湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共6页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知全集U=R，集合A=x∣x2-2x>8,B=x13x<3，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x∣-1C．{x∣-12．已知复数z1=1-2i，z2=a+2i（其中i为虚数单位，a∈R）. 若z1⋅z2是纯虚数，则a=（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA⋅PB+PC的最小值是（ ）
A．-2B．-8C．-3D．-6
4．三个数a=2lnee2，b=ln2，c=ln33的大小顺序为（ ）
A．b5．已知函数fx是定义在R上的可导函数，其导函数为f'x．若f0=5，且fx-f'x>2，则使不等式fx≤3ex+2成立的x的取值范围为（ ）
A．-∞,-1B．1,+∞C．-∞,0D．0,+∞
6．设曲线y=e2ax在点0,1处的切线与直线x+2y-2=0垂直，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．14D．-14
7．已知直线l:y=3x+2m与双曲线C:x2m-y2m+2=1(m>0)的一条渐近线平行，则C的右焦点到直线l的距离为（ ）
A．2B．3C．3+1D．4
8．已知在8个电子元件中，有2个次品，6个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到2个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（ ）
A．128B．114C．17D．156
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知函数fx=Asinωx+φ A>0,ω>0,φ<π2部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．fx的图象关于点5π6,0对称
B．fx的图象关于直线x=π3对称
C．将函数y=cs2x-3sin2x的图象向右平移π4个单位得到函数fx的图象
D．若方程fx=m在-π2,0上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是-2,-3
10．已知公差为d的等差数列an是递减数列，其前n项和为Sn，且满足a8=2a6，则下列结论正确的是（ ）
A．d<0B．a1>0
C．若Sn≥0，则n的最大值为7D．Sn取最大值时，n=4
11．甲、乙、丙、丁、戊、已6人从左向右排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙相邻，则不同的排法有240种
B．若丙、丁相隔一个，则不同的排法数有96种
C．若甲不在排头，乙不在排尾，则不同的排法有504种
D．甲排在乙，丙左边的概率为13
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．2x+1x12的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示）
13．过抛物线y2=4x焦点的弦AB的中点横坐标为2，则弦AB的长度为 .
14．若AB=3，AC=2CB，平面内一点P，满足PA⋅PCPA=PB⋅PCPB，sin∠PAB的最大值是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知递增等比数列an满足a1=3，a3是5a2与3a1的等差中项．
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=1an+nn∈N*，求数列bn的前n项和Sn．
16．（15分）如图，三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与平面ABC垂直，O为AC的中点，G是△PBC的重心，OG⊥BC，G到平面PAC的距离为1，AB=6.
(1)证明：AB//平面POG；
(2)证明：△ABC是直角三角形；
(3)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
17．（15分）某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图.
(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);
(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取5 家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为 Y，求 Y的分布列与数学期望；
(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布， Nμσ²，其中μ近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得 s²=27.68，，利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).
附参考数据与公式： 27.68≈5.26，X∼Nμσ2，则 Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
18．（17分）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=3x，右焦点F到渐近线的距离为3．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点F的直线l与双曲线C交于M,N两点，A-1,0．求AM⋅AN的值．
19．（17分）已知函数f(x)=x(a-lnx)，在点P(1,f(1))处切线方程为y=1．
(1)求实数a的值；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)设x1,x2为两个不相等的正数，且fx1=fx2，证明：x1+x2>2．
数学答案
1．【答案】C
【解析】因为集合A={x∣x<-2或x>4},B={x∣x>-1}，所以∁UA=x∣-2≤x≤4，所以∁UA∩B={x∣-1故选：C.
2．【答案】A
【解析】z1⋅z2=1-2ia+2i=a+4+2-2ai,
因为z1⋅z2是纯虚数，
所以a+4=02-2a≠0，解得a=-4.
故选：A.
3．【答案】D
【解析】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系.
