天津市南开区南开大附属中学2024年数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份天津市南开区南开大附属中学2024年数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式是( )．
A．B．C．D．
2、（4分）如果关于的分式方程有非负整数解，且一次函数不经过四象限，则所有符合条件的的和是（ ）.
A．0B．2C．3D．5
3、（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）已知直线y＝－x＋4与y＝x＋2如图所示，则方程组的解为( )
A．B．C．D．
5、（4分）若成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）为了从甲、乙两名选手中选拔一名参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同的条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计表：
若想选拔一位成绩稳定的选手参赛，则表中几个数据应该重点关注的是（ ）
A．中位数B．平均数C．方差D．命中10环的次数
7、（4分）一组数据：-1、2、3、1、0，则这组数据的平均数和方差分别是（ ）
A．1,1.8B．1.8,1C．2,1D．1,2
8、（4分）如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则下列结论中不正确的是( )
A．△ABE≌△ACFB．点D在∠BAC的平分线上
C．△BDF≌△CDED．D是BE的中点
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE//BD，DE//AC，若AD=5，则四边形CODE的周长______．
10、（4分）计算：＝_____________．
11、（4分）如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度．
12、（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，则AC＝__________.
13、（4分）函数y＝与y＝x－1的图象的交点坐标为（x0，y0），则的值为_____________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）张老师在微机上设计了一长方形图片，已知长方形的长是cm，宽是cm，他又设计一个面积与其相等的圆，请你帮助张老师求出圆的半径 r.
15、（8分）如图（1），在平面直角坐标系中，直线y=-x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C为OB的中点，作C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．
（1）直接写出点F的坐标（用m表示）；
（2）求证：OF⊥AC；
（3）如图（2），若m=2，点G的坐标为（-，0），过G点的直线GP：y=kx+b（k≠0）与直线AB始终相交于第一象限；
①求k的取值范围；
②如图（3），若直线GP经过点M，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，在平面内是否存在点Q，使四边形DMGQ为正方形？如果存在，请求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．
16、（8分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）（1﹣）2﹣|﹣2|．
17、（10分）在甲村至乙村的公路上有一块山地正在开发，现有一处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且，如图所示为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否因为有危险而需要暂时封锁？请说明理由．
18、（10分）先分解因式，再求值：，其中，．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）将正比例函数国象向上平移个单位。则平移后所得图图像的解析式是_____.
20、（4分）正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式是_________.
21、（4分）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝270˚，则∠B＝_____．
22、（4分）若关于x的分式方程＝+2有正整数解，则符合条件的非负整数a的值为_____．
23、（4分）某地区为了增强市民的法治观念，随机抽取了一部分市民进行一次知识竞赛，将竞赛成绩（得分取整数）整理后分成五组并绘制成如图所示的频数直方图.请结合图中信息，解答下列问题：
抽取了多少人参加竞赛？
这一分数段的频数、频率分别是多少？
这次竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内？
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题：
（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？
（2）求出y1、y2关于x的函数关系式？
（3）如果共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？
25、（10分）如图，在正方形ABCD中，点M、N是BC、CD边上的点，连接AM、BN，若BM=CN
（1）求证：AM⊥BN
（2）将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段ME，连接NE，试说明：四边形BMEN是平行四边形；
（3）将△ABM绕A逆时针旋转90°得到△ADF，连接EF，当时，请求出 的值
26、（12分）如图1，直线y＝﹣x+6与y轴于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，直线AB上的两点F、G，△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点G的坐标；
（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P、Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
试题解析：将抛物线向右平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是
故选B.
点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.
2、B
【解析】
依据关于x的一次函数y=x+m+2不经过第四象限，求得m的取值范围，依据关于x的分式方程有非负整数解，即可得到整数m的取值，即可得到满足条件的m的和．
【详解】
∵一次函数y=x+m+2不经过第四象限，
∴m+2≥0，
∴m≥-2，
∵关于x的分式方程=2有非负整数解
∴x=3-m为非负整数且3-m≠2，
又∵m≥-2，
∴m=-2，-1，0，2，3，
∴所有符合条件的m的和是2，
故选：B．
考查了一次函数的图象与性质以及分式方程的解．注意根据题意求得满足条件的m的值是关键．
3、A
【解析】
解： B、C、D都是轴对称图形，即对称轴如下红色线；
故选A．
此题考查轴对称图形和中心对称图形的概念．
4、B
【解析】
二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直线y＝－x＋4与y＝x＋2的交点坐标．
故选B
点睛：本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点．
5、D
【解析】
根据不等式的性质解答即可.
