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重庆市巴南区七校共同体2024-2025学年数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】
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这是一份重庆市巴南区七校共同体2024-2025学年数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）菱形ABCD中，如果E、F、G、H分别是各边中点，那么四边形EFGH的形状是（ ）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
2、（4分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形B．平行四边形C．正五边形D．正十边形
4、（4分）如图，的周长为，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列关于矩形对角线的说法中，正确的是
A．对角线相互垂直B．面积等于对角线乘积的一半
C．对角线平分一组对角D．对角线相等
6、（4分）一副三角板按图 1 所示的位置摆放，将△DEF 绕点 A(F)逆时针旋转 60°后（图 2）， 测得 CG＝8cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）
A．16＋16 cm2
B．16＋ cm2
C．16＋ cm2
D．48cm2
7、（4分）如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为（ ）
A．48B．96C．80D．192
8、（4分）已知a＜b，下列不等关系式中正确的是（ ）
A．a+3＞b+3B．3a＞3bC．﹣a＜﹣bD．﹣＞﹣
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为 cm．
10、（4分）某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：
商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是_____（用数学概念作答）
11、（4分）已知，则= ___________
12、（4分）若分式方程有增根x＝2，则a＝___．
13、（4分）已知一个直角三角形斜边上的中线长为6 cm，那么这个直角三角形的斜边长为______cm.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在四边形中，，，点，分别是边，的中点，且.求证：四边形是平行四边形.
15、（8分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点C（3，0），顶点D（0，4），过点A作AF⊥y轴于F点，过点B作x轴的垂线交过A点的反比例函数y＝（k＞0）的图象于E点，交x轴于G点．
（1）求证：△CDO≌△DAF．
（2）求反比例函数解析式及点E的坐标；
（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．
16、（8分）如图，在中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE.
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若，°，.
①直接写出的边BC上的高h的值；
②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
17、（10分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问霞长几何.
注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺.将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）.解决下列问题：
（1）示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺；
（2）求芦苇的长度.
18、（10分）如图，平面直角坐标系中，已知点，若对于平面内一点C，当是以AB为腰的等腰三角形时，称点C时线段AB的“等长点”．
请判断点，点是否是线段AB的“等长点”，并说明理由；
若点是线段AB的“等长点”，且，求m和n的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在关系式V=31-2t中，V随着t的变化而变化，其中自变量是_____，因变量是_____，当t=_____时，V=1．
20、（4分）一个n边形的每一个内角等于108°，那么n=_____．
21、（4分）计算：＝_____________．
22、（4分）2x-3>- 5的解集是_________.
23、（4分）如图，直线y=-x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，点C在直线AB上，D是y轴右侧平面内一点，若以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标是_______________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分） 某中学为打造书香校园，购进了甲、乙两种型号的新书柜来放置新买的图书，甲型号书柜共花了15000元，乙型号书柜共花了18000元，乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，购买乙型号书柜的数量是甲型号书柜数量的2倍．求甲、乙型号书柜各购进多少个？
25、（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC分别交射线AD与射线CB于点E和点F，联结CE、AF．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）当点E、F分别在边AD和BC上时，如果设AD＝x，菱形AFCE的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的长度．
26、（12分）如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连结．
求证：．
当时，四边形为菱形吗？请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
分析：利用中位线的性质证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形的对角线互相垂直，可证∠EHG=90°，从而根据矩形的判定：有一角为90°的平行四边形是矩形，得出菱形中点四边形的形状．
详解：∵菱形ABCD中，如果E、F、G、H分别是各边的中点，
∴HE∥GF∥AC，HE=GF=AC,
∴四边形EFGH为平行四边形；
又∵菱形的对角线互相垂直，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH的形状是矩形．
故选：C．
点睛：此题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定.矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
2、D
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3、D
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D.
