重庆市渝北区2025届数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份重庆市渝北区2025届数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ）
A．6.2小时B．6.4小时C．6.5小时D．7小时
2、（4分）为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了名学生周阅读用时数，结果如下表：
则关于这名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是( )
A．中位数是B．众数是C．平均数是D．方差是
3、（4分）下列各式中，y不是x的函数的是
A．B．C．D．
4、（4分）教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛．两人在形同条件下各打了5发子弹，命中环数如下：甲：9、8、7、7、9；乙：10、8、9、7、1．应该选（ ）参加．
A．甲B．乙C．甲、乙都可以D．无法确定
5、（4分）一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6、（4分）下列调查最适合用查阅资料的方法收集数据的是（ ）
A．班级推选班长B．本校学生的到时间
C．2014世界杯中，谁的进球最多D．本班同学最喜爱的明星
7、（4分）对于一次函数，如果随的增大而减小，那么反比例函数满足（ ）
A．当时，B．在每个象限内，随的增大而减小
C．图像分布在第一、三象限D．图像分布在第二、四象限
8、（4分）等式成立的条件是( )
A．B．C．x＞2D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币. 如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为_______.
10、（4分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，已知∠AOB=40°，则∠AOD的度数为_____．
11、（4分）命题“如果x=y，那么”的逆命题是 ____________________________________________．
12、（4分）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示．若和 分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则________．(填“>”、“<”或“=”)．
13、（4分）某地区为了增强市民的法治观念，随机抽取了一部分市民进行一次知识竞赛，将竞赛成绩（得分取整数）整理后分成五组并绘制成如图所示的频数直方图.请结合图中信息，解答下列问题：
抽取了多少人参加竞赛？
这一分数段的频数、频率分别是多少？
这次竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内？
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
15、（8分）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．
16、（8分）如图，每个小正方形的边长都为l.点、、、均在网格交点上，求点到的距离.
17、（10分）如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，，，．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）OP =____________, OQ =____________；（用含t的代数式表示）
（2）当时，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处．
①求点D的坐标；
②如果直线y = kx + b与直线AD平行，那么当直线y = kx + b与四边形PABD有交点时，求b 的取值范围．
18、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM=2AE=4，∠BCE=30°.
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求证：∠EMC=2∠AEM .
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）矩形的长和宽是关于的方程的两个实数根，则此矩形的对角线之和是________．
20、（4分）长方形的长是宽的2倍，对角线长是5cm，则这个长方形的长是______．
21、（4分）在□ABCD中，∠A，∠B的度数之比为2：7，则∠C=__________．
22、（4分）若已知a，b为实数，且=b﹣1，则a+b=_____．
23、（4分）一副常规的直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，若，则______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上.若点，在线段上，且为某个一边与轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点、的“涵矩形”.下图为点，的“涵矩形”的示意图.
（1）点的坐标为.
①若点的横坐标为，点与点重合，则点、的“涵矩形”的周长为__________.
②若点，的“涵矩形”的周长为，点的坐标为，则点，，中，能够成为点、的“涵矩形”的顶点的是_________.
（2）四边形是点、的“涵矩形”，点在的内部，且它是正方形.
①当正方形的周长为，点的横坐标为时，求点的坐标.
②当正方形的对角线长度为时，连结.直接写出线段的取值范围.
25、（10分）下表是厦门市某品牌专卖店全体员工9月8日的销售量统计资料．
（1）写出该专卖店全体员工9月8日销售量的众数；
（2）求该专卖店全体员工9月8日的平均销售量．
26、（12分）已知直线l为x+y=8，点P（x，y）在l上且x＞0，y＞0，点A的坐标为（6，0）．
（1）设△OPA的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当S=9时，求点P的坐标；
（3）在直线l上有一点M，使OM+MA的和最小，求点M的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．因此，
这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是＝6.4（小时）．故选B．
2、D
【解析】
A：根据中位数、众数、平均数以及方差的概念以及求解方法逐一求出进而进行判断即可.
【详解】
这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，可得
4、4、4、5、5、5、5、8、8、12，
∴这10名学生周阅读所用时间的中位数是：(5+5)÷2=10÷2=5，
∴选项A不正确；
∵这10名学生周阅读所用时间出现次数最多的是5小时，
∴这10名学生周阅读所用时间的众数是5，
∴选项B不正确；
∵(4×3+5×4+8×2+12)÷10=60÷10=6
∴这10名学生周阅读所用时间的平均数是6，
∴选项C不正确；
∵×[3×(4-6)2+4×(5-6)2+2×(8-6)2+(12-6)2]=6，
∴这10名学生周阅读所用时间的方差是6，
∴选项D正确，
故选D．
本题考查了加权平均数、中位数和众数、方差等，熟练掌握相关概念以及求解方法是解题的关键.
