资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩17页未读，
继续阅读
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月阶段检测数学试卷（Word版附解析）
展开
这是一份北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月阶段检测数学试卷（Word版附解析），文件包含北京市首都师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测数学试卷Word版含解析docx、北京市首都师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
2024.10.6
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的运算结果作出数轴即可求解.
【详解】集合，
若，如图：
所以的取值范围为.
故选：D
【点睛】本题考查了集合的运算结果求参数的取值范围，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】复数，所以复数对应的点为，为第一象限的点.
故选：A
3. 下列函数中，在区间上不是单调函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数图象即可判断A；根据复合函数的单调性及导数，即可判断B；根据幂函数的图象即可判断C；根据正切函数的图象即可判断D．
【详解】对于A，由对数函数的图象得，在0,+∞上单调递增，故A不合题意；
对于B，设，则在0,+∞上单调递增，
所以，，，令，得，
当时，，则在0,1单调递减，
当时，，则在1,+∞单调递增，
所以在单调递减，在0,+∞单调递增，故B不合题意；
对于C，因为和在0,+∞单调递增，所以在0,+∞单调递增，故C不合题意；
对于D，因为的定义域为，故D符合题设要求，
故选：D．
4. 如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，以及诱导公式可求得的值．
【详解】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，
所以，因为的终边在第一象限，
所以，
所以.
故选：A．
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数的运算法则以及对数函数的单调性可得结论.
【详解】因为，
又因为在上单调递增，又，所以，
所以.
故选：C.
6. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理,
得，
则，而，解得，又，
所以.
故选：C
7. 已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若，则存在唯一的实数，使得，
故，
而，
存在使得成立，
所以“”是“存在，使得’的的充分条件，
若且，则与方向相同，
故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充分必要条件.
故选：C.
8. 设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 为递减数列B. 为递增数列
C. 数列有最大项D. 数列有最小项
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，分析可知，取，可判断AB选项；分、两种情况讨论，利用数列的单调性可判断CD选项.
【详解】设等比数列的公比为，由已知，则，
由可得且，
对于AB选项，若，，
当为奇数时，，此时，则，
当为偶数时，，此时，则，
此时数列不单调，AB都错；
对于CD选项，，
当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项；
当时，若为正奇数时，，则，
此时单调递减，则；
当为正偶数时，，则，此时单调递增，则.
故当时，的最大值为，最小值为.
综上所述，有最小项.
故选：D.
9. 中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解.
【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，
由，，则，
所以，，，设，
则，，
则，
当时，取得最小值，此时，.
故选：B
10. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：
①存在，使得，，成等差数列；
②存在，使得，，成等比数列；
③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；
④存正整数，，，，且，使得.
其中所有正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】对①：借助递推公式计算出后结合等差数列性质即可得；对②：由递推公式可得，，中有两个奇数，一个偶数，结合等比数列定义即可得；对③：由递推公式可得，故存在，使得，，成等差数列；对④：依次写出数列中的项后凑出即可得.
【详解】对于①，由题意得，有，
故成等差数列，故①正确；
对于②，由，则为偶数，则、为奇数，为偶数，
则、为奇数，，故，，中有两个奇数，一个偶数，
不可能成等比数列，故②错误；
对于③，，
故当时，对任意，，，成等差数列，故③正确，
对于④，依次写出数列中的项为：
，
可得，故④正确，
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是_______．
【答案】.
【解析】
【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果.
【详解】由题意得，
解得且，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
12. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ .
【答案】
【解析】
【详解】∵平面向量与的夹角为，
∴.
∴
故答案为.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
13. 已知函数f的部分图象如图所示，将的图象向右平移（T为的最小正周期）个单位长度得到的图象，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据图象求出函数的解析式，根据图象平移结论求函数的解析式，再求.
【详解】由图可知，，
∴，．又，
所以，又，
所以，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
14. 已知公差不为的等差数列an的前项和为，若，，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值．
【详解】取得最小值，则公差，或，
当时，，所以，又，所以，
所以，，故，
令，则，
所以的最小值为．
当，，不合题意．
综上所述：，，，的最小值为．
故答案为：．
15. 已知函数，其中且．给出下列四个结论：
①若，则函数的零点是；
②若函数无最小值，则的取值范围为；
③若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增；
④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为．
其中，所有正确结论的序号是_____．
【答案】①④
【解析】
【分析】令可确定①正确；由函数无最小值可知当时，单调递减，得②错误；分别判断两段函数的单调性，根据严格单调递增的要求知③错误；讨论可知时存在有三个不等实根的情况，采用数形结合的方式可得的范围，分别求得，进而得到的范围，知④正确.