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4、A
【解析】
利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题
【详解】
解：平行四边形的周长为18，
，
，，
∴
，
，
，
的周长为，
故选．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
5、D
【解析】
根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分得到正确选项．
【详解】
解：矩形的对角线相等，
故选：．
此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
6、B
【解析】
过G点作GH⊥AC于H，则∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=8cm，先在Rt△GCH中根据等腰直角三角形三边的关系得到GH与CH的值，然后在Rt△AGH中根据含30°的直角三角形三边的关系求得AH，最后利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】
解：过G点作GH⊥AC于H，如图，
∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=8cm，
在Rt△GCH中，GH=CH=GC=4cm，
在Rt△AGH中，AH=GH=cm，
∴AC=AH+CH=+4（cm）．
∴两个三角形重叠（阴影）部分的面积=AC•GH=×（+4）×4=16+cm2
故选：B．
本题考查了解直角三角形：求直角三角形中未知的边和角的过程叫解直角三角形．也考查了含30°的直角三角形和等腰直角三角形三边的关系以及旋转的性质．
7、B
【解析】
根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC，
在Rt△AOB中，BO==6，
则BD=2BO=12，
故S菱形ABCD=AC×BD=1．
故选：B．
此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
8、D
【解析】
根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】
A：不等式两边都加3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B：不等式两边都乘以3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C：不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
D不等式两边都除以﹣2，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
本题主要考查了不等式的性质，熟记不等式在两边都乘除负数时，不等式符号需要改变方向是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、．
【解析】
试题分析：首先根据菱形的对角线互相垂直平分，再利用勾股定理，求出BC的长是多少；然后再结合△ABC的面积的求法，求出菱形ABCD的高AE是多少即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴BO=BD=×8=4（cm），CO=AC=×6=3（cm），
在△BCO中，由勾股定理，可得
BC===5（cm）
∵AE⊥BC，
∴AE•BC=AC•BO，
∴AE===（cm），
即菱形ABCD的高AE为cm．
故答案为．
10、众数
【解析】
商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．
【详解】
根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是销售数量最多衬衫的数量，即众数．
故答案为：众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
11、-1
【解析】
将原式利用提公因式法进行因式分解，再将代入即可.
【详解】
解：∵x+y=-2，xy=3，
∴原式=xy(x+y)=3×（-2）= -1．
此题考查了因式分解和整式的代入求值法，熟练掌握因式分解和整式的运算法则是解本题的关键．
12、﹣2.
【解析】
先化简分式方程，再根据分式方程有增根的条件代入方程，最后求出方程的解即可．
【详解】
去分母得：x+2+ax＝3x﹣6，
把x＝2代入得：4+2a＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2.
此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则
13、1
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解：∵直角三角形斜边上的中线长为6，
∴这个直角三角形的斜边长为1．
考查的是直角三角形的性质，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析.
【解析】
首先根据平行线的性质可得∠DBC=∠BDA=90°，再根据直角三角形的性质可得DE=AB，BF=DC，然后可得AB=CD，再证明Rt△ADB≌Rt△CBD可得AD=BC，然后即可得到结论成立．
【详解】
证明：∵，，
∴，
∵在中，是的中点，
∴，
同理：，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形.
