福建省三明市将乐县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份福建省三明市将乐县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共11页。

学校 班级___________座号_________成绩_________
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则的值为
A．B．C．D．
2．用配方法解方程，原方程应变为
A．B．C．D．
3．为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为
A．0.42 B．0.50C．0.58D．0.72
4．一元二次方程的根的情况是
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
第7题
5.△ABC与△是位似图形，且△ABC与△的相似比是1︰2，已知△ABC的
面积是3，则△的面积是
A．3 B．6 C．9 D．12
6．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为
A．B．
C．D．
7.下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 D.对角线垂直的平行四边形是矩形
8.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与中△ABC 相似的是
A B C D
9．已知，是方程的两个实数根，则的值是
A．2023B．2021C．2026D．2019
10．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：
① △ABF≌△CAE； ② ∠AHC＝120°； ③ △AEH∽△CEA；
④AE•AD＝AH•AF； 其中结论正确的个数是
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
第10题图
二、填空题：（共6题，每小题4分，满分24分）
11．方程的解为 ．
12．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的
长为______ cm．
13．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2＋x＋（a2﹣1）＝0的一个根是0，
则a的值是______．
14．宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形，若一黄金矩形的
长为2cm，则其宽为 cm．
第15题图
15．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ．
16.如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为边BC、AB上的一点，BE=1，AF=2，P为对角线AC上的一个动点，则PF+PE的最小值为 ．
三、解答题（共9题，满分86分）
17．（本题满分8分）
第16题图
解方程：x2﹣2x﹣2＝0．
18.（本题满分8分） 如图，点D是等腰△ABC底边BC的中点．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
求证：四边形ADCE的是矩形
19．（本题满分8分） 2023年春节，小娜家购买了4个灯笼，灯笼上，灯笼上分别写有“欢”、“度”、“春”、“节”(外观完全一样)．
(1)小娜从四个灯笼中任取一个，取到“春”的概率是______．（2分）
(2)小娜从四个灯笼中先后取出两个灯笼，请用列表法或画树状图法求小娜恰好取到“春”、“节”两个灯笼的概率．（6分）
20．（本题满分8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证CD2=AD•BD
21.（本题满分8分）
冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销．某超市经销一种冰墩墩造型玩偶，每件成本为60元．经市场调研，当该玩偶每件的销售价为70元时，每个月可销售300件，若每件的销售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件．若该超市某月销售这种造型玩偶共获得利润4000元，求这个月每件玩偶的销售价．
22．（本题满分10分）
如图：在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，过点C 的直线MN∥AB，D 为AB 上一点，过点D作DE⊥BC，交 直线 MN 于点 E，垂足为 F，连结 CD，BE，
(1)当点 D 是AB 的中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由
(2)在（1）的条件下，当∠A等于多少度时四边形BECD 是正方形？说明理由。
23.（本题满分10分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，点E在BO上，EF垂直平分AB，垂足为F．
（1）求证：△BEF ∽△DCO；
（2）若AB=10，AC=12，求线段EF的长．
24．（本题满分12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．
例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则一元二次方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______.
（2）如果关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m≠0）是“倍根方程”，求m的值．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间满足什么样的关系？说明理由.
25．（本题满分14分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．
（1）求证：DG•BC＝DF•BG；
（2）连接CF，求∠CFB的大小；
（3）作点C关于直线DE的对称点H，连接CH，FH．猜想线段DF，BF，CH之间的数量关系并加以证明．
2023-2024学年上学期期中综合练习
九年级数学参考答案
一、选择题：
1.C 2.D 3.A 4. B 5. D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.A
二、填空题：
11. ±4 12 4 13. -1 14. 5-1 15. 16.