【详解】对于①，令，解得：；令，解得：（舍）；
若，则函数的零点是，①正确；
对于②，当时，，此时；
若无最小值，则需当时，单调递减，即，解得：，
又且，的取值范围为，②错误；
对于③，当时，在上单调递减，在0,1，1,+∞上分别单调递增；
若需在0,+∞上单调递增，则，解得：（舍），
∴fx在0,+∞上并非严格单调递增，③错误；
对于④，当时，在时有无数解，不满足题意；
当或时，，则当时，方程无解；当时，有唯一解；不满足方程有三个不等实根；
当时，大致图象如下图所示，
若有三个不等实根，则，解得：；
设，
令，解得：，即；
令，解得：，，
；
，，，
，④正确.
故答案为：①④
【点睛】思路点睛：本题考查分段函数零点、最值、单调性和方程根的分布的问题；求解方程根的分布的基本思路是能够将问题转化为曲线与平行于轴的直线交点个数问题，通过数形结合的方式，利用函数图象来进行分析和讨论，由此确定根的分布情况.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16 已知等差数列满足，且.又数列中，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，则称（或）是，的公共项.
①直接写出数列，的前4个公共项；
②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和.
【答案】（1），；
（2）①；②9880.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列方程求出公差、首项即可得的通项；利用等比数列定义求出的通项.
（2）①由（1）直接写出前4个公共项；②求出数列的前100项和，再减去其中的公共项即得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，则有，解得，
因此；由，得，而，
则数列是以为首项，公比为3的等比数列，，
所以数列，的通项公式分别为，.
【小问2详解】
①由（1）知，，，
则，，
所以数列，的前4个公共项依次为.
②，而，
因此数列的前100项中是数列与的公共项的只有这4项，
所以剩下所有项的和为.
17. 已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：；
条件②：函数在区间上是增函数；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）选择见解析；答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值.
【小问1详解】
由题意得：
.
当选条件①：，
又因为，所以，所以，
所以时，即得：，即.
当选条件②：
从而得：当时，单调递增，
化简得：当时，单调递增，
又因为函数在区间上是增函数，
所以得：，解之得：，
与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在.
故：若选条件②，不存在.
当选条件③：
由，，
得当时，，又因为，
所以得，得.
【小问2详解】
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当x=0时，有最大值；
所以当时，有最小值.
18. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.
【答案】（1）
（2）不是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求得f1和f′1，根据导数几何意义可知切线斜率为f′1，从而得到切线方程；
（2）令，通过导数可知单调递减；利用零点存在定理可知在
内存在零点，从而得到f′x的符号，进而得到单调性，说明不是单调函数.
【小问1详解】
由题意得：函数的定义域为0,+∞，
，
，，
在点1,f1处的切线方程为：，
即；
【小问2详解】
函数在定义域内不是单调函数．理由如下：
，令，
，在0,+∞上单调递减，
，，
存在，使得，
当时，gx>0，从而f′x>0，所以函数在0,m上单调递增，
当时，gx<0，从而f′x<0，所以函数在上单调递减，
故函数在定义域内不单调函数.
19. 如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点，，．为增加景区人民的收入，景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向上，还位于景点的北偏西方向上，已知，．
（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
（2）求的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设，由余弦定理得，解方程即得解；
（2）先求出的正弦余弦，再利用和角的正弦公式求解.
【详解】（1）在中，，，，设，
则由余弦定理得，
即，解得，
而，舍去，∴，
∴这条公路的长为．
（2）在中，，
∴，∴，
在中，，
∴
，
∴
．
【点睛】方法点睛：三角恒等变换方法：观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）
（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，把未知的角变成已知角的和差，
或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线，如, ,,等.
（2）“变名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦）
（3）“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合并等.
20. 已知函数.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）若是函数的极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）讨论在区间上的零点个数.