此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，关键是找出证明Rt△ADB≌Rt△CBD的条件．
15、（1）见解析；（2）为y＝，点E的坐标为（7，1）；（3）在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．
【解析】
（1）利用同角的余角相等可得出∠CDO＝∠DAF，结合∠DOC＝∠AFD＝90°及DC＝AD，可证出△CDO≌△DAF；
（2）利用全等三角形的性质可求出AF，FD的长，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式，同（1）可证出△CDO≌△BCG，利用全等三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标；
（3）由点A，E的坐标，利用待定系数法可求出直线AE的解析式，结合直线l∥AE及点C的坐标可求出直线l的解析式，设点P的坐标为（m，﹣m+3），结合点A，C的坐标可得出AC2，AP2，CP2的值，分AC＝AP，CA＝CP及PA＝PC三种情况可得出关于m的方程，解之即可得出点P的坐标．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDO＝90°．
∵∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDO＝∠DAF．
在△CDO和△DAF中，
，
∴△CDO和△DAF（AAS）．
（2）解：∵点C的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，1），
∴OC＝3，OD＝1．
∵△CDO和△DAF，
∴FA＝OD＝1，FD＝OC＝3，
∴OF＝OD+FD＝7，
∴点A的坐标为（1，7）．
∵反比例函数y＝（k＞0）过点A，
∴k＝1×7＝28，
∴反比例函数解析式为y＝．
同（1）可证出：△CDO≌△BCG，
∴GB＝OC＝3，GC＝OD＝1，
∴OG＝OC+GC＝7，
∴点G的坐标为（7，0）．
当x＝7时，y＝＝1，
∴点E的坐标为（7，1）．
（3）解：设直线AE的解析式为y＝ax+b（a≠0），
将A（1，7），E（7，1）代入y＝ax+b，得：，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+2．
∵直线l∥AE，且直线l过点C（3，0），
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3．
设点P的坐标为（m，﹣m+3），
∵点A的坐标为（1，7），点C的坐标为（3，0），
∴AP2＝（m﹣1）2+（﹣m+3﹣7）2＝2m2+32，AC2＝（3﹣1）2+（0﹣7）2＝50，CP2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣12m+4．
分三种情况考虑：
①当AC＝AP时，50＝2m2+32，
解得：m1＝3（舍去），m2＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，6）；
②当CA＝CP时，50＝2m2﹣12m+4，
解得：m3＝﹣2，m1＝8，
∴点P的坐标为（﹣2，5）或（8，﹣5）；
③当PA＝PC时，2m2+32＝2m2﹣12m+4，
解得：m＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，）．
综上所述：在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数及一次函数解析式、平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理AAS证出△CDO≌△DAF；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分AC=AP，CA=CP及PA=PC三种情况，找出关于m的方程．
16、（1）见解析；（2）①；②D
【解析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，AO＝CO，根据“AAS”证明△AOE≌△COF，可得OE＝OF，从而可证四边形AFCE是平行四边形；
（2）①作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的知识即可求出AH的值；
②根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐个阶段进行判断即可.
【详解】
（1）证明：在中，对角线AC，BD相交于点O.
∴，.
∴，.
∴.
∴.
∵，，
∴四边形AFCE是平行四边形.
（2）①作AH⊥BC于点H，
∵AD∥BC，∠DAC＝60°，
∴∠ACF=∠DAC＝60°，
∴AH=AC·sin∠ACF=，
∴BC上的高h=；
②在整个运动过程中，OA=OC,OE=OF,
∴四边形AFCE恒为平行四边形，
E点开始运动时，随着它的运动，∠FAC逐渐减小，
当∠FAC=∠EAC=60°时，即AC为∠FAE的角平分线，
∵四边形AFCE恒为平行四边形，
∴四边形AFCE为菱形，
当∠FAC+∠EAC=90°时，即∠FAC=30°，
此时AF⊥FC,
∴此时四边形AFCE为矩形，
综上，在点E从点D向点A运动过程中，四边形AFCE先后为平行四边形、菱形、平行四边形、矩形、平行四边形.
故选D．
本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定，及锐角三角函数的知识，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．
17、（1）5，1；（2）芦苇的长度为13尺.
【解析】
（1）直接利用题意结合图形得出各线段长；
（2）利用勾股定理得出AG的长进而得出答案．
【详解】
(1)线段AF的长为5尺，线段EF的长为1尺；
故答案为：5，1；
(2)设芦苇的长度x尺，
则图中AG=x，GF=x−1，AF=5，
在Rt△AGF中,∠AFC=90∘，
由勾股定理得 AF+FG=AG.
所以 5+(x−1) =x，
解得 x=13，
答：芦苇的长度为13尺.
此题考查勾股定理，解题关键在于得出AG的长.
18、是线段AB的“等长点”，不是线段AB的“等长点”，理由见解析；，或，．
【解析】
先求出AB的长与B点坐标，再根据线段AB的“等长点”的定义判断即可；
分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n．
【详解】
点，，
，，，
．
点，
，
，
是线段AB的“等长点”，
点，
，，
，，
不是线段AB的“等长点”；
如图，
在中，，，
，
．
分两种情况：
当点D在y轴左侧时，
，
，
点是线段AB的“等长点”，
，
，
，；
当点D在y轴右侧时，
，
，
，
点是线段AB的“等长点”，
，
．
综上所述，，或，．
本题考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质解的关键是理解新定义，解的关键是画出图形，是一道中等难度的中考常考题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、t V 15
【解析】
∵在关系式V=31-2t中，V随着t的变化而变化，
∴在关系式V=31-2t中，自变量是；因变量是；
在V=31-2t中，由可得：，解得：，
∴当时，.
