江西省上饶市婺源天佑中学2024-2025学年高一上学期十月考试数学试卷

这是一份江西省上饶市婺源天佑中学2024-2025学年高一上学期十月考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知命题：，，命题：，，则（ ）
A．和均为真命题B．和均为真命题
C．和均为真命题D．和均为真命题
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数既是偶函数，且在区间内又是增函数的有（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
7．已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．
8．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列正确的有（ ）
A．当时，的最小值是9
B．若，则xy的最大值与最小值之和为0
C．的最小值是2
D．当时，若，则的最小值为为
10．下列结论正确的是（ ）
A．若是奇函数，则必有且
B．函数在定义域上单调递减
C．是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，
D．若在R上是增函数，且，，则
11．对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“倒函数”
B．若函数在R上为“倒函数”，则
C．若函数在R上为“倒函数”，当，则
D．若函数在R上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在R上是单调增函数，记，若，则.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 .
13．已知函数，则_____________.
14． ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）设为实数，集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
16．（15分）已知函数.
(1)对任意，函数恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，求不等式的解集.
17．（17分）已知函数的定义域为，，且.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)讨论函数的最小值.
18．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论；
(3)求使成立的实数a的取值范围.
19．（17分）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明；
(3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围．
高一数学参考答案
1．D
【分析】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案.
【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立，
等价于当时，，
当时，，
即，所以；
若q为真命题，即存在，不等式成立，
等价于当时，.
由于，，所以，解得.
若p，q都是真命题，则；
所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或.
即,
故选：D.
2．C
【分析】先判断命题的真假，由此可得的真假，再判断命题的真假，由此确定的真假，结合所得结论确定正确选项.
【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，故命题为真命题；
对于命题，当时，，所以为真命题，故命题为假命题；
综上可知，和均为真命题.
故选：C.
3．D
【分析】根据零次幂的底不为零，分母不为零，被开方数大于等于零列不等式组计算即可．
【详解】由题意可知，解得且，
故选：D．
4．BC
【分析】根据反例可判断A的正误，根据偶函数的定义结合函数解析式可判断BC的正误.
【详解】A中，设，则，，
故不是偶函数，故A错误；
D中，设，则，
故在内不是增函数，故D错误；
B中，设，则，故为上的偶函数，
而当时，，该函数在内是增函数，故B正确；
C中，设，则，故为上的偶函数，
而当时，在内是增函数，故C正确；
故选：BC.
5．C
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】由题意得，解得且，
故定义域为.
故选：C
6．D
【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案.
【详解】因为，，
令，
则，
设，，则，
所以是奇函数，最大值为，最小值为，
则，由，解得.
故选：D.
7．D
【分析】判断函数的奇偶性、单调性，据此可得，再由基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数，且易知在上单调递减，
又，即
所以，即，
，当且仅当即时等号成立，
故选：D
8．B
【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论．
【详解】易知函数定义域为，
且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称；
又当时，，因此排除A，
又，
利用指数函数图象性质可知其在0,+∞上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD，
故选：B.
9．ABD
【分析】对于A、B、C，利用基本不等式求最值，注意取值条件，即可判断；对于D，利用基本不等式“1”的代换求目标式最值即可.
【详解】A：由题设，则，
当且仅当时等号成立，故原式最小值为9，对；
B：由题设，当且仅当时等号成立，
所以，故xy的最大值与最小值之和为0，对；
C：由，
当且仅当时等号成立，显然，错；
D：由题设，则，
当且仅当，即时等号成立，对.
故选：ABD
10．CD
【分析】检验且时的奇偶性可判断A，举反例可判断B，利用函数奇偶性求得的解析式，从而判断C，利用作差法推得，进而利用的单调性与不等式的性质可判断D.
