热点专题 2.4 指数与指数函数（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点专题 2-4 指数与指数函数
模块一
总览
热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171375841" 【题型1】指数幂的运算
\l "_Tc171375842" 【题型2】 指数函数过定点问题
\l "_Tc171375843" 【题型3】求指数函数的解析式
\l "_Tc171375844" 【题型4】指数函数的图象及应用
\l "_Tc171375845" 【题型5】比较指数幂的大小
\l "_Tc171375846" 【题型6】解指数方程或不等式
\l "_Tc171375847" 【题型7】指数型复合函数单调性
\l "_Tc171375848" 【题型8】指数型函数的值域问题
\l "_Tc171375849" 【题型9】指数函数的实际应用
\l "_Tc171375850" 【题型10】指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合
\l "_Tc171375851" 【题型11】指数函数的综合性问题
【题型1】指数幂的运算
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
指数与根式的概念
1、n次方根的定义
（1）定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且
（2）偶次方根的被开方数要为非负数
2、根式
（1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）性质：（，且）
a；
3、分数指数幂的意义
（1）分数指数幂的意义
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
4、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如有意义，但就没有意义．
5、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
6、实数指数幂的运算性质
①．
②．
③．
（1）；
（2）已知，，求的值.
【解析】（1）原式
（2）因为，，
所以，，
所以.
【巩固练习1】化简或求值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（且）.
【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）
【解析】（1）原式=.
（2）
=21.
（3）
.
（4）.
【巩固练习2】已知，求下列各式的值.
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3）
【解析】（1）将两边平方，得，
所以．
（2）将两边平方，得，
所以．
（3）∵，，，
∴，
∴．
【巩固练习3】计算(−64)13+[(−3)4]14−(2−1)0+3338=（ ）
A．−132B．−112C．−12D．12
【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.
【解答过程】(−64)13+[(−3)4]14−(2−1)0+3338=(−43)13+(34)14−1+[(32)3]13=−4+3−1+32=−12.
故选：C.
【题型2】 指数函数过定点问题
指数函数图象都经过点，恒过定点．
已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】令，得，则.
所以函数（且）的图象恒过定点.
【巩固练习1】函数（且）的图象恒过定点，则等于 .
【答案】2
【解析】由，即，得，所以，所以
【巩固练习2】（2024·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 .
【答案】
【解析】函数且的图象过定点，
则，所以，
由，得，
则
令，则，
则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
所以的最小值是.
【题型3】求指数函数的解析式
已知是指数函数，若，则___________.
【答案】
【解析】设，
因为，即，解得，所以，即．
【巩固练习1】已知函数，若为偶函数，且在是增函数，求的解析式
【答案】
【解析】在上增函数，，解得
又,，
由为偶函数知，；
【巩固练习2】已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，则，所以，
又因为函数是奇函数，所以，
所以当时．
【题型4】指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，指数函数的图像呈上升趋势；当时，指数函数的图像呈下降趋势.
（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数图象过原点，所以，
得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，
所以，则，所以.
函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】C
【解析】直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而，
所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选：C.
【巩固练习1】函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】由函数的图像可知，
函数在定义域上单调递减，
，排除AB选项；
函数图像是由向左平移所得，
，.故D选项正确.
【巩固练习2】若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以，
又由，可得，可得，
结合选项，只有C项适合.故选：C.
【巩固练习3】如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（ ）
A． B． C．； D．．
【答案】B
【解析】作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，
所以，故选：B
【题型5】比较指数幂的大小
比较指数幂的大小
常用方法有：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
若，则a､b､c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即，故选：A
（2024·四川·模拟预测）设a=0.50.4，b=0.41.1，c=1.10.5，则（ ）
A．a