故答案为（1）；（2）；（3）15.
20、1
【解析】
首先求得外角的度数，然后利用360度除以外角的度数即可求得．
【详解】
解：外角的度数是：180°﹣108°=72°，
则n==1，
故答案为1．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
21、
【解析】
根据积的乘方和整式的运算法则，先算乘方再算乘法即可得出答案
【详解】
本题考查的是积的乘方和整式的运算法则，能够准确计算是解题的关键。
22、x>-1．
【解析】
先移项，再合并同类项，化系数为1即可．
【详解】
移项得，2x>-5+3，
合并同类项得，2x>-2，
化系数为1得，x>-1．
故答案为：x>-1．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
23、（2，−2）或（6，2）．
【解析】
设点C的坐标为（x，-x+4）．分两种情况，分别以C在x轴的上方、C在x轴的下方做菱形，画出图形，根据菱形的性质找出点C的坐标即可得出D点的坐标．
【详解】
∵一次函数解析式为线y＝-x+4，
令x=0,解得y=4
∴B（0，4），
令y=0,解得x=4
∴A（4，0），
如图一，∵四边形OADC是菱形，
设C（x，-x+4），
∴OC＝OA＝，
整理得：x2−6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴C（2，2），
∴D（6，2）；
如图二、如图三，∵四边形OADC是菱形，
设C（x，-x+4），
∴AC＝OA＝，
整理得：x2−8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6，
∴C（6，−2）或（2，2）
∴D（2，−2）或（−2，2）
∵D是y轴右侧平面内一点，故（−2，2）不符合题意，
故答案为（2，−2）或（6，2）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，解题的关键是确定点C、D的位置．本题属于中档题，难度不大，在考虑菱形时需要分类讨论．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、购进甲型号书柜1个，购进乙型号书柜2个．
【解析】
设购进甲型号书柜x个，则购进乙型号书柜2x个，根据单价=总价÷数量结合乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
设购进甲型号书柜x个，则购进乙型号书柜2x个，根据题意得：
300
解得：x=1．
经检验，x=1是原方程的解，∴2x=2．
答：购进甲型号书柜1个，购进乙型号书柜2个．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）；（3）AD的值为或.
【解析】
（1）由△DOE≌△BOF，推出EO=OF，∵OB=OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB=ED即可．
（2）由cs∠DAC=，求出AE即可解决问题；
（3）分两种情形分别讨论求解即可.
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF，
∴EO＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，OB＝OD，
∴EB＝ED，
∴四边形EBFD是菱形．
（2）由题意可知：，，
∵，
∴，
∴，
∵AE≤AD，
∴，
∴x2≥1，
∵x＞0，
∴x≥1．
即（x≥1）．
（3）①如图2中，当点E在线段AD上时，ED＝EO，则Rt△CED≌Rt△CEO，
∴CD＝CO＝AO＝1，
在Rt△ADC中，AD＝．
如图3中，当的E在线段AD的延长线上时，DE＝DO，
∵DE＝DO＝OC，EC＝CE，
∴Rt△ECD≌Rt△CEO，
∴CD＝EO，
∵∠DAC＝∠EAO，∠ADC＝∠AOE＝90°，
∴△ADC≌△AOE，
∴AE＝AC，
∵EO垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴EA＝EC＝AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AD＝CD•tan30°＝，
综上所述，满足条件的AD的值为或．
本题考查四边形综合题、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题．
26、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据菱形的四条边的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，再求出四边形BECD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；
（2）只要证明DC=DB，即证明△DCB是等边三角形即可解决问题；
【详解】
证明：四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，，
∴四边形 是平行四边形，
∴；
解：结论：四边形是菱形．
理由：∵四边形是菱形，
∴，∵，
∴，是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
25
30
36
50
28
8
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）菱形ABCD中，如果E、F、G、H分别是各边中点，那么四边形EFGH的形状是（ ）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
2、（4分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形B．平行四边形C．正五边形D．正十边形
4、（4分）如图，的周长为，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列关于矩形对角线的说法中，正确的是
A．对角线相互垂直B．面积等于对角线乘积的一半
C．对角线平分一组对角D．对角线相等
6、（4分）一副三角板按图 1 所示的位置摆放，将△DEF 绕点 A(F)逆时针旋转 60°后（图 2）， 测得 CG＝8cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）