【答案】（1）最大值为，最小值为；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定在上的性，再计算最值得到答案；
（2）（ⅰ）计算得到，确定，设，根据函数的单调性结合，得到证明；
（ⅱ）求导得到导函数，考虑，，x∈0,π三种情况，构造，确定函数的单调区间，根据，，得到零点个数.
【小问1详解】
，，令得到，
当时，f′x>0，函数单调递增，
当时，f′x<0，函数单调递减，
又，，，
故在区间上的最大值为，最小值为；
【小问2详解】
（ⅰ），
，
，故，
设，函数单调递增，
，.
根据零点存在定理知；
（ⅱ），，，
设，，
当时，，故，单调递增，，故函数单调递减，，
故函数在上无零点；
当x∈0,π时，，
设，，
设，则，
当时，，当时，
故在单调递增，在上单调递减，
，，，
故存在使，
当x∈0,x0时，，Fx单调递增；
当时，，Fx单调递减.
，故，，故函数在上有1个零点.
综上所述：在区间上的零点个数为2.
【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.
21. 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.
【答案】（1）是完美集合，不是完美集合；（2）可能值为：、、中任一个；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据完美集合的定义，将分为集合、、符合条件，将分成个，每个中有两个元素，根据完美集合的定义进一步判断即可；
（2）根据完美集合的概念直接求出集合，从而得到的值；
（3）中所有元素之和为，根据，等号右边为正整数，可得等式左边可以被整除，从而证明结论.
【详解】（1）将分为、、满足条件，则是完美集合.
将分成个，每个中有两个元素，则，，
中所有元素之和为，，而为整数，不符合要求，
故不是“完美集合”；
（2）若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合.
故的可能值为、、中任一个；
（3）证明：中所有元素之和为
，
因为，所以，，
所以，，
因为为正整数，则可以被整除，
所以，或，即或.
故集合为“完美集合”的一个必要条件是或.
【点睛】关键点点睛：解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算，解本题的关键在于理解“完美集合”的定义，弄清集合、中的元素与集合中元素之间的关系，采取逻辑推证、列举法等方法求解.
2024.10.6
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的运算结果作出数轴即可求解.
【详解】集合，
若，如图：
所以的取值范围为.
故选：D
【点睛】本题考查了集合的运算结果求参数的取值范围，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】复数，所以复数对应的点为，为第一象限的点.
故选：A
3. 下列函数中，在区间上不是单调函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数图象即可判断A；根据复合函数的单调性及导数，即可判断B；根据幂函数的图象即可判断C；根据正切函数的图象即可判断D．
【详解】对于A，由对数函数的图象得，在0,+∞上单调递增，故A不合题意；
对于B，设，则在0,+∞上单调递增，
所以，，，令，得，
当时，，则在0,1单调递减，
当时，，则在1,+∞单调递增，
所以在单调递减，在0,+∞单调递增，故B不合题意；
对于C，因为和在0,+∞单调递增，所以在0,+∞单调递增，故C不合题意；
对于D，因为的定义域为，故D符合题设要求，
故选：D．
4. 如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，以及诱导公式可求得的值．
【详解】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，
所以，因为的终边在第一象限，
所以，
所以.
故选：A．
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数的运算法则以及对数函数的单调性可得结论.
【详解】因为，
又因为在上单调递增，又，所以，
所以.
故选：C.
6. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理,
得，
则，而，解得，又，
所以.
故选：C
7. 已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若，则存在唯一的实数，使得，
故，
而，
存在使得成立，
所以“”是“存在，使得’的的充分条件，
若且，则与方向相同，
故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充分必要条件.
故选：C.
8. 设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 为递减数列B. 为递增数列
C. 数列有最大项D. 数列有最小项
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，分析可知，取，可判断AB选项；分、两种情况讨论，利用数列的单调性可判断CD选项.
【详解】设等比数列的公比为，由已知，则，
由可得且，
对于AB选项，若，，
当为奇数时，，此时，则，
当为偶数时，，此时，则，
此时数列不单调，AB都错；
对于CD选项，，
当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项；
当时，若为正奇数时，，则，
此时单调递减，则；
当为正偶数时，，则，此时单调递增，则.
故当时，的最大值为，最小值为.
综上所述，有最小项.
故选：D.
9. 中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解.
【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，
由，，则，
所以，，，设，
则，，
则，
当时，取得最小值，此时，.
