北京市第一六一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：1．本试卷共2页，满分150分，考试时长120分钟.
2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答.
4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回.
一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用复数的运算法则化简复数，再根据复数模长公式计算模长.
【详解】∵，
∴.
故选：A.
2. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数单调性得到，，由三角函数定义可得，比较出大小.
【详解】，，
由于为第二象限角，故，
故.
故选：D
3. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数值域得到，，由并集概念求出答案.
【详解】，，
故.
故选：C
4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
5. 的展开式中含有项的系数是（ ）
A. 160B. C. 20D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出的展开式的通项公式，得到，求出，得到答案.
【详解】的展开式的通项公式为，
令得，，
故，展开式中含有项的系数是.
故选：B
6. 函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图象可知为奇函数且，在上先增后减.根据函数的奇偶性和，结合导数判断函数的单调性依次判断选项即可.
【详解】由图可知，的图象关于原点对称，则为奇函数，
且，在上先增后减.
A：，函数的定义域为R，，故A符合题意；
B：，函数的定义域为R，
，由，得，
则，在上单调递增，故B不符合题意；
C：，当时，，函数显然没有意义，故C不符合题意；
D：，函数的定义域为R，
，由，得，
则，在上单调递增，故D不符合题意.
故选：A
7. 设，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由，则为减函数，可得“”的充要条件为：，进而再判断即可得到答案.
【详解】当，则为减函数，又，所以，
可得，即“”是“”的充分条件，
由“”不能推出“”，故由“”不能推出“”，
即“”是“”的不必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
8. 设,若,则
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】由时增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.
【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
9. 已知方程，的根分别为，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】得到，，构造，故，求导得到其单调递增，故，求出.
【详解】由题意得，，
令，则，
又恒成立，
故在R上单调递增，
故，
所以.
故选：B
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）．

①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；
②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少；
③甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油．
A. ②④B. ①③C. ①②D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】利用折线图以及横、纵坐标代表的意义逐一分析即可求解.
【详解】从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5，故①错误；
同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多，
所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故②正确
甲车以80千米/小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米，
所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，故③错误；
速度在80千米/小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油，
丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，故④正确.
故选：A
二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.
11. 函数在处的瞬时变化率等于______．
【答案】-1
【解析】
【分析】求导，代入，求出，得到瞬时变化率.
【详解】，当时，，
故在处的瞬时变化率等于-1
故答案为：-1
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合被开方数大于等于和分母不为可得函数的定义域.
详解】由得，且，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
13. 若方程有根，则实数a的取值范围是______．
【答案】或，
【解析】
【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，进而结合函数图象即可得直线与有交点时，或.
【详解】由得，当，方程显然无根，
故时，，
令，则，
令，则，故在单调递增，在以及单调递减，
故时，取极小值，
而当时，，当时，，
所以直线与有交点时，或，
故答案为：或，

14. 已知奇函数的定义域为，且，则______；在上的零点个数的最小值为______．
【答案】 ①. 0 ②. 9
【解析】
【分析】由题意可得函数y=fx的图象关于对称，周期为3，由，可得第一空答案；列举出函数在上的零点，即可得第二空答案.
【详解】解：因为，
所以函数y=fx的图象关于对称，则，
又为R上的奇函数，所以，
所以，
所以函数y=fx是周期函数，3为周期，
所以；
因为，
所以，，
又，所以，，
又，所以，
所以函数在上的零点至少有共9个.
故答案为：0；9
15. 函数，给出下列四个结论
①的值域是；
②任意且，都有；
③任意且，都有；
④规定，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是______________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可；
【详解】①：当时， ，
当时，该函数单调递增，所以有，
当时， 因为，
所以，因此当时，；
当时，，此时函数单调递增，
所以有，
，所以有，
所以的值域是，故①正确；
②：不妨设，由，
所以该函数是实数集上的增函数，
由①可知：该函数在时，单调递增，且，
当时，单调递增，且，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正确；
③：当任意且时，
令，，
，显然，
因此不成立，故③不正确；
④：当时， ，
，
，
，
，
于是有，因此，故④正确，
故答案为：①②④
【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键.