A．16＋16 cm2
B．16＋ cm2
C．16＋ cm2
D．48cm2
7、（4分）如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为（ ）
A．48B．96C．80D．192
8、（4分）已知a＜b，下列不等关系式中正确的是（ ）
A．a+3＞b+3B．3a＞3bC．﹣a＜﹣bD．﹣＞﹣
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为 cm．
10、（4分）某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：
商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是_____（用数学概念作答）
11、（4分）已知，则= ___________
12、（4分）若分式方程有增根x＝2，则a＝___．
13、（4分）已知一个直角三角形斜边上的中线长为6 cm，那么这个直角三角形的斜边长为______cm.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在四边形中，，，点，分别是边，的中点，且.求证：四边形是平行四边形.
15、（8分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点C（3，0），顶点D（0，4），过点A作AF⊥y轴于F点，过点B作x轴的垂线交过A点的反比例函数y＝（k＞0）的图象于E点，交x轴于G点．
（1）求证：△CDO≌△DAF．
（2）求反比例函数解析式及点E的坐标；
（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．
16、（8分）如图，在中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE.
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若，°，.
①直接写出的边BC上的高h的值；
②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
17、（10分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问霞长几何.
注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺.将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）.解决下列问题：
（1）示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺；
（2）求芦苇的长度.
18、（10分）如图，平面直角坐标系中，已知点，若对于平面内一点C，当是以AB为腰的等腰三角形时，称点C时线段AB的“等长点”．
请判断点，点是否是线段AB的“等长点”，并说明理由；
若点是线段AB的“等长点”，且，求m和n的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在关系式V=31-2t中，V随着t的变化而变化，其中自变量是_____，因变量是_____，当t=_____时，V=1．
20、（4分）一个n边形的每一个内角等于108°，那么n=_____．
21、（4分）计算：＝_____________．
22、（4分）2x-3>- 5的解集是_________.
23、（4分）如图，直线y=-x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，点C在直线AB上，D是y轴右侧平面内一点，若以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标是_______________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分） 某中学为打造书香校园，购进了甲、乙两种型号的新书柜来放置新买的图书，甲型号书柜共花了15000元，乙型号书柜共花了18000元，乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，购买乙型号书柜的数量是甲型号书柜数量的2倍．求甲、乙型号书柜各购进多少个？
25、（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC分别交射线AD与射线CB于点E和点F，联结CE、AF．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）当点E、F分别在边AD和BC上时，如果设AD＝x，菱形AFCE的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的长度．
26、（12分）如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连结．
求证：．
当时，四边形为菱形吗？请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
分析：利用中位线的性质证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形的对角线互相垂直，可证∠EHG=90°，从而根据矩形的判定：有一角为90°的平行四边形是矩形，得出菱形中点四边形的形状．
详解：∵菱形ABCD中，如果E、F、G、H分别是各边的中点，
∴HE∥GF∥AC，HE=GF=AC,
∴四边形EFGH为平行四边形；
又∵菱形的对角线互相垂直，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH的形状是矩形．
故选：C．
点睛：此题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定.矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
2、D
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3、D
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D.
