云南省昆明市五华区2025届九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份云南省昆明市五华区2025届九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长等于（ ）
A．10B．20C．D．5
2、（4分）如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形是矩形．求证：．以下是排乱了的证明过程：①∴、．②∵③∵四边形是矩形④∴⑤∴．证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③①②⑤④B．②①③⑤④C．③⑤②①④D．②⑤①③④
3、（4分）如图，的周长为，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若，DE＝3，则BC的长度是( )
A．6B．8C．9D．10
5、（4分）若的平均数是5，则的平均数是( )
A．5B．6C．7D．8
6、（4分）下列各式计算正确的是
A．B．C．D．
7、（4分）如图，海平面上，有一个灯塔分别位于海岛A的南偏西30°和海岛B的南偏西60°的方向上，则该灯塔的位置可能是（ ）
A．O1B．O2C．O3D．O4
8、（4分）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）化简的结果是______
10、（4分）已知正比例函数y=(k+5)x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是____.
11、（4分）化简：_________．
12、（4分）在平面直角坐标系中，将点绕点旋转，得到的对应点的坐标是__________．
13、（4分）某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打_____折．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，⊙O为ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且EACABC.
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若D为AB的中点，CD3，AB8.
①求⊙O的半径；②求ABC的内心I到点O的距离.
15、（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与直线平行，且经过点A(1，6).
(1)求一次函数的解析式；
(2)求一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
16、（8分）某校为了解八年级男生立定跳远测试情况，随机抽取了部分八年级男生的测试成绩进行统计，根据评分标准，将他们的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的男生中，成绩等级为不及格的男生人数有__________人，成绩等级为良好的男生人数占被调查男生人数的百分比为__________%；
（2）被调查男生的总数为__________人，条形统计图中优秀的男生人数为__________人；
（3）若该校八年级共有300名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生立定跳远测试成绩为良好和优秀的男生人数.
17、（10分）钓鱼岛是我国的神圣领土，中国人民维护国家领土完整的决心是坚定的，多年来，我国的海监、渔政等执法船定期开赴钓鱼岛巡视．某日，我海监船（A处）测得钓鱼岛（B处）距离为20海里，海监船继续向东航行，在C处测得钓鱼岛在北偏东45°的方向上，距离为10海里，求AC的距离．（结果保留根号）
18、（10分）如图,已知平面直角坐标系中,、,现将线段绕点顺时针旋转得到点,连接.
(1)求出直线的解析式；
(2)若动点从点出发,沿线段以每分钟个单位的速度运动,过作交轴于,连接.设运动时间为分钟,当四边形为平行四边形时,求的值.
(3)为直线上一点,在坐标平面内是否存在一点,使得以、、、为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时的坐标；若不存在,请说明理由.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线．
小红的作法如下：
如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；
②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；
③作直线CD．
所以直线CD就是所求作的垂直平分线．
老师说：“小红的作法正确．”
请回答：小红的作图依据是_____．
20、（4分）一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求解：
点到直线的距离公式是：
如：求：点到直线的距离．
解：由点到直线的距离公式，得
根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离．
则两条平行线：和：间的距离是______．
21、（4分）当________时，方程无解.
22、（4分）设、是方程的两个实数根，则的值为_____．
23、（4分）已知54-1能被20～30之间的两个整数整除，则这两个整数是_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图是甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩的折线统计图：
（1）分别计算甲、乙运动员射击环数；
（2）分别计算甲、乙运动员射击成绩的方差；
（3）如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛，请说明理由．
25、（10分）蚌埠“一带一路”国际龙舟邀请赛期间，小青所在学校组织了一次“龙舟”故事知多少比赛，小青从全体学生中随机抽取部分同学的分数(得分取正整数，满分为100分)进行统计.以下是根据抽取同学的分数制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图，请根据图表，回答下列问题: :
(1)根据上表填空: __，=. ，= .
(2)若小青的测试成绩是抽取的同学成绩的中位数，那么小青的测试成绩在什么范围内?
