北京市首都师范大学附属中学（成达部）2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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2024年10月12月
第I卷（共40分）
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的表达式，可求出集合是的奇数倍，是的整数倍，即可得出的关系.
【详解】由可知，集合表示的是的奇数倍；
由可知，集合表示的是的整数倍；
即可知是的真子集，即.
故选：B
2. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出的不等式组，求解即可．
【详解】解：要使原式有意义只需：
，解得且，
故函数的定义域为．
故选B．
【点睛】求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．
3. 下列函数既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，以及初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由幂函数的性质，可得函数在区间上是减函数，不符合题意；
对于B中，由对数函数的性质，可得在区间上是减函数，不符合题意；
对于C中，由函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数奇函数，
又由函数在为增函数，所以在区间上也是增函数，符合题意；
对于D中，由函数，当时，，
根据二次函数的图象与性质，可得在区间上是减函数，不符合题意.
故选：C.
4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A. 向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B. 向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案.
【详解】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误；
B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，错误；
C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，错误；
D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，正确.
故选：D
5. 下列结论正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③不全为零；④
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值，可以直接判断①②，用作差法判断③④，进而确定选项.
【详解】对于①②，，则，但是，，故①②错误；
对于③，因为不全为0，则a2+b2−ab=a−12b2+34b2>0，则，故③正确；
对于④，，则，故④正确.
故选：C.
6. 函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由排除两个选项，再由时，排除一个选项后可得正确选项．
【详解】∵，所以，故排除C，D，
当时，恒成立，排除A，
故选：B．
7. 若“”是“”充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】由，即，解得，
因为“”是“”充分不必要条件，
所以真包含于，所以（等号不能同时取得），解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
8. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论中错误的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式及其解集得出，然后结合二次函数的大致图象及直线可得关于的性质．
【详解】根据不等式的解集得，原不等式化为，
作出函数的大致图象，及直线，如图，函数图象的对称轴是，由图象知：
，即，A正确；
，B错；
，即x1−x2>4，C正确；
，即，D正确．
故选：ACD．
9. 已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（ ）
A. B. C. D. 无数
【答案】B
【解析】
【分析】分、、三种情况讨论，作出函数的图象，根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，进而可求得实数的取值.
【详解】当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，关于的方程有且只有一个实根，不合乎题意；
当时，，如下图所示：
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
由题意可得，解得；
若，则，如下图所示：
函数在单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得，此时无解.
综上所述，.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
10. 设A，B为两个非空有限集合，定义，其中表示集合S的元素个数.某学校甲､乙､丙､丁四名同学从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若，则{思想政治，历史，生物}；
②若，则{地理，物理，化学}；
③若{思想政治，物理，生物}，则；
④若，则{思想政治，地理，化学}
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】对于①③，直接根据定义计算，即可判定；对于②，通过定义计算得到必为偶数，讨论和，两种情况下的求解，即可判定；对于④，通过举例{物理，地理，历史}，即可判定.
【详解】对于①中，由，所以，所以，
又由{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，所以①正确；
对于②，由，即，
所以，所以必为偶数，又，
当时，，不符合，
所以且，此时情况较多，比如：{物理，地理，生物}，所以②错误；
对于③中，若{思想政治，物理，生物}，
则，
所以，所以③正确；
对于④中，当{物理，地理，历史}时，
，
满足，但不是{思想政治，地理，化学}，所以④错误.
故选：B.
第II卷（共60分）
二､填空题（本大题共8小题，每小题4分，其32分）
11. 函数的值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求解．
【详解】由已知，它在上单调递增，在上单调递减，
时，，又时，，时，，
所以所求的值域为.
故答案为：．
12. 已知函数，若对于任意的正实数都满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，令，求得，再令，即可求得的值，得到答案.
【详解】因为函数，对于任意的正实数都满足，
令，可得，
令，可得.
故答案为：.
13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当x∈0,+∞时，______.
【答案】
【解析】
【分析】当x∈0,+∞时，可得，根据题意，结合，即可求解.
【详解】当x∈0,+∞时，可得，
因为函数是定义在上的偶函数，且时，，
可得，
即当x∈0,+∞时，.
故答案为：.
14. 已知关于的方程的两根为，满足，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的分布知识求解．
【详解】由一元二次方程根的分布得，解得，
故答案为：．
15. 若函数有4个零点，实数m的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，得到，作出函数的图像，利用数形结合解求出m的取值范围.
【详解】解：有4个零点，方程有4个根，
得到，则函数与直线 有4个交点，
作出函数的图像如下：

由图像可知，当，即时，函数与直线 有4个交点.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于中档题.含参数的函数零点问题，要先分离参数，将函数零点问题转化成曲线的交点问题，利用数形结合思想解决零点问题.
16. 设关于的方程和的实根分别为，若，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得，设函数，结合二次函数的性质，得到，进而求得实数的取值范围.
【详解】由题意，关于的方程和的实根分别为，
可得，则方程的解为，
设函数
又因为，可得，
整理得，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
17. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元．
【答案】
【解析】
【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值.
【详解】设李明获得的利润为万元，则，
则
，
当且仅当，因为，即当时，等号成立.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
18. 已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为.
①若，则__________；
②若则的取值范围是__________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】①先计算，利用数形结合，画出图像，根据新定义，可得结果；
②先计算，利用数形结合，画出图像，根据新定义，结合分类讨论的方法，可得结果.
详解】①当时，
，
则
，
作出的图像，如下图：

可知当时，取到最大值，
最大值；
②由题意得：，
∴，，
又，
可得的图象如图所示，

∵，
∴区间长度为2，
当时，
，
所以；
当时，
，
所以，
∴的取值范围为：.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键.
三､解答题（本大题共2小题，共28分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
19. 解关于的方程：
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据题意，化简不等式为，结合分式不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【详解】由不等式，可得，
（1）若，即时，，解得，所以不等式的解集为；
（2）若，即时，因为，
解得或，不等式的解集为；
（3）若，即时，不等式即为，
当时，可得，解得，不等式的解集为；
当时，可得，此时不等式的解集为；
当时，可得，解得，不等式的解集为，
综上可得， 当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
20. 已知函数.
（1）证明：函数是奇函数；
（2）用定义证明：函数在上是增函数；
（3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证；
（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证；
（3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数.
【小问2详解】
证明：当时，，
任取，且，
可得
因为，且，可得，x2+1x1+1>0，
所以，即，
所以函数在0,+∞上是增函数.
【小问3详解】
因为函数为定义域上的奇函数，且在0,+∞上是增函数，
所以函数在上也是增函数，
又因为，所以函数在上是增函数，
又由，可得，
因为不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
可得不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
当时，不等式即恒成立，符合题意；
当时，则满足a>0Δ=2a2−4a≤0，解得，
综上可得，，即实数的取值范围0,1.