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4、A
【解析】
利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题
【详解】
解：平行四边形的周长为18，
，
，，
∴
，
，
，
的周长为，
故选．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
5、D
【解析】
根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分得到正确选项．
【详解】
解：矩形的对角线相等，
故选：．
此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
6、B
【解析】
过G点作GH⊥AC于H，则∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=8cm，先在Rt△GCH中根据等腰直角三角形三边的关系得到GH与CH的值，然后在Rt△AGH中根据含30°的直角三角形三边的关系求得AH，最后利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】
解：过G点作GH⊥AC于H，如图，
∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=8cm，
在Rt△GCH中，GH=CH=GC=4cm，
在Rt△AGH中，AH=GH=cm，
∴AC=AH+CH=+4（cm）．
∴两个三角形重叠（阴影）部分的面积=AC•GH=×（+4）×4=16+cm2
故选：B．
本题考查了解直角三角形：求直角三角形中未知的边和角的过程叫解直角三角形．也考查了含30°的直角三角形和等腰直角三角形三边的关系以及旋转的性质．
7、B
【解析】
根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC，
在Rt△AOB中，BO==6，
则BD=2BO=12，
故S菱形ABCD=AC×BD=1．
故选：B．
此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
8、D
【解析】
根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】
A：不等式两边都加3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B：不等式两边都乘以3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C：不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
D不等式两边都除以﹣2，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
本题主要考查了不等式的性质，熟记不等式在两边都乘除负数时，不等式符号需要改变方向是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、．
【解析】
试题分析：首先根据菱形的对角线互相垂直平分，再利用勾股定理，求出BC的长是多少；然后再结合△ABC的面积的求法，求出菱形ABCD的高AE是多少即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴BO=BD=×8=4（cm），CO=AC=×6=3（cm），
在△BCO中，由勾股定理，可得
BC===5（cm）
∵AE⊥BC，
∴AE•BC=AC•BO，
∴AE===（cm），
即菱形ABCD的高AE为cm．
故答案为．
10、众数
【解析】
商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．
【详解】
根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是销售数量最多衬衫的数量，即众数．
故答案为：众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
11、-1
【解析】
将原式利用提公因式法进行因式分解，再将代入即可.
【详解】
解：∵x+y=-2，xy=3，
∴原式=xy(x+y)=3×（-2）= -1．
此题考查了因式分解和整式的代入求值法，熟练掌握因式分解和整式的运算法则是解本题的关键．
12、﹣2.
【解析】
先化简分式方程，再根据分式方程有增根的条件代入方程，最后求出方程的解即可．
【详解】
去分母得：x+2+ax＝3x﹣6，
把x＝2代入得：4+2a＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2.
此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则
13、1
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解：∵直角三角形斜边上的中线长为6，
∴这个直角三角形的斜边长为1．
考查的是直角三角形的性质，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析.
【解析】
首先根据平行线的性质可得∠DBC=∠BDA=90°，再根据直角三角形的性质可得DE=AB，BF=DC，然后可得AB=CD，再证明Rt△ADB≌Rt△CBD可得AD=BC，然后即可得到结论成立．
【详解】
证明：∵，，
∴，
∵在中，是的中点，
∴，
同理：，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形.
此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，关键是找出证明Rt△ADB≌Rt△CBD的条件．
15、（1）见解析；（2）为y＝，点E的坐标为（7，1）；（3）在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．
【解析】
（1）利用同角的余角相等可得出∠CDO＝∠DAF，结合∠DOC＝∠AFD＝90°及DC＝AD，可证出△CDO≌△DAF；
（2）利用全等三角形的性质可求出AF，FD的长，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式，同（1）可证出△CDO≌△BCG，利用全等三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标；