三、解答题（共9题，满分86分）
17．【解答】解：， …………2分
， …………4分
…………6分
∴.…………8分
另：配方法解方程按步给分
18.【解答】
证明：
∵点O是AC中点
∴ OC=OA…
∵OE＝OD，
∴四边形ADCE是平行四边形 …………3分
∵点D是等腰△ABC底边BC的中点
∴AD⊥BC
∴∠ADC=90° …………6分
∴平行四边形ADCE是矩形 ………… 8分
19.【解答】(1)14；（2分）
(2)画树状图如下：
(6分)
共有12种可能，恰好取到“春”，“节”两个灯笼的有2种，
P（恰好取到“春”“节”两个灯笼）=212=16.（8分）
20.【解答】略（1） 作图4分，（2）证明 4分
(2)∵CD⊥AB
∴∠CDA=∠BDC=90°
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACD=90°
∴∠BCD=∠CAD， …………6分
∴△ADC∽△CDB
∴ ADCD=CDBD ，
∴ CD²=AD·BD …………8分
21．【解答】解法（1）：设这个月每件玩偶的售价为元，
根据题意得：，…………4分
整理得：，
解得：， …………7分
答：这个月每件玩偶的销售价为80元． …………8分
解法（2）：设每月售价增加元，售量减少10件，
根据题意得：（70+x-60）（300-x）=4000，…………4分
解得：x1=x2=10， 70+x=80 …………7分
答：这个月每件玩偶的销售价为80元． …………8分
22.【解答】解：（1）当点 D是AB 的中点时，四边形 BECD 是菱形；…………1分
理由如下： ∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE， …………2分
∵MN∥AB，即 CE∥AD，
∴四边形 ADEC 是平行四边形，
∴CE=AD；
∵D 为 AB 中点，
∴AD=BD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形 BECD 是平行四边形， …………3分
∵∠ACB=90°，D 为 AB 中点，
∴CD= AB=BD，
∴四边形 BECD 是菱形； …………5分
（2）当∠A=45°时，四边形 BECD 是正方形； …………6分
理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=45°， …………7分
∵CD=BD，
∴∠ABC=∠DCB=45°， …………8分
∴∠CDB=90°， …………9分
∴菱形 BECD 是正方形． …………10分
23.解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，AB∥CD．…………2分
∴∠FBE=∠ODC．3分
又∵EF垂直平分AB，
∴∠BFE=∠DOC=90°．…………4分
∴△BEF ∽△DCO．5分
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴，．…………6分
在Rt△DCO中，根据勾股定理得
．
又∵EF垂直平分AB，
∴．…………8分
由（1）可知△BEF∽△DCO，
∴，即．
∴．…………10分
24.【解答】
（1）不是，2 …………4分
（2）解法一：△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×(﹣2m)=（m+2）2
∴x1=m, x1=﹣2 …………6分
∴m=2×(﹣2)=﹣4
或m=×(﹣2)=﹣1 …………8分
解法二：原方程可化为（x﹣m）（x+2）＝0
∴x1=m, x1=﹣2 …………6分
∴m=2×(﹣2)=﹣4
或m=×(﹣2)=﹣1
∴m=﹣1或﹣4 …………8分
解法三：设一个根为x1，则另一个根为2x1，由根与系数得
x1+2x1=m﹣2，①x1×2x1=﹣2m，②…………6分
由①代入②化简得 m2+5m+4=0
∴m=﹣1或﹣4 …………8分
（3） 设一个根为x1，则另一个根为2x1，由根与系数得
x1+2x1=， x1×2x1=
消去x1可得：2b2=9ac …………12分
25.【解答】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
∴∠BCD＝∠GFD，
∵∠BGC＝∠FGD，
∴△BGC∽△DGF， …………3分
∴，
∴DG•BC＝DF•BG； …………5分
（2）解：如图1，连接BD，
∵△BGC∽△DGF，
∴，
∴， …………7分
∵∠BGD＝∠CGF，
∴△BGD∽△CGF， …………8分
∴∠BDG＝∠CFG，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠BDG＝∠ADC＝45°，
∴∠CFB＝45°； …………10分
（3）解：BF＝CH+DF， …………11分
理由如下：如图2，在线段FB上截取FM，使得FM＝FD，连接DM，
∵∠BFD＝90°，
∴∠MDF＝∠DMF＝45°，DM＝DF，
∵∠BDG＝45°，
∴∠BDM＝∠CDF，
∵△BGD∽△CGF，
∴∠GBD＝∠DCF，
∴△BDM∽△CDF，
∴，
∴BM＝CF，
∵∠CFB＝45°，BF⊥DE，
点C关于直线DE的对称点H，
∴∠EFG＝∠EFC＝45°，
∴∠CFG＝90°，
∵CF＝FG，
∴CH＝CF，
∴BM＝CH，
∴BF＝BM+FM＝CH+DF． …………14分