则A(0,23),B(-2,0),C(2,0),设Px,y，
则PA=-x,23-y,PB=-2-x,-y,PC=2-x,-y
所以PA⃗⋅(PB⃗+PC⃗)=-x⋅(-2x)+(23-y)⋅(-2y)=2x2-43y+2y2
=2[x2+(y-3)2-3];
所以当x=0,y=3时, PA⃗⋅(PB⃗+PC⃗)取得最小值为2×(-3)=-6.
故选：D.
4．【答案】D
【解析】a=lne2e2，b=ln2=ln22=ln44，c=ln33，
记fx=lnxx,x>0，则f'x=1-lnxx2，
令f'x=1-lnxx2<0，解得x>e，所以fx在e,+∞上单调递减，
因为e<3<4f4>fe2，即a故选：D
5．【答案】D
【解析】设Fx=fx-2ex，则F'x=f'x-fx+2ex，
∵fx-f'x>2，∴f'x-fx+2<0，
∴F'x<0，即Fx在定义域R上单调递减．
∵f0=5，∴F0=3，
∴不等式fx≤3ex+2等价于fx-2ex≤3，即Fx≤F0，解得x≥0，
故选：D．
6．【答案】A
【解析】由题意题中切线的斜率为2，
由y=e2ax，则y'=2ae2ax，
所以2a=2，a=1，
故选：A．
7．【答案】C
【解析】双曲线C:x2m-y2m+2=1(m>0)的渐近线方程为y=±m+2mx，
因为直线l:y=3x+2m与双曲线C的一条渐近线平行，
所以m+2m=3，解得m=1，所以双曲线C的右焦点坐标为(2,0)，
所以C的右焦点到直线l的距离为|23+2|3+1=3+1.
故选：C.
8．【答案】B
【解析】由已知可得前两次测试一次取得正品一次取得次品，第三次测试恰好取得次品，
则P=C21⋅C61C82⋅16=114，
故选：B.
9．【答案】ACD
【解析】由图可知A=2，函数的周期为π，所以2πω=π，解得ω=2；
由fπ12=2可得φ=2kπ+π3,k∈Z，因为φ<π2，所以φ=π3.
所以fx=2sin2x+π3.
对于A，f5π6=2sin5π3+π3=0，所以fx的图象关于点5π6,0对称，正确.
对于B，fπ3=2sin2π3+π3=0，所以fx的图象不关于直线x=π3对称，错误.
对于C，y=cs2x-3sin2x=2cs2x+π3，向右平移π4个单位，
得到y=2cs2x-π6=2sin2x+π3，即可以得到函数fx的图象，正确.
对于D，x∈-π2,0时，2x+π3∈-2π3,π3，所以fx∈-2,3，
简图如下，

所以m的取值范围是-2,-3，正确.
故选：ACD
10．【答案】ABC
【解析】等差数列an是递减数列，则公差d<0，A正确；
由题意d=a8-a62=12a6<0，∴a6<0，
则a4=a6-2d=0，从而Sn取最大值时，n=4或n=3，D错误；
所以a1=a4-3×(12a6)=-32a6>0，B正确；
Sn=na1+n(n-1)2d=-32a6n+n(n-1)2⋅12a6=14a6(n2-7n)，由Sn≥0得1≤n≤7，C正确．
故选：ABC．
11．【答案】ACD
【解析】A选项，若甲、乙相邻，则不同的排法有A22A55=240种，A选项正确.
B选项，若丙、丁相隔一个，则不同的排法数有A22A41A33=48种，B选项错误.
C选项，若甲不在排头，乙不在排尾，则不同的排法有A66-2A55+A44=504种，C选项正确.
D选项，基本事件的总数有A66=720，
甲排在乙，丙左边的不同的排法数有C63A22A33=240，
所以甲排在乙，丙左边的概率为240720=13，D选项正确.
故选：ACD
12．【答案】7920
【解析】Tr+1=C12r(2x)12-r(1x)r=C12r⋅212-rx12-32r，
由12-32r=0得r=8，
所以常数项为T9=C128⋅24=7920.