（3）由点A，E的坐标，利用待定系数法可求出直线AE的解析式，结合直线l∥AE及点C的坐标可求出直线l的解析式，设点P的坐标为（m，﹣m+3），结合点A，C的坐标可得出AC2，AP2，CP2的值，分AC＝AP，CA＝CP及PA＝PC三种情况可得出关于m的方程，解之即可得出点P的坐标．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDO＝90°．
∵∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDO＝∠DAF．
在△CDO和△DAF中，
，
∴△CDO和△DAF（AAS）．
（2）解：∵点C的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，1），
∴OC＝3，OD＝1．
∵△CDO和△DAF，
∴FA＝OD＝1，FD＝OC＝3，
∴OF＝OD+FD＝7，
∴点A的坐标为（1，7）．
∵反比例函数y＝（k＞0）过点A，
∴k＝1×7＝28，
∴反比例函数解析式为y＝．
同（1）可证出：△CDO≌△BCG，
∴GB＝OC＝3，GC＝OD＝1，
∴OG＝OC+GC＝7，
∴点G的坐标为（7，0）．
当x＝7时，y＝＝1，
∴点E的坐标为（7，1）．
（3）解：设直线AE的解析式为y＝ax+b（a≠0），
将A（1，7），E（7，1）代入y＝ax+b，得：，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+2．
∵直线l∥AE，且直线l过点C（3，0），
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3．
设点P的坐标为（m，﹣m+3），
∵点A的坐标为（1，7），点C的坐标为（3，0），
∴AP2＝（m﹣1）2+（﹣m+3﹣7）2＝2m2+32，AC2＝（3﹣1）2+（0﹣7）2＝50，CP2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣12m+4．
分三种情况考虑：
①当AC＝AP时，50＝2m2+32，
解得：m1＝3（舍去），m2＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，6）；
②当CA＝CP时，50＝2m2﹣12m+4，
解得：m3＝﹣2，m1＝8，
∴点P的坐标为（﹣2，5）或（8，﹣5）；
③当PA＝PC时，2m2+32＝2m2﹣12m+4，
解得：m＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，）．
综上所述：在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数及一次函数解析式、平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理AAS证出△CDO≌△DAF；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分AC=AP，CA=CP及PA=PC三种情况，找出关于m的方程．
16、（1）见解析；（2）①；②D
【解析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，AO＝CO，根据“AAS”证明△AOE≌△COF，可得OE＝OF，从而可证四边形AFCE是平行四边形；
（2）①作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的知识即可求出AH的值；
②根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐个阶段进行判断即可.
【详解】
（1）证明：在中，对角线AC，BD相交于点O.
∴，.
∴，.
∴.
∴.
∵，，
∴四边形AFCE是平行四边形.
（2）①作AH⊥BC于点H，
∵AD∥BC，∠DAC＝60°，
∴∠ACF=∠DAC＝60°，
∴AH=AC·sin∠ACF=，
∴BC上的高h=；
②在整个运动过程中，OA=OC,OE=OF,
∴四边形AFCE恒为平行四边形，
E点开始运动时，随着它的运动，∠FAC逐渐减小，
当∠FAC=∠EAC=60°时，即AC为∠FAE的角平分线，
∵四边形AFCE恒为平行四边形，
∴四边形AFCE为菱形，
当∠FAC+∠EAC=90°时，即∠FAC=30°，
此时AF⊥FC,
∴此时四边形AFCE为矩形，
综上，在点E从点D向点A运动过程中，四边形AFCE先后为平行四边形、菱形、平行四边形、矩形、平行四边形.
故选D．
本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定，及锐角三角函数的知识，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．
17、（1）5，1；（2）芦苇的长度为13尺.
【解析】
（1）直接利用题意结合图形得出各线段长；
（2）利用勾股定理得出AG的长进而得出答案．
【详解】
(1)线段AF的长为5尺，线段EF的长为1尺；
故答案为：5，1；
(2)设芦苇的长度x尺，
则图中AG=x，GF=x−1，AF=5，
在Rt△AGF中,∠AFC=90∘，
由勾股定理得 AF+FG=AG.
所以 5+(x−1) =x，
解得 x=13，
答：芦苇的长度为13尺.
此题考查勾股定理，解题关键在于得出AG的长.
18、是线段AB的“等长点”，不是线段AB的“等长点”，理由见解析；，或，．
【解析】
先求出AB的长与B点坐标，再根据线段AB的“等长点”的定义判断即可；
分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n．
【详解】
点，，
，，，
．
点，
，
，
是线段AB的“等长点”，
点，
，，
，，
不是线段AB的“等长点”；
如图，
在中，，，
，
．
分两种情况：
当点D在y轴左侧时，
，
，
点是线段AB的“等长点”，
，
，
，；
当点D在y轴右侧时，
，
，
，
点是线段AB的“等长点”，
，
．
综上所述，，或，．
本题考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质解的关键是理解新定义，解的关键是画出图形，是一道中等难度的中考常考题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、t V 15
【解析】
∵在关系式V=31-2t中，V随着t的变化而变化，
∴在关系式V=31-2t中，自变量是；因变量是；
在V=31-2t中，由可得：，解得：，
∴当时，.