(3)若规定:得分在的为“优秀”，若小青所在学校共有600名学生，从本次比赛选取得分为“优秀”的学生参加决赛，请问共有多少名学生被选拔参加决赛?
26、（12分）如图，将平行四边形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．求证：四边形是平行四边形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
即菱形ABCD的边长是1．
故选：D．
本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．
2、A
【解析】
根据SAS定理证明三角形全等，进而得出对应边相等.
【详解】
解：∵四边形是矩形
∴、
∵
∴
∴
所以正确顺序为③①②⑤④
故答案为A
本题考查了全等三角形的证明，理清证明过程是排序的关键.
3、C
【解析】
由平行四边形的性质和已知条件得出OD=4，CD+BC=12，再证明OE是△BCD的中位线，得出DE+OE=6，即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD=BD=4，
∵ABCD的周长为24，
∴CD+BC=12，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CD，OE是△BCD的中位线，
∴OE=BC，
∴DE+OE=（CD+BC）=6，
∴△DOE的周长=OD+DE+OE=4+6=10；
故选C．
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，运用三角形中位线定理是解决问题的关键．
4、C
【解析】
根据平行线分线段成比例的性质，由，可得，根据相似三角形的判定与性质，由DE∥BC可知△ADE∽△ABC，可得，由DE=3，求得BC=9.
故选：C.
5、C
【解析】
先根据平均数的概念列出关于m的方程，解之求出m的值，据此得出新数据，继而根据平均数的概念求解可得．
【详解】
解：根据题意，有
，
∴解得：，
∴．
故选：C.
本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的概念进行解题.
6、B
【解析】
利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据算术平方根的定义对D进行判断．
【详解】
解：A、3与不能合并，所以A选项错误；
B、原式==4，所以B选项正确；
C、原式==，所以C选项错误；
D、原式=2，所以D选项错误．
故选B．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7、A
【解析】
根据方向角的定义解答可得，也可作出以A为基准的南偏西30°、以点B为基准的南偏西60°方向的交点即为灯塔所在位置．
【详解】
解：由题意知，若灯塔位于海岛A的南偏西30°、南偏西60°的方向上，
如图所示，灯塔的位置可以是点O1．
故选A
本题考查方向角，解题的关键是掌握方向角的定义．
8、D
【解析】
解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；
B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D．原来数据的方差==，
添加数字2后的方差==，
故方差发生了变化．
故选D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、﹣1
【解析】
分析：直接利用分式加减运算法则计算得出答案．
详解：==．
故答案为-1．
点睛：此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
10、k<-5
【解析】
根据当k＜0时， y随x的增大而减小解答即可.
【详解】
由题意得
k+5<0，
∴k<-5.
故答案为：k<-5.
本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx（k为常数，k≠0），当k＞0时， y=kx的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时， y=kx的图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.
11、
【解析】
分子分母同时约去公因式5xy即可．
【详解】
解：．
故答案为．
此题主要考查了分式的约分，关键是找出分子分母的公因式．
12、
【解析】
根据题意可知点N旋转以后横纵坐标都互为相反数，从而可以解答本题．
【详解】
解：在平面直角坐标系xOy中，将点N（-1，-2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（1，2），
故答案为：（1，2）
本题考查坐标与图形变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，熟知坐标变化规律．
13、1.1．
【解析】
设打x折，则售价是500×元．根据利润率不低于10%就可以列出不等式，求出x的范围．
【详解】
解：要保持利润率不低于10%，设可打x折．
则500×-400≥400×10%，
解得x≥1.1．
故答案是：1.1．
本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润=进价×利润率，是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）①⊙O的半径；②ABC的内心I到点O的距离为.
【解析】
（1）连接AO，证得EACABC=,，则EAO=EAC+CAO=，从而得证；
（2）①设⊙O的半径为r,则OD=r-3，在△AOD中，根据勾股定理即可得出②作出ABC的内心I，过I作AC,BC的垂线，垂足分别为F,G.设内心I到各边的距离为a，由面积法列出方程求解可得答案．
【详解】
(1)如图，连接AO
则EACABC=.