二、解答题：本大题共6题，共85分.把答案写在答题纸中相应的黑色框区域内.
16. 已知函数．
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间．
【答案】（1）
（2）最小正周期，，
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由余弦二倍角公式得到，从而得到；
（2）利用三角恒等变换得到，利用得到最小正周期，并利用整体法求出函数的单调递减区间.
【小问1详解】
因为，且，
所以，，
所以．
【小问2详解】
，
所以函数的最小正周期．
由，，
解得，．
所以函数的单调递减区间，．
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，点E在线段AB上，且.
（1）求证：平面PBD；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)根据线面垂直的性质可得，利用相似三角形的判定与性质可得
，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；
(2)根据题意和线面垂直的性质可得两两垂直，建立如图空间直角坐标系
，求出各点、各线段的坐标，进而求出平面和平面的法向量，利用空间向量的数量积表示即可求出结果.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以.
因为，，
所以，.
所以.
所以，
所以.
又因为，，
所以平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，平面，
所以，.
又因为是矩形，，
所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，.
设平面的一个法向量为，则
即
令，则，.
于是.
因为平面，
取平面的法向量为.
则.
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值是.
18. 某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：
（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；
（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率；
（2）计算概率可得分布列和期望．
（3）由两组数据的比重可直接作出判断.．
【详解】（1）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是．
（2）X的可能取值为2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．
所以X的分布列为
所以E（X）=2×．
由题意可知，，所以E（Y）=np=32．
（3）．
【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题．
19. 已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在区间的最大值为1，求实数a的取值范围；
（3）若对任意，，当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）极大值，极小值；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，令导数等于0，结合单调性可求；
（2）求导，得到，讨论与的关系，利用导数，得出的最大值，进而求出的范围.
（3）构造函数，由可得到的单调性，进而可求得的范围.
【小问1详解】
当，，
，令，则或，
则当时，，函数单调递增，
则当时，，函数单调递减，
所以在时，取得极大值；
在时，取得极小值；
【小问2详解】
，
令，得或.
当时，则时，，
所以在上单调递减，
当时，
当时，；当时，.
故在上单调递增，在上单调递减；
，不合题意；
当时，则时，，
所以上单调递增，
，不合题意.
综上，实数的取值范围是.
【小问3详解】
设，根据题意有，，，
故单调递增，则，在上单调递增，
则有时，恒成立.
而，
即恒成立，参变分离可得，
则有，而（当且仅当时等号成立），
所以，即有.
20. 设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点，．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．
【答案】（1）椭圆方程为，离心率为
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知解方程组即可求出椭圆方程与离心率.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，可求出点的坐标.通过画图可得出，再代入相关点的坐标，分别求得和的面积，根据计算即可.
【小问1详解】
由题意可知，解得
，
则椭圆方程为，椭圆的离心率为.
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率存在且不为0，，设直线方程为，
取，得，
联立得，，
，得，则．
，
.
因为的面积是面积的倍，
，即，得，
直线的方程为．
21. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．
（1）判断集合和集合是否具有“包容”性；
（2）若集合具有“包容”性，求的值；
（3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C．
【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性
（2）1 （3），，，或．
【解析】
【分析】（1）根据“包容”性定义，逐一判断即可；
（2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果；
（3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.
【小问1详解】
（Ⅰ）集合中的，，
所以集合不具有“包容”性．
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性．
【小问2详解】
（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则，
易得，从而必有，
不妨令，则，且，
则，
且，
①当时，若，得，此时具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
②当时，则，由且，可知b无解，
故．
综上，．
【小问3详解】
（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数，
不妨设，
其中，，，
根据题意，
且，
从而或．
①当时，，
并且由，得，由，得，
由上可得，并且，
综上可知；
②当时，同理可得．
综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个，
分别是，，，
或．
【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成.
专家
A
B
C
D
E
评分
9.6
9.5
9.6
8.9
9.7
X
2
3
P