浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
展开一、选择题
1.直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2.已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3.在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为( )
A.B.C.D.
4.已知复数z满足,则( )
A.B.C.D.
5.如图,在斜棱柱中,与的交点为点M,,,,则( )
A.B.C.D.
6.设函数在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7.已知光线从点射出,经直线反射,且反射光线所在直线过点,则反射光线所在直线的方程是( )
A.B.C.D.
8.在正四面体中,M,N分别为和的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9.已知函数,则( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在区间上单调递减
D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10.关于空间向量,下列说法正确的是( )
A.直线l的方向向量为,平面的法向量为,则
B.直线l的方向向量为,直线m的方向向量,则
C.平面,的法向量分别为,,则
D.若对空间内任意一点O,都有,则P,A,B,C四点共面
11.如图所示,边长为2的等边从起始位置(与y轴重合)绕着O点顺时针旋转至与x轴重合得到,在旋转的过程中,下列说法正确的是( )
A.边所在直线的斜率的取值范围是
B.边所在直线在y轴上截距的取值范围是
C.边与边所在直线的交点为
D.当的中垂线为时,
三、填空题
12.某学校有高二学生700人,其中男生420人,女生280人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息,采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本(观测数据单位:),若已知男生样本的平均数为172,女生样本的平均数为162,则总样本的平均数是________.
13.已知直线,则与的距离________.
14.如图,在四棱锥中,平面平面,底面是矩形,,,,点O是的中点,则线段上的动点E到直线的距离的最小值为________.
四、解答题
15.求满足下列条件的直线的一般式方程:
(1)直线l的一个方向向量是,且经过,的交点P;
(2)与直线垂直,且点到直线l的距离为.
16.如图,长方体中,,,E是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求点E到平面的距离.
17.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(1)求角B的大小;
(2)若,,求的面积.
18.图1是直角梯形,,,,,,,以为折痕将折起,使点C到达的位置,且,如图2.
(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(3)在棱上是否存在点P,使得二面角的平面角为?若存在,求出线段的长度,若不存在说明理由.
19.已知点P和非零实数,若两条不同的直线,均过点P,且斜率之积为,则称直线,是一组“共轭线对”,如直线和是一组“共轭线对”,其中O是坐标原点.
(1)已知,是一组“共轭线对”,且直线,求直线的方程;
(2)已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线,,上的点(A,B,C与P,Q,R均不重合),且直线,是“共轭线对”,直线,是“共轭线对”,直线,是“共轭线对”,求点P的坐标;
(3)已知点,直线,是“共轭线对”,当的斜率变化时,求原点O到直线,的距离之积的取值范围.
参考答案
1.答案:A
解析:设直线倾斜角为,则直线斜率,
,
.
故选:A
2.答案:C
解析:集合,,则.
故选:C.
3.答案:C
解析:根据点关于平面对称时,
横坐标,纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数可知,
点关于平面的对称点为,
故选:C.
4.答案:B
解析:设,,则,
所以,故,
解得,,故.
故选:B
5.答案:B
解析:由题意,
.
故选:B
6.答案:D
解析:令,则
,在R上单调递增;
,对称轴为,
时,单调递减;时,单调递增;
由复合函数可知:时,单调递减;时,单调递增.
故,,.
故选:D
7.答案:B
解析:设关于直线的对称点为,
则,解得,即,
所以反射光线所在直线方程为,即.
故选:B.
8.答案:A
解析:
如图示,连接,取的中点D,连接,.
因为D,N分别为和的中点,所以.
所以(或其补角)即为异面直线与所成的角.
在正四面体中,设其边长为2,
则,所以.
而,.
在中,由余弦定理得:.
即异面直线与所成的角的余弦值为.
故选:A
9.答案:AC
解析:的最小正周期为,故A正确;
由得的所有对称轴为,
其中不包含直线,故B不正确.
由
得的所有单调递减区间为,
当时,,故C正确.
的图象可由的图象向左平移个单位长度得到,故D不正确.
故选:AC
10.答案:BD
解析:对于A,直线l的方向向量为,平面的法向量为,
所以,则,故错误;
对于B,直线l的方向向量为,直线m的方向向量,
由,则,故正确
对于C,平面,的法向量分别为,,
所以,,则,故错误;
对于D,,得,则P,A,B,C四点共面,故正确.
故选:BD.
11.答案:ACD
解析:由题意可知,、、、,
,,
对于A选项,边所在直线斜率的取值范围是,A对;
对于B选项,设边的中点为E,则,且,
设点,其中为锐角,设,则,
因为,则,
,则,
所以,直线的方程为,即,
所以,边所在直线在y轴上截距为,B错;
对于C选项,直线的方程为,直线的方程为,
联立可得,
因此,边与边所在直线的交点为,C对;
对于D选项,当的中垂线为时,即,则,
则,所以,,D对.
故选:ACD.
12.答案:168
解析:根据题意男生人数所占频率为,女生人数所占频率为,
所以抽取的男生人数为,抽取的女生人数为,
又因为因为男生样本的平均数为172,女生样本的平均数为162,
所以总样本的平均数是.
故答案为:168
13.答案:/1.5
解析:因为,则与的距离,
故答案为:
14.答案:
解析:
如上图,取的中点为.连接、、.
,点O是的中点,.
又平面平面,平面平面,平面,
平面.
又平面,.
又底面是矩形,O、是、中点,.
以点O为原点,、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系如图所示,由,,,
得,.
,,,则,,
设,则,,
,
,
向量的单位方向向量,
则,
因此点E到直线的距离
,
当时,d取最小值,
线段上的动点E到直线的距离的最小值为.
故答案为:.
15.答案:(1);
(2)或.
解析:(1)根据直线l方向向量,可求得直线斜率为,
联立,,可求得,
根据点斜式可得,化简可得.
(2)直线l与直线垂直,可求得,
解之可求得,设直线l的一般式方程为,
根据点到直线距离公式,解之可得或,
所以直线l的方程为或.
16.答案:(1)证明见解析;
(2)1
解析:(1)如图建系,则
,,,,,
,,,,
,,,
因为,,
所以,,又,平面,
所以平面;
(2)设平面的法向量,
,
又,
所以.
17.答案:(1);
(2)或
解析:(1)方法一
即
得:
方法二:
得
即
得:
(2)由余弦定理得:.
得:
或
或.
方法二:由正弦定理:
或
或.
18.答案:(1)证明见解析;
(2);
(3)存在,.
解析:(1)证明:在图1中,连结,由已知条件得,
且,
四边形为菱形,连结交于点F,
,
又在中,,,
在图2中,,,,
由题意知,且
平面,又平面,
平面平面;
(2)如图,以D为坐标原点,,分别为x,y轴,方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.由已知得各点坐标为
,,,
,,,
所以,,,
设平面的法向量为,则,,
所以,即,
令,解得,,
所以,,记直线与平面所成角为,
则.
(3)假设存在,设,
所以,,
∵平面,易得平面的一个法向量,
设平面PBE的一个法向量,
由,可得,可取,
则,
解得,此时.
19.答案:(1);
(2);
(3)
解析:(1)由已知得,且,,
直线的方程为.
(2)设直线,,的斜率分别为,,,
则解得或
又三条直线的倾斜角均为锐角,所以,,,
故直线的方程为,直线的方程为,联立可得.
(3)设,,其中,
原点O到直线,的距离分别为,,
则
.
由于(等号成立的条件是),故,.
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