【详解】
A. ∵，∴，故不正确；
B. ∵，∴，∴ ，故不正确；
C. ∵，∴ ，∴，故不正确；
D. ∵，∴，正确；
故选D.
本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变
6、C
【解析】
方差是反映一组数据的波动大小，比较甲、乙两人的成绩的方差作出判断．
【详解】
∵，S甲=3.7＜S乙=5.4，
∴应选择甲去参加比赛，
故选C．
本题考查一组数据的方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而方差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．
7、D
【解析】
先根据平均数计算公式列出算式进行计算，再根据平均数求出方差即可.
【详解】
一组数据：-1、2、3、1、0，则平均数=，
方差=，
故选D.
本题是对数据平均数和方差的考查，熟练掌握平均数和方差公式是解决本题的关键.
8、D
【解析】
根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】
∵AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠A=∠A
∴△ABE≌△ACF(AAS)，正确；
∵△ABE≌△ACF,AB=AC
∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°
∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
∵△ABE≌△ACF,AB=AC
∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°
∴△BDF≌△CDE(AAS)，正确；
D. 无法判定，错误；
故选D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
通过矩形的性质可得，再根据∠AOB=11°，可证△AOD是等边三角形，即可求出OD的长度，再通过证明四边形CODE是菱形，即可求解四边形CODE的周长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形
∴
∵∠AOB=11°
∴
∴△AOD是等边三角形
∵
∴
∴
∵CE//BD，DE//AC
∴四边形CODE是平行四边形
∵
∴四边形CODE是菱形
∴
∴四边形CODE的周长
故答案为：1．
本题考查了四边形的周长问题，掌握矩形的性质、等边三角形的性质、菱形的性质以及判定定理是解题的关键．
10、
【解析】
根据积的乘方和整式的运算法则，先算乘方再算乘法即可得出答案
【详解】
本题考查的是积的乘方和整式的运算法则，能够准确计算是解题的关键。
11、1
【解析】
根据折叠的性质知：可知：BN=BP，从而可知∠BPN的值，再根据∠PBQ=∠CBQ，可将∠PBQ的角度求出．
【详解】
根据折叠的性质知：BP=BC，∠PBQ=∠CBQ
∴BN=BC=BP
∵∠BNP=90°
∴∠BPN=1°
∴∠PBQ=×60°=1°．
故答案是：1．
已知折叠问题就是已知图形的全等，根据边之间的关系，可将∠PBQ的度数求出．
12、
【解析】
以B为圆心，BA长为半径作圆，延长AB交⊙B于E，连接CE，由圆周角定理的推论得，进而CE=AD=1，由直径所对的圆周角是直角，有勾股定理即可求得AC的长.
【详解】
如图，以B为圆心，BA长为半径作圆，延长AB交⊙B于E，连接CE，
∵AB=BC=BD=2，
∴C，D在⊙B 上，
∵AB∥CD，
∴，
∴CE=AD，
∵AD=1，
∴CE=AD=1，AE=AB+BE=2AB=4，
∵AE是⊙B的直径，
∴∠ACE=90º，
∴AC==，
故答案为.
本题借助于圆的模型把三角形的问题转化为圆的性质的问题，再解题过程中需让学生体会这种转化的方法.
13、
【解析】
解 ，得 或 .