3、D
【解析】
在运动变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，x是自变量．
【详解】
A. ，B. ，C. ，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义，不符合题意，
D. ，对于x的每一个值，y都有两个确定的值与之对应，故不是函数，本选项符合题意.
故选：D
本题考核知识点：函数. 解题关键点：理解函数的定义.
4、A
【解析】
试题分析：由题意可得，甲的平均数为：（9+8+7+7+9）÷5=8；
方差为：=0.8
乙的平均数为：（10+8+9+7+1）÷5=8；
方差为：=2；
∵0.8＜2，∴选择甲射击运动员，故选A．
考点：方差．
5、B
【解析】
根据一次函数的性质即可得到结果．
，
图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故选B.
6、C
【解析】
了解收集数据的方法及渠道，得出最适合用查阅资料的方法收集数据的选项．
【详解】
A、B、D适合用调查的方法收集数据，不符合题意；
C适合用查阅资料的方法收集数据，符合题意．
故选C．
本题考查了调查收集数据的过程与方法．解题关键是掌握收集数据的几种方法：查资料、做实验和做调查．
7、D
【解析】
一次函数，y随着x的增大而减小，则m＜0，可得出反比例函数在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
【详解】
解：∵一次函数，y随着x的增大而减小，
∴m＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限；且在每一象限y随x的增大而增大．
∴A、由于m＜0，图象在二、四象限，所以x、y异号，错误；
B、错误；
C、错误；
D、正确．
故选：D．
本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，注意和的图象与式子中的符号之间的关系．
8、C
【解析】
直接利用二次根式的性质得出关于x的不等式进而求出答案．
【详解】
解：∵等式=成立，
∴，
解得：x＞1．
故选：C．
此题主要考查了二次根式的性质，正确解不等式组是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、45°
【解析】
根据正多边形的外角度数等于外角和除以边数可得.
【详解】
∵硬币边缘镌刻的正多边形是正八边形，
∴它的外角的度数等于360÷8=45°.
故答案为45°.
本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
10、50°
【解析】
根据旋转的性质得出全等，根据全等三角形性质求出∠DOC=40°，代入∠AOD=∠AOC﹣∠DOC求出即可．
【详解】
解：∵△OAB绕点O逆时针旋转90°到△OCD的位置，∠AOB=40°，
∴△OAB≌△OCD，∠COA=90°，
∴∠DOC=∠AOB=40°，
∴∠AOD=∠AOC﹣∠COD=90°﹣40°=50°，
故答案为50°
11、逆命题“如果，那么x=y”．
【解析】
命题“如果x=y，那么x2=y2”的题设是“x=y”，结论是“x2=y2”，
则逆命题的题设和结论分别为“x2=y2”和“x=y”，
即逆命题为“如果x2=y2，那么x=y”.
故答案为如果x2=y2，那么x=y.
点睛：本题考查逆命题的概念：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题互为逆命题，如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫它的逆命题.
12、<
【解析】
方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异，所以从图像看苗高的波动幅度，可以大致估计甲、乙两块地苗高数据的方差.
【详解】
解：由图可知，甲、乙两块地的苗高皆在12cm上下波动，但乙的波动幅度比甲大，
∴ 则
故答案为：<
本题考查了方差，方差反映了数据的波动程度，方差越大，数据的波动越大，正确理解方差的含义是解题的关键.
13、（1）抽取了人参加比赛；（2）频数为，频数为0.25；（3）
【解析】
（1）将每组的人数相加即可；
（2）看频数直方图可知这一分数段的频数为12，用频数÷总人数即可得到频率；
（3）直接通过频数直方图即可得解.
【详解】
解：（人），
答：抽取了人参加比赛；
频数为，频数为；
这次竞赛成绩的中位数落在这个分数段内.
本题主要考查频数直方图，中位数等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，通过直方图得到有用的信息.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、-1
【解析】
先利用分式运算规则进行化简，解出不等式得到x的取值，要注意x的取值是不能使前面分式分母为0
【详解】
∵，
∴解得：﹣3＜x≤，
∴整数解为﹣2，﹣1，0，
根据分式有意义的条件可知：x＝0，
∴原式＝
本题考查分式的化简与求值，本题关键在于解出不等式之后取x值时，需要注意不能使原分式分母为0
15、答案见解析．
【解析】
试题分析：欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．
试题解析：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB=∠AFC=90°，∵AE=BF，∴AF=BE，在△DEB和△CFA中，∵DE=CF，∠DEB=∠AFC，AF=BE，△DEB≌△CFA，∴∠A=∠B，∴AC∥DB．
考点：全等三角形的判定与性质．
16、
【解析】
求出△ABC的面积，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
连接，
由勾股定理得，，
设点到的距离为，
的面积，
则，
解得，，即点到的距离为.
