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    浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
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    浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

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    这是一份浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.直线的倾斜角为( )
    A.B.C.D.
    2.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    3.在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为( )
    A.B.C.D.
    4.已知复数z满足,则( )
    A.B.C.D.
    5.如图,在斜棱柱中,与的交点为点M,,,,则( )
    A.B.C.D.
    6.设函数在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    7.已知光线从点射出,经直线反射,且反射光线所在直线过点,则反射光线所在直线的方程是( )
    A.B.C.D.
    8.在正四面体中,M,N分别为和的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.已知函数,则( )
    A.函数的最小正周期为
    B.函数的图象关于直线对称
    C.函数在区间上单调递减
    D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
    10.关于空间向量,下列说法正确的是( )
    A.直线l的方向向量为,平面的法向量为,则
    B.直线l的方向向量为,直线m的方向向量,则
    C.平面,的法向量分别为,,则
    D.若对空间内任意一点O,都有,则P,A,B,C四点共面
    11.如图所示,边长为2的等边从起始位置(与y轴重合)绕着O点顺时针旋转至与x轴重合得到,在旋转的过程中,下列说法正确的是( )
    A.边所在直线的斜率的取值范围是
    B.边所在直线在y轴上截距的取值范围是
    C.边与边所在直线的交点为
    D.当的中垂线为时,
    三、填空题
    12.某学校有高二学生700人,其中男生420人,女生280人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息,采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本(观测数据单位:),若已知男生样本的平均数为172,女生样本的平均数为162,则总样本的平均数是________.
    13.已知直线,则与的距离________.
    14.如图,在四棱锥中,平面平面,底面是矩形,,,,点O是的中点,则线段上的动点E到直线的距离的最小值为________.
    四、解答题
    15.求满足下列条件的直线的一般式方程:
    (1)直线l的一个方向向量是,且经过,的交点P;
    (2)与直线垂直,且点到直线l的距离为.
    16.如图,长方体中,,,E是的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求点E到平面的距离.
    17.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
    (1)求角B的大小;
    (2)若,,求的面积.
    18.图1是直角梯形,,,,,,,以为折痕将折起,使点C到达的位置,且,如图2.
    (1)求证:平面平面;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值.
    (3)在棱上是否存在点P,使得二面角的平面角为?若存在,求出线段的长度,若不存在说明理由.
    19.已知点P和非零实数,若两条不同的直线,均过点P,且斜率之积为,则称直线,是一组“共轭线对”,如直线和是一组“共轭线对”,其中O是坐标原点.
    (1)已知,是一组“共轭线对”,且直线,求直线的方程;
    (2)已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线,,上的点(A,B,C与P,Q,R均不重合),且直线,是“共轭线对”,直线,是“共轭线对”,直线,是“共轭线对”,求点P的坐标;
    (3)已知点,直线,是“共轭线对”,当的斜率变化时,求原点O到直线,的距离之积的取值范围.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:设直线倾斜角为,则直线斜率,

    .
    故选:A
    2.答案:C
    解析:集合,,则.
    故选:C.
    3.答案:C
    解析:根据点关于平面对称时,
    横坐标,纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数可知,
    点关于平面的对称点为,
    故选:C.
    4.答案:B
    解析:设,,则,
    所以,故,
    解得,,故.
    故选:B
    5.答案:B
    解析:由题意,
    .
    故选:B
    6.答案:D
    解析:令,则
    ,在R上单调递增;
    ,对称轴为,
    时,单调递减;时,单调递增;
    由复合函数可知:时,单调递减;时,单调递增.
    故,,.
    故选:D
    7.答案:B
    解析:设关于直线的对称点为,
    则,解得,即,
    所以反射光线所在直线方程为,即.
    故选:B.
    8.答案:A
    解析:
    如图示,连接,取的中点D,连接,.
    因为D,N分别为和的中点,所以.
    所以(或其补角)即为异面直线与所成的角.
    在正四面体中,设其边长为2,
    则,所以.
    而,.
    在中,由余弦定理得:.
    即异面直线与所成的角的余弦值为.
    故选:A
    9.答案:AC
    解析:的最小正周期为,故A正确;
    由得的所有对称轴为,
    其中不包含直线,故B不正确.