又∵AO=BO,
∴ACO=CAO=
∴EAO=EAC+CAO=AOC +=
∴EA⊥AO
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）①设⊙O的半径为r,则OD=r-3，
∵D为AB的中点，
∴OC⊥AB，ADO=，AD=4
∴,即
解得
②如下图，
∵D为AB的中点，
∴
且CO是的平分线，则内心I在CO上，连接AI,BI,过I作AC,BC的垂线，垂足分别为F,G.
易知DI=FI=GI,设其长为a.由面积可知：
即
解得
∴
∴ABC的内心I到点O的距离为
本题考查了圆的切线的判定，垂径定理，圆周角定理等知识，是中考常见题．
15、 (1) y=2x+4 ；(2)直线y=2x+4与坐标轴围成的三角形的面积为
【解析】
（1）根据函数y=kx+b的图象与直线y=2x平行，且经过点A（1，6），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
（2）先求出与x轴及y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
(1)∵一次函数y=kx+b的图象为直线，且与直线y=2x平行，
∴k=2
又知其过点A(1，6)，
∴2+b=6
∴b=4.
∴一次函数的解析式为y=2x+4
(2)当x=0时，y=4，
可知直线y=2x+4与y轴的交点为(0，4)
当y=0时，x=-2，
可知直线y=2x+4与x轴交点为(-2，0)
可得该直角三角形的两条直角边长度分别为4和2.
所以直线y=2x+4与坐标轴围成的三角形的面积为
本题考查待定系数法求函数解析式及三角形的面积的知识，关键是正确得出函数解析式及坐标与线段长度的转化．
16、（1）3，24;（2）50，28;（3）估计该校八年级男生立定跳远测试成绩在良好以上的男生人数为240人.
【解析】
（1）由统计图表可直接看出.
（2）被调查的男生总数=不及格的人数÷它对应的比例，条形统计图中优秀的男生人数：用总数把其他三个等级的人数全部剪掉即可.
（3）由（1）（2）可知，优秀56%，良好24%，该校八年级男生成绩等级为“良好”和“优秀”的学生人数=300×（良好占比+优秀占比）．
【详解】
解：（1）3，24
（2）被调查的男生总数3÷6%=50（人），
条形统计图中优秀的男生人数：
（3）该校八年级男生成绩等级为“良好”和“优秀”的学生人数 ．
答：估计该校八年级男生立定跳远测试成绩在良好以上的男生人数为240人.
本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
17、AC的距离为（10﹣10）海里
【解析】
作BD⊥AC交AC的延长线于D，根据正弦的定义求出BD、CD的长，根据勾股定理求出AD的长，计算即可．
【详解】
作BD⊥AC交AC的延长线于D，
由题意得，∠BCD=45°，BC=10海里，
∴CD=BD=10海里，
∵AB=20海里，BD=10海里，
∴AD= =10，
∴AC=AD﹣CD=10﹣10海里．
答：AC的距离为（10﹣10）海里．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义、正确标注方向角、正确作出辅助线是解题的关键．
18、（1）；（2）t=s时，四边形ABMN是平行四边形；（3）存在，点Q坐标为：或或或.