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a1+b1=c1．
17、（1）6-t； t+（2）①D(1，3) ②3≤b≤
【解析】
（1）根据OA的长以及点P运动的时间与速度可表示出OP的长，根据Q点的运动时间以及速度即可得OQ的长；
（2）①根据翻折的性质结合勾股定理求得CD长即可得；
②先求出直线AD的解析式，然后根据直线y=kx+b与直线AD平行，确定出k=，从而得表达式为：，根据直线与四边形PABD有交点，把点P、点B坐标分别代入求出b即可得b的取值范围.
【详解】
（1）由题意可知AP=t，所以OP=OA-AP=6-t，
根据Q点运动秒时，动点P出发，所以OQ＝t+，
故答案为6-t， t+；
（2）①当t=1时，OQ=，
∵C(0，3)，
∴OC=3，
∴CQ=OC-OQ=，
∵△OPQ沿PQ翻折得到△DPQ，
∴QD = OQ =，
在Rt△CQD中，有CD2=DQ2-CQ2，所以CD=1，
∵四边形OABC是矩形，
∴D(1，3)；
②设直线AD的表达式为：（m≠0），
∵点A（6，0），点D（1，3），
∴，
解得，
∴直线AD的表达式为：，
∵直线y=kx+b与直线AD平行，
∴k=，
∴表达式为：，
∵直线与四边形PABD有交点，
∴当过点P（5，0）时，解得：b=3，
∴当过点B（6，3）时，解得：b=，
∴3≤b≤.
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、一次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关性质与定理以及待定系数法是解题的关键.
18、（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
(1)由AM＝2AE＝4，利用平行四边形的性质可求出BC=AD=1，利用直角三角形的性质得出BE、CE的长,进而得出答案;
(2) 延长EM，CD交于点N，连接CM．通过证明△AEM≌△DNM，可得EM＝MN，然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可证MN＝MC，然后根据三角形外角的性质证明即可.
【详解】
（1）解：∵M为AD的中点，AM＝2AE＝4，
∴AD＝2AM＝1．在▱ABCD的面积中，BC＝CD＝1，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝4，
∴AB＝6，CE＝4，
∴▱ABCD的面积为：AB×CE＝6×4＝24；
（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．
∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠N，
在△AEM和△DNM中
∵∠AEM=∠N，
AM=DM，
∠AME=∠DMN，
∴△AEM≌△DNM（AAS），
∴EM＝MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴CM是Rt△ECN斜边的中线，
∴MN＝MC，
∴∠N＝∠MCN，
∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．
此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识.熟练应用平行四边形的性质是解（1）关键，正确作出辅助线是解（2）的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=7，ab=12，利用勾股定理得到矩形的对角线长=，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长为5，则根据矩形的性质得到矩形的对角线之和为1．
【详解】
设矩形的长和宽分别为a、b，
则a+b=7，ab=12，
所以矩形的对角线长==5，
所以矩形的对角线之和为1．
故答案为：1．
本题考查了根与系数的关系, 矩形的性质,解题关键在于掌握运算公式.
20、
【解析】
设矩形的宽是a，则长是2a，再根据勾股定理求出a的值即可．
【详解】
解：设矩形的宽是a，则长是2a，
对角线的长是5cm，
，
解得，
这个矩形的长，
故答案是：．
考查的是矩形的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
21、40°
【解析】
分析：平行四边形两组对边分别平行，两直线平行，同旁内角互补．又因为∠A，∠B的度数之比为2：1．所以可求得两角分别是40°，140°，根据平行四边形的两组对角分别相等，可得∠C等于40°．
详解：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A=∠C，∴∠A+∠B=180°．
又∵∠A，∠B的度数之比为2：1，∴∠A=180°×=40°，∠B=180°×=140°，∴∠C=40°．
故答案为：40°．
点睛：本题考查的是平行四变形的性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对角分别相等．
22、6
【解析】
根据二次根式被开方数为非负数可得关于a的不等式组，继而可求得a、b的值，代入a+b进行计算即可得解.
【详解】
由题意得：，
解得：a=5，
所以：b=1，
所以a+b=6，
故答案为：6.
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
23、
【解析】
作BM⊥FC于M,CN⊥AB于N，根据矩形的性质得到BM=CN,再根据直角三角形的性质求出AB，再根据勾股定理求出BC，结合图形即可求解.
