,
故点P到直线l的距离.
故答案为:.
13．答案：
解析：点关于直线的对称点为,又,
则直线BE的方程为,即,
联立,解得,,
所以使取最小值的点P的坐标是.
故答案为:.
14．答案：
解析：由题可设直线方程为,又直线过点,
得到,又三角形面积为,
又,得到,当且仅当,即时取等号,
又,得到,所以直线方程为,即,
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）斜率是直线的斜率的的直线斜率,
利用斜截式可得:,化为一般式:.
（2）直线经过原点时满足条件,可得直线方程为:,即;
直线不经过原点时,截距不为0,
设直线方程为:,把点代入可得:,解得,
化为一般式:;
综上:所求直线为或.
16．答案：（1）证明见解析
（2）60°
解析：（1）因为,,
所以,
又,,故,
由余弦定理得,
所以,
,
.
由题意得平面ACD,平面ACD,
,
,BO,平面ABC,
平面ABC,
平面ABC,
,
,BC,平面BCD,
平面BCD;
（2）取AD的中点E,连接OE,则,
故.
以O为坐标原点,OA,OE,OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
则,,,,
,,
设异面直线BC与AD所成的角为,
,即异面直线BC与AD所成的角为60°.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证法一:连接OE,OG.
在圆柱OE中,四边形ABCD是圆柱OE的轴截面,所以.
又平面DAF,平面DAF,所以平面DAF.
在中,点O,G分别是AB和BF的中点,所以.
又平面DAF,平面DAF,所以平面DAF.
又,OE,平面OEG,所以平面平面DAF.
又平面OEG,所以平面DAF.
证法二:取AF的中点M,连接MD,MG.
因为点M,G分别是FA和FB的中点,所以,.
在圆柱OE的轴截面四边形ABCD中,,,
所以,,因此四边形DEGM是平行四边形.
因此.
又平面DAF,平面DAF,所以平面DAF.
证法三:以O为坐标原点,AB的中垂线为x轴,OB为y轴,OE为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
则,.
因为AB为底面圆O的直径,点F在圆O上,所以.
又,所以,因此.
因为点G是线段BF的中点,所以,
因此.
因为平面ABF,平面ABF,所以.
又,,AF,平面DAF,所以平面DAF,
因此是平面DAF的一个法向量.
因为,
又平面DAF,所以平面DAF.
（2）法一:以O为坐标原点,AB的中垂线为x轴,OB为y轴,OE为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
则,.
因为AB为底面圆O的直径,点F在圆O上,所以.
又,所以,因此.
因此,.
因为平面ABF,平面ABF,所以.
又,,AF,平面DAF,所以平面DAF,
因此是平面DAF的一个法向量.
设EF与平面DAF所成角为,,
则,
所以EF与平面DAF所成角的正弦值为.
法二:由（1）得平面DAF,
所以点E到平面DAF的距离等于点G到平面DAF的距离.
因为平面ABF,平面ABF,所以.
因为AB为底面圆O的直径,点F在圆O上,所以.
又,AF,平面DAF,所以平面DAF.
所以点E到平面DAF的距离.
连结OE,OF,则,所以.
设EF与平面DAF所成角为,,则,
所以EF与平面DAF所成角的正弦值为.
法三:过F作AD的平行线交上底面于点H,连结DH,
则平面ADF即为平面AFHD.
过E作,K为垂足,
平面DHC,平面DHC,
故,,AD,平面AFHD,则平面AFHD,
则为EF与平面ADF所成的角.
连接HC,则,则,
而E为DC中点,故K为DH的中点,故,
由于HCBF为平行四边形,故,
故,.
设EF与平面DAF所成角为,,则,
所以EF与平面DAF所成角的正弦值为.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）四边形为菱形,,,
,,
又平面平面,平面平面,
平面,
又,平面
（2）取的中点O,的中点N,连接OA、ON,
平面,平面
,,
又四边形是菱形,,O是的中点,
,故,ON,OA两两互相垂直,
以O为坐标原点,,ON,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,
由图可知,平面的一个法向量为,
设平面的法向量为,
则,即
取,得平面的一个法向量为,
设平面与平面所成角的平面角为,
则
又,,
平面与平画所成角为.
19．答案：（1）
（2）存在,
解析：（1）在中,因为,故,
故在四棱锥中,有,,,
而,故平面,因平面,
所以,而,故,
而,故可建立如图所示的空间直角坐标系:
在中,因为DE经过的重心G（如图）,连接AG并延长,交BC于H,
则,故,
因为,故,
在中,,
则,,,,,
故,故,又,,
设平面的法向量为,
则,即,
取,则,,故,
故,
故CM与平面所成角的正弦值为,
因为CM与平面所成角为锐角,故该角为.
（2）设,则,故,
又,,,
设平面CMN的法向量为,
则,即,
取,则,故,
设平面DEN的法向量为,
则,即,
取,则,故,
因为平面平面CMN,故,
所以,故,
所以.