【解析】
（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．证明△COA≌△AHB（AAS），可得BH=OA=1，AH=OC=2，求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用平行四边形的性质求出点N的坐标，再求出AN，BM，CM即可解决问题．
（3）如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，分别求解即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．
∵A（1，0）、C（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∵∠COA=∠CAB=∠AHB=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，∠CAO+∠BAH=90°，
∴∠ACO=∠BAH，
∵AC=AB，
∴△COA≌△AHB（AAS），
∴BH=OA=1，AH=OC=2，
∴OH=3，
∴B（3，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，
解得：，
∴；
（2）如图2中，
∵四边形ABMN是平行四边形，
∴AN∥BM，
∴直线AN的解析式为：，
∴，
∴，
∵B（3，1），C（0，2），
∴BC=，
∴，
∴，
∴t=s时，四边形ABMN是平行四边形；
（3）如图3中，
如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，
连接OQ交BC于E，
∵OE⊥BC，
∴直线OE的解析式为y=3x，
由，解得：，
∴E（，），
∵OE=OQ，
∴Q（，），
∵OQ1∥BC，
∴直线OQ1的解析式为y=-x，
∵OQ1=OB=，设Q1（m，-），
∴m2+m2=10，
∴m=±3，
可得Q1（3，-1），Q3（-3，1），
当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，
易知线段OB的垂直平分线的解析式为y=-3x+5，
由，解得：，
∴Q2（，）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为：或或或.
本题属于一次函数综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【解析】
分析：根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．
详解：如图，
∵由作图可知，AC=BC=AD=BD，
∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
20、
【解析】
根据题意在：上取一点，求出点P到直线：的距离d即可.
【详解】
在：上取一点，
点P到直线：的距离d即为两直线之间的距离：
，
故答案为．
本题考查了两直线平行或相交问题，一次函数的性质，点到直线距离，平行线之间的距离等知识，解题的关键是学会利用公式解决问题，学会用转化的思想思考问题.
21、1
【解析】
根据分式方程无解，得到1−x= 0，求出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，将x的值代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
解：分式方程去分母得：m＝2（1−x）＋1，
由分式方程无解，得到1−x＝0，即x＝1，
代入整式方程得：m＝1．
故答案为：1．
此题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是解本题的关键．
22、-1
【解析】
根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论．
【详解】
∵、是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：-1．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
23、24，26
【解析】
将54-1利用分解因式的知识进行分解，再结合题目54-1能被20至30之间的两个整数整除即可得出答案．
【详解】
54−1=(5+1)(5−1)
∵54−1能被20至30之间的两个整数整除，
∴可得：5+1=26,5−1=24.
故答案为：24，26
此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）8（环），8（环）；（2）2.8，0.8；（3）选择甲，因为成绩呈上升趋势；选择乙，因为成绩稳定．
【解析】
（1）由折线统计图得出甲、乙两人的具体成绩，利用平均数公式计算可得；
（2）根据方差计算公式计算可得；
（3）答案不唯一，可从方差的意义解答或从成绩上升趋势解答均可．
【详解】
（1）＝×（6+6+9+9+10）＝8（环），
＝×（9+7+8+7+9）＝8（环）；
（2）＝×[（6﹣8）2×2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2]＝2.8，
＝×[（9﹣8）2×2+（7﹣8）2×2+（8﹣8）2]＝0.8；
（3）选择甲，因为成绩呈上升趋势；
选择乙，因为成绩稳定．
本题主要考查折线统计图与方差，解题的关键是根据折线统计图得出解题所需数据及平均数、方差的计算公式．
25、（1）；（2）；（1）24.
【解析】
（1）根据频数、频率、总数之间的关系一一解决问题即可；
（2）根据中位数的定义即可判断；
（1）用样本估计总体的思想解决问题即可．
【详解】
解：（1）9÷0.18＝50（人）．
a＝50×0.06＝1，m＝50﹣（9+21+1+2）＝15，b＝15÷50＝0.1．
故答案为：1，0.1，15；
（2）共有50名学生，中位数是第25、26个数据的平均数，第25、26个数据在第1组，所以小青的测试成绩在70≤x＜80范围内；
（1）×600＝24（人）．
答：共有24名学生被选拔参加决赛．
本题考查频数分布直方图、样本估计总体的思想、频数分布表、中位数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，所以中考常考题型．
26、详见解析
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC，OC=OD，再证得OE=OF，即可得出结论．
【详解】
证明：连接，设与交于点
四边形是平行四边形．
，
又
四边形是平行四边形，
此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解题时要注意选择适宜的判定方法．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
组别
分组
频数
频率
1
9
0.18
2
3
21
0.42
4
0.06
5
2