当时， ；
当时，；
所以的值为
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、r=
【解析】
设圆的半径为R，根据圆的面积公式和矩形面积公式得到πR2=•，再根据二次根式的性质化简后利用平方根的定义求解．
【详解】
解：设圆的半径为R，
根据题意得πR2=•，即πR2=70π，
解得R1=，R2=-（舍去），
所以所求圆的半径为cm．
故答案为：．
本题考查二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
15、（1）（m，m）（2）见解析（3）①0＜k＜6②（，-）
【解析】
（1）CF⊥AB，CR=FR，则∠RCB=45°，则RC=RB=RF，∠RBF=45°，即FB⊥x轴，即可求解；
（2）证明△AOC≌△OBF（HL），即可求解；
（3）①将点（-，0）代入y=kx+b即可求解；②求出点D（2，-1），证明△MNG≌△MHD（HL），即可求解．
【详解】
解：（1）y=-x+m，令x=0，则y=m，令y=0，则x=m，则∠ABO=45°，
故点A、B的坐标分别为：（0，m）、（m，0），则点C（m，0），
如图（1）作点C的对称轴F交AB于点R，则CF⊥AB，CR=FR，
则∠RCB=45°，则RC=RB=RF，
∴∠RBF=45°，即FB⊥x轴，
故点F（m，m）；
（2）∵OC=BF=m，OB=OA，
∴△AOC≌△OBF（HL），
∴∠OAC=∠FOB，
∵∠OAC+∠AOE=90°，
∴∠OAC+∠AOE=90°，
∴∠AEO=90°，
∴OF⊥AC；
（3）①将点（-，0）代入y=kx+b得：
，解得：，
由一次函数图象知：k＞0，
∵交点在第一象限，则，
解得：0＜k＜6；
②存在，理由：
直线OF的表达式为：y=x，直线AB的表达式为：y=-x+2，
联立上述两个表达式并解得：x=，故点M（，），
直线GM所在函数表达式中的k值为：，则直线MD所在直线函数表达式中的k值为-，
将点M坐标和直线DM表达式中的k值代入一次函数表达式并解得：
直线DM的表达式为：y=-x+4，故点D（2，-1），
过点M作x轴的垂线于点N，作x轴的平行线交过点G于y轴的平行线于点S，
过点G作y轴的平行线交过点Q与x轴的平行线于点T，
则，
∴△MNG≌△MHD（HL），
∴MD=MG，
则△GTQ≌△MSG，则GT=MS=GN=，TQ=SG=MN=，
故点Q（，-）．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的交点，全等三角形的判定与性质、点的对称性，其中（3）②，证明△MNG≌△MHD（HL），是本题的难点．
16、（1）（2）2-
【解析】
（1）根据二次根式的乘除法进行计算即可得到答案；
（2）先根据平方差公式和绝对值分别化简，再进行计算即可得到答案．
【详解】
（1）；
（2）（1﹣）2﹣|﹣2|=1﹣2+3﹣（2-）=4﹣2﹣2+=2-．
本题考查二次根式的乘除法、平方差公式和绝对值，解题的关键是掌握二次根式的乘除法、平方差公式和绝对值.
17、公路段需要暂时封锁．理由见解析.
【解析】
如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．
【详解】
公路段需要暂时封锁．理由如下：
如图，过点作于点．
因为米，米，，
所以由勾股定理知，即米．
因为，
所以（米）．
由于240米＜250米，故有危险，因此公路段需要暂时封锁．
本题考查运用勾股定理，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
18、，1
【解析】
先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，将，代入求解即可．
【详解】
解：
＝
＝
∵其中，
∴原式

＝1．
本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、y=-1x+1
【解析】
根据一次函数图象平移的性质即可得出结论．
【详解】
解：正比例函数y=-1x的图象向上平移1个单位，则平移后所得图象的解析式是：y=-1x+1．
故答案为：y=-1x+1．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
20、
【解析】
设解析式为y＝kx，再把（3，−6）代入函数解析式即可算出k的值，进而得到解析式．
【详解】
解：设这个正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数的图象经过点（3，−6），
∴−6＝3k，
解得k＝−2，
∴y＝−2x．
故答案是：y＝−2x．
此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
21、45°
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C, ∠A+∠B=180º.
∵∠A+∠C=270°，
∴∠A=∠C=135º,
∴∠B=180º-135º=45º.
故答案为45º.
22、1
【解析】
先解分式方程得x＝，由分式方程有正整数解，得出a+1＝4，或a+1＝1，且a≠0，解出a的值，最后根据a为非负整数即可得出答案．
【详解】
解：方程两边同时乘以x﹣1，得：
3﹣ax＝3+1（x﹣1），
解得x＝，
∵是正整数，且≠1，
∴a+1＝4，或a+1＝1，且a≠0，
a＝1或a＝-1（不符合题意，舍去）
∴非负整数a的值为：1，
故答案为：1．
本题考查了解分式方程，注意不要漏掉分母不能为零的情况．
23、（1）抽取了人参加比赛；（2）频数为，频数为0.25；（3）
【解析】
（1）将每组的人数相加即可；
（2）看频数直方图可知这一分数段的频数为12，用频数÷总人数即可得到频率；
（3）直接通过频数直方图即可得解.
【详解】
解：（人），
答：抽取了人参加比赛；
频数为，频数为；
这次竞赛成绩的中位数落在这个分数段内.
