江西省上饶市广信二中2024-2025学年高三上学期十月月考数学试卷

这是一份江西省上饶市广信二中2024-2025学年高三上学期十月月考数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B． C． D．
2．七巧板是中国民间流传的智力玩具，已基本定型为由下面七块板组成；五块等腰直角三角形（其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形），一块正方形和一块平行四边形．可以拼成人物、动物、植物、房亭，楼阁等种以上图案，现从七巧板的五块三角形中任意取出两块；则两块板恰好是全等三角形的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知均为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知正四棱台的体积为，底面边长，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知的展开式中，常数项为60，则的值为（ ）
A．2B．2，C．3D．3，
6．一医疗团队为研究治疗某种疾病的新药能否有助于7天内治愈该疾病病人，在已患病的500例病人中，随机分为两组，实验组服用该新药，对照组不服用该药，在其他治疗措施相同的情况下，统计7天内痊愈病例数，得到如下数据：
根据表格数据，下列结论正确的是（ ）
参考公式及数据：，其中．
A．在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关
B．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，可以认为服用该新药与7天内治愈病人无关
C．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关
D．根据小概率值的独立性检验，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关
7．已知数列满足，则，则（ ）
A．3B．C．D．
8．已知函数，，若函数的图象与的图象在0,+∞上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．1,+∞D．
二、多项选择题：共3小题，每小题6题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．B．若，则x的值是
C．的解集为D．的值域为
10．下列说法命题正确的是（ ）
A．已知，，则在上的投影向量为
B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且，则
D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
11．设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于原点对称
C．D．的极小值为3
三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分．
12．已知偶函数满足：当时，，则 .
13．已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，则的最大值为 ．
14．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是 .
四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
15．（15分）已知幂函数的图象经过点.
(1)求的解析式.
(2)设函数.
①判断的奇偶性；
②判断在上的单调性，并用定义加以证明.
16．（17分）已知函数（，）的最小正周期，.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递减区间；.
(3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
17．（13分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，，为线段的中点，为线段上的点，且平面．
(1)求证：点为线段的中点；
(2)求二面角的余弦值．
18．（17分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为．
(1)证明：平面平面．
(2)求四棱锥的体积．
(3)若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（15分）已知数列满足，且．
(1)求，，；
(2)是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知数列满足，其前项和，求
7天内未痊愈
7天内痊愈
对照组
30
170
实验组
20
280
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
高三数学参考答案
1．B
【分析】化简集合，分析两集合的元素的关系，逐项判断结论.
【详解】因为，
，
因为，
所以，
故选：B.
2．D
【分析】由古典概型的概率计算公式计算即可.
【详解】对五块三角形进行编号，记两块小型三角形为，一块中型三角形为，两块大型三角形为，
从五块三角形中任意取出两块，则样本空间为：
，共有个样本点，
则两块板恰好是全等三角形的样本点有：，共个，
所以两块板恰好是全等三角形的概率为：.
故选：D
3．B
【分析】利用向量的模的计算可得，结合二次函数可求最小值.
【详解】因为均为单位向量，且且，
所以，
，
当时，的最小值为.
故选：B.
4．A
【分析】取的中点分别为，过点作，证得且，得出为正四棱台的侧面与底面所成角的平面角，根据棱台的体积公式，求得棱台的高为，在直角中，即可求解.
【详解】如图所示，取正四棱台的上下底面中心为，
连接，则与正四棱台的上下底面垂直，即为棱台的高，设，
取的中点分别为，连接，
在直角梯形中，过点作交于点，
在等腰中，由，可得，
在等腰梯形中，由分别为的中点，可得，
所以为正四棱台的侧面与底面所成角的平面角，
因为且正四棱台的体积为，
可得，解得，即，
在直角中，可得，
所以，即侧面与底面所成的二面角的余弦值为.
故选：A.
5．B
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再确定常数项即得.
【详解】展开式的通项为，
令，可得，
因此，展开式中的常数项为.
则，.
故选：B.
6．C
【分析】求出卡方值，和6.635，10.828比较即可根据小概率值的独立性检验判断.
【详解】，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有影响，
因此在犯错误的概率不大于0.01的前提下，可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故C正确，A错误.
，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断服用该新药对7天内治愈病人有关，
因此在犯错误的概率不大于0.001的前提下，不可以推断服用该新药与7天内治愈病人有关，故BD错误.
故选：C.
7．C
【分析】根据题中递推公式代入运算即可.
【详解】因为，则有：
当，；当，；当，.
故选：C.
8．D
【分析】取函数关于轴对称的函数为，可知在0,+∞上恰有两个不同的实数根，同构可得，构建，结合单调性分析可知与在0,+∞上恰有两个不同的实数根，结合的图象分析求解.