    得的所有单调递减区间为,
    当时,,故C正确.
    的图象可由的图象向左平移个单位长度得到,故D不正确.
    故选:AC
    10.答案:BD
    解析:对于A,直线l的方向向量为,平面的法向量为,
    所以,则,故错误;
    对于B,直线l的方向向量为,直线m的方向向量,
    由,则,故正确
    对于C,平面,的法向量分别为,,
    所以,,则,故错误;
    对于D,,得,则P,A,B,C四点共面,故正确.
    故选:BD.
    11.答案:ACD
    解析:由题意可知,、、、,
    ,,
    对于A选项,边所在直线斜率的取值范围是,A对;
    对于B选项,设边的中点为E,则,且,
    设点,其中为锐角,设,则,
    因为,则,
    ,则,
    所以,直线的方程为,即,
    所以,边所在直线在y轴上截距为,B错;
    对于C选项,直线的方程为,直线的方程为,
    联立可得,
    因此,边与边所在直线的交点为,C对;
    对于D选项,当的中垂线为时,即,则,
    则,所以,,D对.
    故选:ACD.
    12.答案:168
    解析:根据题意男生人数所占频率为,女生人数所占频率为,
    所以抽取的男生人数为,抽取的女生人数为,
    又因为因为男生样本的平均数为172,女生样本的平均数为162,
    所以总样本的平均数是.
    故答案为:168
    13.答案:/1.5
    解析:因为,则与的距离,
    故答案为:
    14.答案:
    解析:
    如上图,取的中点为.连接、、.
    ,点O是的中点,.
    又平面平面,平面平面,平面,
    平面.
    又平面,.
    又底面是矩形,O、是、中点,.
    以点O为原点,、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴
    建立空间直角坐标系如图所示,由,,,
    得,.
    ,,,则,,
    设,则,,


    向量的单位方向向量,
    则,
    因此点E到直线的距离

    当时,d取最小值,
    线段上的动点E到直线的距离的最小值为.
    故答案为:.
    15.答案:(1);
    (2)或.
    解析:(1)根据直线l方向向量,可求得直线斜率为,
    联立,,可求得,
    根据点斜式可得,化简可得.
    (2)直线l与直线垂直,可求得,
    解之可求得,设直线l的一般式方程为,
    根据点到直线距离公式,解之可得或,
    所以直线l的方程为或.
    16.答案:(1)证明见解析;
    (2)1
    解析:(1)如图建系,则
    ,,,,,
    ,,,,
    ,,,
    因为,,
    所以,,又,平面,
    所以平面;
    (2)设平面的法向量,

    又,
    所以.
    17.答案:(1);
    (2)或
    解析:(1)方法一

    得:
    方法二:


    得:
    (2)由余弦定理得:.
    得:

    或.
    方法二:由正弦定理:

    或.
    18.答案:(1)证明见解析;
    (2);
    (3)存在,.
    解析:(1)证明:在图1中,连结,由已知条件得,
    且,
    四边形为菱形,连结交于点F,

    又在中,,,
    在图2中,,,,
    由题意知,且
    平面,又平面,
    平面平面;
    (2)如图,以D为坐标原点,,分别为x,y轴,方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.由已知得各点坐标为
    ,,,
    ,,,
    所以,,,
    设平面的法向量为,则,,
    所以,即,
    令,解得,,
    所以,,记直线与平面所成角为,
    则.
    (3)假设存在,设,
    所以,,
    ∵平面,易得平面的一个法向量,
    设平面PBE的一个法向量,
    由,可得,可取,
    则,
    解得,此时.
    19.答案:(1);
    (2);
    (3)
    解析:(1)由已知得,且,,
    直线的方程为.
    (2)设直线,,的斜率分别为,,,
    则解得或
    又三条直线的倾斜角均为锐角,所以,,,
    故直线的方程为,直线的方程为,联立可得.
    (3)设,,其中,
    原点O到直线,的距离分别为,,

    .
    由于(等号成立的条件是),故,.
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