北京市第十九中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（ ）
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A B. C. D.
4. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A. B.
C. 或D. 与的位置关系不能判断
5. 已知，则过与垂直的平面（ ）
A 有1个B. 有2个
C. 有无数个D. 不存在
6. 如果一个正四棱锥的底面边长为6，高为3，那么它的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在正方体中，棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体中，已知E，F，G，H，分别是，，，的中点，则下列结论中错误的是（ ）

A. C，G，，F四点共面B. 直线平面
C. 平面平面D. 直线EF和HG所成角的正切值为
9. 如图，在四棱锥中，，，点是棱中点，与平面交于点，设，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 将水平放置，棱长为1的正方体容器（不计容器壁厚度）中注入一半的水，现将该正方体容器任意摆放，并保证水不溢出，则平行于水平面的水面面积的最大值为（ ）
A. B. 1C. D.
二、填空题（本大题共6道小题，每小题4分，共24分.）
11. 若圆锥的侧面积为2，母线长为2，则此圆锥的体积为______.
12. 法向量分别是，的两个平面的位置关系是_________.
13. 如图所示，空间四边形中，点为的中点，为的中点. 设，，.若以向量为一组基底，则______.

14. 如图，在长方体中，设，，则_____．
15. 若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是______________．
16. 以下四个命题中，说法正确的有__________．（填入所有正确序号）
①若任意向量共线，则必存在唯一实数使得成立；
②若向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底；
③所有平行向量都相等；
④是直角三角形的充要条件是．
三、解答题（本大题共3道小题，17题10分，18题11分，19题16分，共36分.）
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是直角三角形，，点是的中点，且平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面
18. 在多面体中, 平面,,四边形是边长为的菱形.
（1）证明: ；
（2）线段上是否存在点,使平面,若存在,求的值；若不存在,请说明理由.
19. 多面体中，，平面平面，平面底面，，，，，且.
（1）求与平面所成角；
（2）求平面与平面所成二面角的大小；
（3）求侧棱到侧面的距离.