【详解】对于函数，其关于轴对称的函数为，
由题意可知：在0,+∞上恰有两个不同的实数根，
对于，即，
整理可得，
令，可知在0,+∞上恰有两个不同的实数根，
因为对任意恒成立，
可知Fx在0,+∞上单调递增，则，整理可得，
可知与在0,+∞上恰有两个不同的实数根，
因为，
当时，，在上单调递减；
当时，；在上单调递增，
则，
且当趋近于或时，均趋近于，作出的图象如图所示：
由图可知：，所以实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：根据同构可得，构建函数，根据函数单调性分析求解.
9．ABD
【分析】将代入，得，将代入，可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确.
【详解】对于A，因为，则，
所以，故A正确；
对于B，当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：（舍）或；
的解为， 故B正确；
对于C，当时，，解得：；
当时，，解得：；
的解集为，故C错误；
对于D，当时，；
当时，；
的值域为， 故D正确.
故选：ABD.
10．CD
【分析】根据投影向量公式计算判断A，应用向量共线判断B，判断四点共面判断C，根据基底运算判断D．
【详解】对于A，由于，，则在的投影向量为，故A错误；
对于B，因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，所以，所以或，B错误；
对于C，因为P为平面ABC上的一点，所以四点共面，
则由空间向量共面定理以及可得，
，所以，C正确；
对于D：在单位正交基底下的坐标为，即，
所以在基底下满足：
，
故，，，可得，，，
则在基底下的坐标为，故D正确．
故选：CD．
11．AB
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.
【详解】因为的图象关于对称，所以，
即，则为偶函数，故A正确；
由得，，两边取导数得，，
即，所以，则是奇函数，
所以图象关于点原点对称，故B正确；
由上可知，，又由得，
所以，则，
所以有，即函数是一个周期函数且周期为8；
又由，令得，，
则，故C错误；
由在上单调递减，又的图象关于点对称可知，
在上单调递减，所以在上单调递减，
又的图象关于对称，所以在上单调递增，
由周期性可知，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，即，故D错误，
故选：AB.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a.
12．18
【分析】根据偶函数的定义求值．
【详解】因为为偶函数，所以
故答案为：18.
13．
【分析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值.
【详解】设，扇形的半径为1，
则，，
，所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时, 取得最大值.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用三角函数表示线段长，利用三角恒等变换求得最值是常用方法.
14．
【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解．
【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点，
所以，
则，
当点与某个侧面的中心重合时，最小，且，
当点与正方体的顶点重合时，最大，且，
由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是，
的取值范围是．
故答案为：
15．(1)
(2)①为奇函数；②在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）利用幂函数的定义，结合待定系数法即可得解；
（2）①由（1）得，利用函数奇偶性的定义即可判断；②利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证.
【详解】（1）依题意，设幂函数，
则，解得，
所以.
（2）①为奇函数，理由如下：
由（1）得，，
则其定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为奇函数；
②在上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由函数的最小正周期求出，由求出可得的解析式；
（2）根据正弦函数的单调性可得答案；
（3）根据的范围求出的范围，由已知可化为，设，即求，利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）由题意，函数的最小正周期，
可得，且，可得，
又由，所以，所以；
（2）令，
解得，
所以函数的单调递减区间为；
（3），
所以，，
因为可化为，
设，所以，
设，则，故，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以.
【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是转化为设，求.
17．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用线面平行的性质，结合三角形中位线的性质推理得证.
（2）根据给定条件，结合线面垂直的判定性质，作出二面角的平面角，再在直角三角形中计算即可.
【详解】（1）连接，设，连接，
由平面平面，平面平面，得，
三棱台中，有，又为线段的中点，则，
于是四边形为平行四边形．即是的中点，所以点是的中点．
（2）过点作交于，连接，
由，得，
由（1）知，，则，又平面，
于是平面，而平面，则，
又三角形为等腰直角三角形，为斜边的中点，即，且，
而平面，因此平面，
由平面，得，
由平面，得平面，则，
于是为二面角的平面角，
在中，，，
在中，，，
从而，
所以二面角的余弦值为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得证；
（2）证明平面，再由棱锥体积公式得解；
（3）建立空间直角坐标系，，利用求出，再由向量法求线面角的正弦即可.
【详解】（1）设的中点分别为，连接．
在中，由，所以．
由，所以，
因为，所以二面角的平面角为，
则．
因为，平面，所以平面，
由平面，所以，则，
所以．
又，所以．
又因为，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面．
（2）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，即四棱锥的高为，
所以四棱锥的体积为．
（3）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
记，则．连接．
设，
则，
．
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
因为平面，所以，
则，解得，
则．又，
所以，．
设平面的法向量为，
则由得取，得．
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．(1)，，
(2)存在，
(3)1948
【分析】（1）根据递推公式求数列的项.
（2）假设存在实数，使数列为等差数列，根据为与无关的常数，可求的值.
（3）根据（2）的结果，明确数列的通项公式，进而确定数列的通项公式，再利用分组求和的方法求.
【详解】（1）由
同理可得，．
（2）假设存在的实数符合题意，
则必是与无关的常数，
则．
故存在实数，使得数列为等差数列．
（3）由（2）知数列是公差的等差数列
，
所以.