故选：B
10. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：
①存在，使得，，成等差数列；
②存在，使得，，成等比数列；
③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；
④存正整数，，，，且，使得.
其中所有正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】对①：借助递推公式计算出后结合等差数列性质即可得；对②：由递推公式可得，，中有两个奇数，一个偶数，结合等比数列定义即可得；对③：由递推公式可得，故存在，使得，，成等差数列；对④：依次写出数列中的项后凑出即可得.
【详解】对于①，由题意得，有，
故成等差数列，故①正确；
对于②，由，则为偶数，则、为奇数，为偶数，
则、为奇数，，故，，中有两个奇数，一个偶数，
不可能成等比数列，故②错误；
对于③，，
故当时，对任意，，，成等差数列，故③正确，
对于④，依次写出数列中的项为：
，
可得，故④正确，
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是_______．
【答案】.
【解析】
【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果.
【详解】由题意得，
解得且，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
12. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ .
【答案】
【解析】
【详解】∵平面向量与的夹角为，
∴.
∴
故答案为.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
13. 已知函数f的部分图象如图所示，将的图象向右平移（T为的最小正周期）个单位长度得到的图象，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据图象求出函数的解析式，根据图象平移结论求函数的解析式，再求.
【详解】由图可知，，
∴，．又，
所以，又，
所以，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
14. 已知公差不为的等差数列an的前项和为，若，，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值．
【详解】取得最小值，则公差，或，
当时，，所以，又，所以，
所以，，故，
令，则，
所以的最小值为．
当，，不合题意．
综上所述：，，，的最小值为．
故答案为：．
15. 已知函数，其中且．给出下列四个结论：
①若，则函数的零点是；
②若函数无最小值，则的取值范围为；
③若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增；
④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为．
其中，所有正确结论的序号是_____．
【答案】①④
【解析】
【分析】令可确定①正确；由函数无最小值可知当时，单调递减，得②错误；分别判断两段函数的单调性，根据严格单调递增的要求知③错误；讨论可知时存在有三个不等实根的情况，采用数形结合的方式可得的范围，分别求得，进而得到的范围，知④正确.
【详解】对于①，令，解得：；令，解得：（舍）；
若，则函数的零点是，①正确；
对于②，当时，，此时；
若无最小值，则需当时，单调递减，即，解得：，
又且，的取值范围为，②错误；
对于③，当时，在上单调递减，在0,1，1,+∞上分别单调递增；
若需在0,+∞上单调递增，则，解得：（舍），
∴fx在0,+∞上并非严格单调递增，③错误；
对于④，当时，在时有无数解，不满足题意；
当或时，，则当时，方程无解；当时，有唯一解；不满足方程有三个不等实根；
当时，大致图象如下图所示，
若有三个不等实根，则，解得：；
设，
令，解得：，即；
令，解得：，，
；
，，，
，④正确.
故答案为：①④
【点睛】思路点睛：本题考查分段函数零点、最值、单调性和方程根的分布的问题；求解方程根的分布的基本思路是能够将问题转化为曲线与平行于轴的直线交点个数问题，通过数形结合的方式，利用函数图象来进行分析和讨论，由此确定根的分布情况.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16 已知等差数列满足，且.又数列中，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，则称（或）是，的公共项.
①直接写出数列，的前4个公共项；
②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和.
【答案】（1），；
（2）①；②9880.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列方程求出公差、首项即可得的通项；利用等比数列定义求出的通项.
（2）①由（1）直接写出前4个公共项；②求出数列的前100项和，再减去其中的公共项即得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，则有，解得，
因此；由，得，而，
则数列是以为首项，公比为3的等比数列，，
所以数列，的通项公式分别为，.
【小问2详解】
①由（1）知，，，
则，，
所以数列，的前4个公共项依次为.
②，而，
因此数列的前100项中是数列与的公共项的只有这4项，
所以剩下所有项的和为.
17. 已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：；
条件②：函数在区间上是增函数；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）选择见解析；答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值.
【小问1详解】
由题意得：
.
当选条件①：，
又因为，所以，所以，
所以时，即得：，即.
当选条件②：
从而得：当时，单调递增，
化简得：当时，单调递增，
又因为函数在区间上是增函数，
所以得：，解之得：，
与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在.
故：若选条件②，不存在.