本题主要考查频数直方图，中位数等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，通过直方图得到有用的信息.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）当参加老师的人数为30时，两家旅行社收费相同；（2）y2＝40x+600；（3）如果共有50人参加时，选择乙家旅行社合算，理由见解析
【解析】
（1）根据函数图象和图象中的数据可以得到当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同；
（2）根据函数图象中的数据可以求得y1、y2关于x的函数关系式；
（3）根据函数图象可以得到如果共有50人参加时，选择哪家旅行社合算．
【详解】
解：（1）由图象可得，
当参加老师的人数为30时，两家旅行社收费相同；
（2）设y1关于x的函数关系式是y1＝ax，
30a＝1800，得a＝60，
即y1关于x的函数关系式是y1＝60x；
设y2关于x的函数关系式是y2＝kx+b，
，得，
即y2关于x的函数关系式是y2＝40x+600；
（3）由图象可得，
当x＞50时，乙旅行社比较合算，
∴如果共有50人参加时，选择乙家旅行社合算．
本题考查一次函数的应用、方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25、（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】
（1）只需证明△ABM≌△BCN即可得到结论；
（2）由（1）可知AM＝BN且AM⊥BN，而ME是由AM绕点M顺时针旋转90度得到，于是可得ME与BN平行且相等，结论显然；
（3）易证AMEF为正方形，从而问题转化为求两个正方形的边长之比，由于已经知道BM与BC之比，设BM＝a，则由勾股定理易求AM．
【详解】
解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
又∵BM＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM＋∠BMA＝90°，
∴∠CBN＋∠BMA＝90°，
∴AM⊥BN；
（2）∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段ME，
∴ME＝AM，ME⊥AM，
∵△ABM≌△BCN，
∴AM＝BN，
∵AM⊥BN，
∴BN＝ME，且BN∥ME，
∴四边形BMEN是平行四边形；
（3）∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段ME，将△ABM绕A逆时针旋转90°得到△ADF，
∴∠MAF＝∠AME＝90°，AF＝ME＝AM
∴AF∥ME，
∴AMEF是正方形，
∵，可以设BM＝a，AB＝na，
在直角三角形ABM中，AM＝，
∴．
本题为四边形综合题，主要考查了正方形的判定与基本性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转变换的性质、勾股定理等重要知识点，难度不大．本题虽然简单，但其所包含的基本模型却是很多题的原型，熟练掌握有助于解决相关的较难题目．
26、（1）B（3，0）（2）G（2，2）;（3）E（﹣2，0）．
【解析】
（1）根据题意可先求出点A和点D的坐标，然后根据勾股定理求出AD，设BC=OB=x，则BD=8-x，在直角三角形BCD中根据勾股定理求出x，即可得到点B的坐标；
（2）由点A和点B的坐标可先求出AB的解析式，然后作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，求证△DMG≌△FND，从而得到GM＝DN，DM＝FN，又因为G、F在直线AB上，进而可求点G的坐标；
（3）设点Q（a，-a+6），则点P的坐标为（a，-a+6），据此可求出PQ，作QH⊥x轴于H，可以把QH用a表示出来，在直角三角形中，根据勾股定理也可以用a把QH表示出来，从而求出a的值，进而求出点E的坐标.
【详解】
解：（1）对于直线y＝-x+6，令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6），
令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0），
∴AC＝AO＝6，OD＝8，AD＝＝10，
∴CD＝AD﹣AC＝4，设BC＝OB＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，∵BC2+CD2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴B（3，0）．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+6，
∵B（3，0），
∴3k+6＝0，
∴k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，
作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DG＝FD，∠1＝∠2，∠DMG＝∠FND＝90°，
∴△DMG≌△FND（AAS），
∴GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DN＝m，DM＝FN＝n，
∵G、F在直线AB上，
∴ ，
解得 ，
∴G（2，2）．
（3）如图，设Q（a，﹣a+6），
∵PQ∥x轴，且点P在直线y＝﹣2x+6上，
∴P（a，﹣a+6），
∴PQ＝a，作QH⊥x轴于H，
∴DH＝a﹣8，QH＝a﹣6，
∴＝，
由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，
∴QH＝DQ=PQ＝a，
∴a＝a﹣6，
∴a＝16，
∴Q（16，﹣6），P（6，﹣6），
∵ED∥PQ，ED＝PQ，D（8，0），
∴E（﹣2，0）．
一次函数解析式的综合运用是本题的考点，此题综合性比较强，用到了勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识点，能作出辅助线并熟练运用所学知识是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
9.5
9.5
3.7
1
乙
9.5
9.6
5.4
2