【详解】对于A，当且时，，其定义域为，
又，则是奇函数，
所以当是奇函数时，不一定有，故A错误；
对于B，对于，，，
则，所以在不单调递减，故B错误；
对于C，因为是定义在上的偶函数，当时，，
所以当时，，则，故C正确；
对于D，因为，，
则，即，则，
因为在上是增函数，所以，，
则，故D正确.
故选：CD.
11．ACD
【分析】利用“倒函数”的定义判断A；举反例排除B；利用“倒函数”的定义求解析式可判断C；利用函数单调性与奇偶性的定义判断的性质，从而判断D.
【详解】对于A，对于，则，
所以，
则函数是“倒函数”，故A正确；
对于B，取，则，
所以，
此时在R上为“倒函数”，但，故B错误；
对于C，当时，则，所以，故C正确；
对于D，因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，
所以，
任取、且，则，所以，，
所以
，
所以函数为上的增函数，
因为，故函数为上的奇函数，
当时，即，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，
，对称轴在递减，在递增，
，对称轴，
①即时，在0,1递增，恒成立；
②即时，在递减，在递增，，所以，故；
③即时，在[0，1]递减，，
所以，解得，综上.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.
13．4
【分析】代入求解即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：4.
14．
【分析】借助指数运算法则计算即可得.
【详解】原式
.
故答案为：.
15．(1)，或；
(2)或.
【分析】（1）将代入，得，根据并集、交集及补集的定义求解即可；
（2）分和分别求解，再取并集即可.
【详解】（1）解：当时，，
所以；
，
所以或；
（2）解：因为，
所以当时，则有，解得；
当时，或，
解得或，
综上，或，
所以实数的取值范围为或.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）通过转换主参变量的方法来列不等式，从而求得的取值范围.
（2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.
【详解】（1）依题意，恒成立，
恒成立，
又因为恒大于0，
所以，
即.
（2），
当时，，由，解得：
当时，令，解得.
当时，，即由，解得；
当时，，即，解得或
当时，，由，解得x∈R；
当时，，即，由，解得或
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：在解题过程中，利用不等式恒成立条件，转化主参变量进行推导，利用分类讨论法时，要做到不重不漏，确保所有可能的情况都得到分析．
17．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）利用赋值法即可得解；
（2）利用赋值法依次求得，进而得到关于的函数方程组，解之即可得解；
（3）利用（2）中结论，结合二次函数的性质，分类讨论对称轴与区间的位置，从而得解.
【详解】（1）因为，
令，则，
又，有，故.
（2）令，有，
即，得，
令，有，
即，得，
令，有，
即，得，
令，有，
令，有，则，
联立，解得，
所以.
（3）由（2）得，，
其图象开口向上，对称轴为，又，
当，即时，在上单调递增，
则；
当，即时，在上单调递减，则；
当，即时，
.
18．(1)；
(2)在上单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果；
（2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增；
（3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为.
【详解】（1）由题意可知，故，
又由可得，解得；
所以，
此时fx定义域关于原点对称，且，
故fx是定义在上的奇函数，满足题意，
所以.
（2）在上单调递增，证明如下：
取任意，且，
则；
因为，且，
所以，，
所以，
所以，即，
因此在上单调递增.
（3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数，
所以由可得，
因此需满足，解得，即；
故实数a的取值范围为.
19．(1)
(2)函数在R上单调递增，证明见详解
(3)
【分析】（1）根据题意，由求出即可；
（2）根据单调性的定义证明即可；
（3）对不等式进行变形，结合单调性可以列出不等式，进而转化为一元二次不等式在R上恒成立问题.
【详解】（1）因为函数的定义域为R，且为奇函数，
所以，
解得．
经检验当时，有f-x=-fx，
所以．
（2），
函数在定义域内单调递增，证明如下：
设，
，
因为在R上单调递增，所以，
所以，即，
所以函数在R上单调递增．
（3）因为是奇函数，由已知可得．
由（2）知在R上单调递增，
所以，
则在R上恒成立，
所以，
解得．
所以实数m的取值范围为．