当选条件③：
由，，
得当时，，又因为，
所以得，得.
【小问2详解】
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当x=0时，有最大值；
所以当时，有最小值.
18. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.
【答案】（1）
（2）不是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求得f1和f′1，根据导数几何意义可知切线斜率为f′1，从而得到切线方程；
（2）令，通过导数可知单调递减；利用零点存在定理可知在
内存在零点，从而得到f′x的符号，进而得到单调性，说明不是单调函数.
【小问1详解】
由题意得：函数的定义域为0,+∞，
，
，，
在点1,f1处的切线方程为：，
即；
【小问2详解】
函数在定义域内不是单调函数．理由如下：
，令，
，在0,+∞上单调递减，
，，
存在，使得，
当时，gx>0，从而f′x>0，所以函数在0,m上单调递增，
当时，gx<0，从而f′x<0，所以函数在上单调递减，
故函数在定义域内不单调函数.
19. 如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点，，．为增加景区人民的收入，景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向上，还位于景点的北偏西方向上，已知，．
（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
（2）求的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设，由余弦定理得，解方程即得解；
（2）先求出的正弦余弦，再利用和角的正弦公式求解.
【详解】（1）在中，，，，设，
则由余弦定理得，
即，解得，
而，舍去，∴，
∴这条公路的长为．
（2）在中，，
∴，∴，
在中，，
∴
，
∴
．
【点睛】方法点睛：三角恒等变换方法：观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）
（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，把未知的角变成已知角的和差，
或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线，如, ,,等.
（2）“变名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦）
（3）“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合并等.
20. 已知函数.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）若是函数的极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）讨论在区间上的零点个数.
【答案】（1）最大值为，最小值为；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定在上的性，再计算最值得到答案；
（2）（ⅰ）计算得到，确定，设，根据函数的单调性结合，得到证明；
（ⅱ）求导得到导函数，考虑，，x∈0,π三种情况，构造，确定函数的单调区间，根据，，得到零点个数.
【小问1详解】
，，令得到，
当时，f′x>0，函数单调递增，
当时，f′x<0，函数单调递减，
又，，，
故在区间上的最大值为，最小值为；
【小问2详解】
（ⅰ），
，
，故，
设，函数单调递增，
，.
根据零点存在定理知；
（ⅱ），，，
设，，
当时，，故，单调递增，，故函数单调递减，，
故函数在上无零点；
当x∈0,π时，，
设，，
设，则，
当时，，当时，
故在单调递增，在上单调递减，
，，，
故存在使，
当x∈0,x0时，，Fx单调递增；
当时，，Fx单调递减.
，故，，故函数在上有1个零点.
综上所述：在区间上的零点个数为2.
【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.
21. 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.
【答案】（1）是完美集合，不是完美集合；（2）可能值为：、、中任一个；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据完美集合的定义，将分为集合、、符合条件，将分成个，每个中有两个元素，根据完美集合的定义进一步判断即可；
（2）根据完美集合的概念直接求出集合，从而得到的值；
（3）中所有元素之和为，根据，等号右边为正整数，可得等式左边可以被整除，从而证明结论.
【详解】（1）将分为、、满足条件，则是完美集合.
将分成个，每个中有两个元素，则，，
中所有元素之和为，，而为整数，不符合要求，
故不是“完美集合”；
（2）若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合.
故的可能值为、、中任一个；
（3）证明：中所有元素之和为
，
因为，所以，，
所以，，
因为为正整数，则可以被整除，
所以，或，即或.
故集合为“完美集合”的一个必要条件是或.
【点睛】关键点点睛：解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算，解本题的关键在于理解“完美集合”的定义，弄清集合、中的元素与集合中元素之间的关系，采取逻辑推证、列举法等方法求解.
相关试卷
北京市首都师范大学附属中学实验学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷（Word版附解析）： 这是一份北京市首都师范大学附属中学实验学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷（Word版附解析），文件包含北京市首师附实验学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题Word版含解析docx、北京市首师附实验学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）： 这是一份北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析），文件包含北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题Word版含解析docx、北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
北京市首都师范大学附属中学（成达部）2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）： 这是一份北京市首都师范大学附属中学（成达部）2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析），文件包含北京市首都师范大学附属中学成达部2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题Word版含解析docx、北京市首都师范大学附属中学成达部2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
