重庆市第十八中学2024-2025学年高一上学期第一学月考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第十八中学2024-2025学年高一上学期第一学月考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题“,”的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
2．下列表示正确的个数是( )
（1）;
（2）;
（3）;
（4）若,则
A.3B.2C.1D.0
3．估计的值应在( )
A.9和10之间B.8和9之间C.7和8之间D.6和7之间
4．已知二次函数的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A.B.
C.且D.且
5．比较与（,）的大小( )
A.B.
C.D.
6．已知,则的最小值为( )
A.16B.18C.8D.20
7．已知命题,命题,,若命题p,q都是真命题,实数a的取值范围是( )
A.B.C.或D.
8．已知集合且,定义集合,若,给出下列说法：①；②；③；正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
二、多项选择题
9．下列说法不正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的充分不必要条件
C.若,则“”的充要条件是“”
D.若,则“”是“”的充要条件
10．设正实数m,n满足,则( )
A.的最小值为3B.的最大值为2
C.的最大值为1D.的最小值为
11．已知二次函数（,a,b,c为常数）的对称轴为,其图像如图所示,则下列选项正确的有( )
A.
B.当时,函数的最大值为
C.关于x的不等式的解为或
D. 若关于x的函数与关于t的函数有相同的最小值,则
三、填空题
12．已知集合,则___________．
13．已知,,求的取值范围__________．
14．已知正实数x,y满足,且,则的最小值为__________.
四、解答题
15．已知，或.
（1）若，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围.
16．已知集合,
（1）若,写出的所有子集
（2）若是的必要条件,求实数m的取值范围.
17．对于二次函数,若存在,使得成立,则称为二次函数的不动点．
(1)求二次函数的不动点;
(2)若二次函数有两个不相等的不动点、,且、,求的最小值．
18．某食品企业为了提高其生产一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x吨与年促销费用t万元之间满足函数关系式（k为常数）,如果不开展促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完.
(1)求k值;
(2)将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数;
(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时,该款食品的利润最大？
（注：利润销售收入生产成本促销费,生产成本固定费用生产费用）
19．问题：正数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足，求的最小值；
（2）若正实数a，b，x，y满足，且，试比较和的大小，并说明理由；
（3）若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
参考答案
1．答案：C
解析：命题“,”,
由全称命题的否定可知,
命题“,”的否定为：,
故选：C.
2．答案：A
解析：因为空集没有任何元素,故,故（1）正确;
因为空集是任何集合的子集,故,故（2）正确;
解方程组得,则,故（3）错误;
若,则,故（4）正确.
所以正确的个数是3．
故选：A．
3．答案：C
解析：,
因为,
所以,
所以,
故选：C.
4．答案：D
解析：由已知二次方程有解,
所以,且,
所以且.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为,,
所以,,
所以
,
所以,
故选：C.
6．答案：B
解析：因为,所以,
又因为,
所以
（当且仅当即时等号成立）,
故选：B.
7．答案：C
解析：
命题,,为真命题,
,或
命题p,q都是真命题,
或.
故选:C.
8．答案：D
解析：因为集合且,
若,则B中也包含四个元素,即
剩下的,,
对于①:由得,故①正确;
对于②：由得,故②正确;
对于③：由得,故③正确;
故选:D.
9．答案：AC
解析：对于A选项,当,时,当时,所以两者既不充分也不必要,故A错误;
对于B选项,当时,可取,,但,当时,,故B正确;
对于C选项,当时,,从而,反之,时,若,则,所以两者不是充要条件,故C错误;
对于D选项,,且,故D正确,
故选:AC
10．答案：BC
解析：因为正实数m,n满足,
所以,
当且仅当,即,,等号成立,故A错误;
,当且仅当时,等号成立,所以,故B正确;
,所以,当且仅当时,等号成立,故C正确;
,当且仅当时,等号成立,故D错误;
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：A选项,二次函数图象开口向上,故,
对称轴为,故,
图象与y轴交点在y轴正半轴,故,
所以,故,A正确;
B选项,因为,故,
因,所以,
当时,随着的增大而减小,
所以时,y取得最大值,最大值为,B错误;
C选项,因为,所以,
,
故不等式变形为,
因为,,解得：或,故C正确;
D选项,,当时,t取得最小值,最小值为,
,当时,y取得最小值,最小值为,
所以,即,所以,
即,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：-1
解析：由题意得,,解得或,
当时,集合为,不满足集合中元素的互异性,舍去,
当时,集合为,满足题意,
故答案为：-1．
13．答案：
解析：设,则解得
故,
由,故,
由,故,
所以.
故答案为：.
14．答案：4
解析：因为,
所以,
所以,
（当且仅当时,联立,
解得,）,
所以的最小值为4,
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）①当时，，，.
②当时，要使，必须满足，解得.
综上所述，a的取值范围是.
（2），，或，
，解得，
故所求a的取值范围为.
16．答案：（1）,,,,,,,
（2）
解析：（1）,
若,则,此时,
所以子集为,,,,,,,.
（2）若是的必要条件,只需.
①若B中没有元素即,
则,此时,满足;
②若B中只有一个元素,则,此时．
则,此时满足;
③若B中有两个元素,则,此时．
因A中也有两个元素,且,则必有,
由韦达定理得,则,矛盾,故舍去．
综上所述,当时,．
所以实数m的取值范围：．
17．答案：（1）不动点为-1和3
（2）6
解析：（1）由题意知：,
,
,
解得,,
所以二次函数的不动点为和．
（2）依题意,有两个不相等的正实数根,
即方程有两个不相等的正实数根,
所以,解得,
所以,,
所以
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为6．
18．答案：（1）
（2）
（3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时,该款食品的利润最大为万元.
解析：（1）由题意可知,当时,,所以,解得;
（2）由于,故,
由题意知,当年生产x吨时,年生产成本为：,
当销售x吨时,年销售收入为：,
由题意,,
即.
（3）由（2）知：,
即
,
当且仅当,又,即时,等号成立.
此时,.
该食品企业下一年的促销费投入6万元时,该款食品的利润最大为万元.
19．答案：（1）
（2），理由见解析
（3）时，M取得最小值
解析：（1），，，则，
所以，，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值是.
（2），
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当，即同号时等号成立.
此时x，y满足；
（3）令，，构造，
所以，即，因此，，
所以，
取等号时，即，结合，解得，，
即，.
所以时，M取得最小值.