北京市育英学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知全集，集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 在复平面上，复数所对应点在第二象限，则实数的值可以为（ ）
A. B. 1
C. 2D. 3
3. 的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 平面向量与向量满足,且，,则向量与的夹角为
A. B. C. D.
6. 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）

A B. 1C. D.
7. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在 中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 分贝（）、奈培（）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值．如果，那么（ ）（参考数据：）
A. 8.686B. 4.343
C. 0.8686D. 0.115
10. 已知点集．设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点（与不重合），使得线段上除了点外没有中的点，则中的元素个数最小值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.）
11. 函数的定义域为_________.
12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________．
13. 已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则_________.
14. 已知函数其中．
（1）当时，函数的单调递增区间为___；
（2）若函数的值域为，存在实数，则的取值范围为___．
15. 已知函数的部分图象如图1所示，、分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则______.
给出下列四个结论：
①；
②图2中，；
③图2中，过线段的中点且与垂直的平面与轴交于点；
④图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题（木大题共6小题，共85分.解答应写出文㝋说明、演算步骤或证明过程.）
16. 中，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
17. 已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值；
(3)求证：存在唯一的，使得.
18. 已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）设. 当时，的取值范围为，求的最大值.
19. 已知数列的前项和满足，，．
（1）如果，求数列的通项公式；
（2）如果，求证：数列为等比数列，并求；
（3）如果数列为递增数列，求的取值范围．
20 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；
（3）试比较与的大小，并说明理由．
21. 给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将、、、中的最小值称为数列的特征值.
（Ⅰ）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值；
（Ⅱ）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.