故答案为（1）；（2）；（3）15.
20、1
【解析】
首先求得外角的度数，然后利用360度除以外角的度数即可求得．
【详解】
解：外角的度数是：180°﹣108°=72°，
则n==1，
故答案为1．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
21、
【解析】
根据积的乘方和整式的运算法则，先算乘方再算乘法即可得出答案
【详解】
本题考查的是积的乘方和整式的运算法则，能够准确计算是解题的关键。
22、x>-1．
【解析】
先移项，再合并同类项，化系数为1即可．
【详解】
移项得，2x>-5+3，
合并同类项得，2x>-2，
化系数为1得，x>-1．
故答案为：x>-1．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
23、（2，−2）或（6，2）．
【解析】
设点C的坐标为（x，-x+4）．分两种情况，分别以C在x轴的上方、C在x轴的下方做菱形，画出图形，根据菱形的性质找出点C的坐标即可得出D点的坐标．
【详解】
∵一次函数解析式为线y＝-x+4，
令x=0,解得y=4
∴B（0，4），
令y=0,解得x=4
∴A（4，0），
如图一，∵四边形OADC是菱形，
设C（x，-x+4），
∴OC＝OA＝，
整理得：x2−6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴C（2，2），
∴D（6，2）；
如图二、如图三，∵四边形OADC是菱形，
设C（x，-x+4），
∴AC＝OA＝，
整理得：x2−8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6，
∴C（6，−2）或（2，2）
∴D（2，−2）或（−2，2）
∵D是y轴右侧平面内一点，故（−2，2）不符合题意，
故答案为（2，−2）或（6，2）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，解题的关键是确定点C、D的位置．本题属于中档题，难度不大，在考虑菱形时需要分类讨论．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、购进甲型号书柜1个，购进乙型号书柜2个．
【解析】
设购进甲型号书柜x个，则购进乙型号书柜2x个，根据单价=总价÷数量结合乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜了300元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
设购进甲型号书柜x个，则购进乙型号书柜2x个，根据题意得：
300
解得：x=1．
经检验，x=1是原方程的解，∴2x=2．
答：购进甲型号书柜1个，购进乙型号书柜2个．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）；（3）AD的值为或.
【解析】
（1）由△DOE≌△BOF，推出EO=OF，∵OB=OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB=ED即可．
（2）由cs∠DAC=，求出AE即可解决问题；
（3）分两种情形分别讨论求解即可.
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF，
∴EO＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，OB＝OD，
∴EB＝ED，
∴四边形EBFD是菱形．
（2）由题意可知：，，
∵，
∴，
∴，
∵AE≤AD，
∴，
∴x2≥1，
∵x＞0，
∴x≥1．
即（x≥1）．
（3）①如图2中，当点E在线段AD上时，ED＝EO，则Rt△CED≌Rt△CEO，
∴CD＝CO＝AO＝1，
在Rt△ADC中，AD＝．
如图3中，当的E在线段AD的延长线上时，DE＝DO，
∵DE＝DO＝OC，EC＝CE，
∴Rt△ECD≌Rt△CEO，
∴CD＝EO，
∵∠DAC＝∠EAO，∠ADC＝∠AOE＝90°，
∴△ADC≌△AOE，
∴AE＝AC，
∵EO垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴EA＝EC＝AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AD＝CD•tan30°＝，
综上所述，满足条件的AD的值为或．
本题考查四边形综合题、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题．
26、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据菱形的四条边的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，再求出四边形BECD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；
（2）只要证明DC=DB，即证明△DCB是等边三角形即可解决问题；
【详解】
证明：四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，，
∴四边形 是平行四边形，
∴；
解：结论：四边形是菱形．
理由：∵四边形是菱形，
∴，∵，
∴，是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
25
30
36
50
28
8
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