【详解】
作BM⊥FC于M,CN⊥AB于N，
∵AB∥CF,
∴四边形BMCN是矩形，∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM=CN,
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，
由勾股定理得BC=
∴BM=CN=BC=
由勾股定理得CM=
∵∠EDF=45°，∴DM=BM=
∴CD=CM-DM=
此题主要考查矩形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、含30°的直角三角形及等腰直角三角形的性质.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）①． ②；（2）①点的坐标为或．②．
【解析】
(1)①利用A、B的坐标求出直线AB的解析式，再将P点横坐标代入，计算即可得点、的“新矩形”的周长；②由直线AB的解析式判定是否经过E、F、G三点，发现只经过了F（1，2），能够成为点、的“涵矩形”的顶点的是F（1，2）
（2）①①根据正方形的性质可得出∠ABO=45°，结合点A的坐标可得出点B的坐标及直线AB的函数表达式，由的横坐标为，可得出点P的坐标，再由正方形的周长可得出点Q的坐标，进而可得出点Q的坐标；②由正方形的对角线长度为，可得正方形的边长为1，由直线AB的解析式y=-x+6可知M点的运动轨迹是直线y=-x+5，由点在的内部，x的取值范围是0【详解】
（1）①解：由A(0,6),B(3，0)可得直线AB的解析式为：y=-2x+6，
∵P点横坐标是
∴当x=时，y=3
∴P（，3）．
∵ 点与点重合，
∴Q（3，0）
∴点、的“涵矩形”的宽为：3-=，长为3-0=3
∴点、的“涵矩形”的周长为：
故答案为9
②．由①可得直线AB的解析式为：y=-2x+6可设Q(a,-2a+6),则成为点、的“涵矩形”的顶点且在AOB内部的一点坐标为M（1，-2a+6）
∴PM=4-(-2a+6)=2a-2，MQ=a-1
∵点，的“涵矩形”的周长为
∴PM+MQ=3
∴2a-2+a-1=3
解得：a=2
∴M(1,2)
故答案为F(1,2),只写或也可以.
（2）①点、的“涵矩形”是正方形，
，
点的坐标为，
点的坐标为 ，
直线的函数表达式为．
点的横坐标为，
点的坐标为．
正方形的周长为，
点的横坐标为或，
点的坐标为或．
②∵正方形的对角线长度为，
∴可得正方形的边长为1，
因为直线AB的解析式y=-x+6可设M点的运动轨迹是直线y=-x+b，且过（0，5）
故M点的运动轨迹是直线y=-x+5
∵点在的内部，x的取值范围是0∴当M落在OB或者OA边上时，OM取得最大值，此时OM=5,由于点在的内部，
∴OM＜5，
当OM⊥直线y=-x+5时，OM取得最小值，此时OM= ，
∴OM的取值范围.．
故答案为
本题考查了新型定义题型，矩形、正方形、一次函数、线段最值等问题，难度较高，审清题意，会综合运用矩形、正方形、一次函数以及最值的求法，是解题的关键.
25、（1）该专卖店全体员工9月8日销售量的众数是件；（2）该专卖店全体员工9月8日的平均销售量是件．
【解析】
（1）由题意直接根据众数的定义进行分析求解可得；
（2）由题意直接根据加权平均数的定义列式并进行计算可得．
【详解】
解：（1） 该专卖店全体员工9月8日销售量的众数是件．
答:该专卖店全体员工9月8日销售量的众数是件.
（2）（件）
答:该专卖店全体员工9月8日的平均销售量是件．
本题主要考查众数和加权平均数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
26、（1）、y=24﹣3x（0＜x＜8）；（2）、P（5,3）；（3）、（6.4，1.6）.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形的面积公式即可直接求解；
（2）把S=9代入，解方程即可求解；
（3）点O关于l的对称点B，AB与直线x+y=8的交点就是所求．
试题解析：（1）如图所示：
∵点P（x，y）在直线x+y=8上，
∴y=8﹣x，
∵点A的坐标为（6，0），
∴S=3（8﹣x）=24﹣3x，（0＜x＜8）；
（2）当24﹣3x=9时，x=5，即P的坐标为（5，3）．
（3）点O关于l的对称点B的坐标为（8，8），设直线AB的解析式为y=kx+b，
由8k+b=8，6k+b=0，解得k=4，b=﹣24，
故直线AB的解析式为y=4x﹣24，
由y=4x﹣24，x+y=8解得，x=6.4，y=1.6，
点M的坐标为（6.4，1.6）．
考点： 轴对称-最短路线问题；一次函数图象上点的坐标特征．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
周阅读用时数(小时)
4
5
8
12
学生人数(人)
3
4
2
1
销售量/件
7
8
10
11
15
人数
1
3
3
4
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