故答案为：7920
13．【答案】6
【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x22=2，所以x1+x2=4，
所以AB=x1+1+x2+1=4+2=6.
故答案为：6
14．【答案】12/0.5
【解析】
如图，由PA⋅PCPA=PB⋅PCPB和向量的数量积定义可得，
|PC|cs〈PA,PC〉=|PC|cs〈PB,PC〉，即得∠APC=∠BPC，从而PAPB=ACBC=2，
设PB=x，则PA=2x，由PA+PB>AB，PA-PB由余弦定理，cs∠PAB=9+4x2-x22×2x×3=34x+x4≥2316=32,当且仅当34x=x4时，即x=3时，等号成立，
因0<∠PAB<π，则0<∠PAB≤π6，故0故答案为：12.
15．
【解析】（1）因为a3是5a2与3a1的等差中项，a1=3，
所以2a3=5a2+3a1，即2q2-5q-3=0，解得q=3或q=-12，
因为an为递增等比数列，所以q=3，
所以an=3×3n-1=3n．
（2）bn=1an+n=(13)n+n，
Sn=[13+(13)2+⋯+(13)n]+(1+2+⋯+n)
=13[1-(13)n]1-13+n(1+n)2=-12⋅3n+n2+n+12．
16．【解析】（1）在三棱锥P-ABC中，连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG，
由G为△PBC的重心，得D为BC的中点，又O是AC中点，
则OD//AB，又OD⊂平面POG，AB⊄平面POG，
所以AB//平面POG.
（2）由△PAC是正三角形，O是AB的中点，得PO⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，
则PO⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，于是PO⊥BC，
又OG⊥BC，又PO,OG⊂平面POD，PO∩OG=O，因此BC⊥平面POD，
又OD⊂平面POD，则BC⊥OD，又由（1）知OD//AB，于是BC⊥AB，
所以△ABC是直角三角形.
（3）在平面ABC内过B作BF⊥AC于F，平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，则BF⊥平面PAC，
由G为△PBC的重心，且G到平面PAC的距离为1，得B到平面PAC的距离为3，即BF=3，
在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAB=12，则∠BAF=30∘，在Rt△ABC中，AC=ABcs30∘=43，
以O为原点，直线OC，OP分别为y，z轴，过点O且垂直于平面PAC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,-23,0),B(3,3,0),C(0,23,0),P(0,0,6)，
设平面PAB的法向量为m=(x1,y1,z1)，AP=(0,23,6),AB=(3,33,0)，
则m⋅AP=23y1+6z1=0m⋅AB=3x1+33y1=0，令z1=1，得m=(3,-3,1)，
设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2)，CP=(0,-23,6),CB=(3,-3,0)，
则n⋅CP=-23y2+6z2=0n⋅CB=3x2-3y2=0，令z2=1，得n=(1,3,1)，
因此cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=113×5=6565，
所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为6565.
17．【解析】（1）这 50家食品生产企业考核成绩的平均数为：
x=74×0.04+78×0.12+82×0.28+86×0.36+90×0.10+94×0.06+98×0.04
=84.80
由频率分布直方图得a∈84,88内，
∴0.04+0.12+0.28+0.09×a-84=0.5，
解得中位数a≈84.67 (分) .
（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有
50×0.1+0.06+0.04=10家，
其中考核成绩在96,100内的企业有50×0.04=2家，
由题意可知，Y的可能取值为0,1,2，
PY=0=C85C105=29,
PY=1=C21C84C105=59,
PY=2=C22C83C105=29,
∴Y的分布列为：
EY=0×29+1×59+2×29=1.
（3）由题意得X~N(84.80，5.262),
∴μ+2σ≈84.80+2×5.26=95.32，
PX>μ+2σ≈12-0.95452≈0.02275,
∴500×0.02275=11.375≈11 (家) ，
∴估计该市 500家食品生产企业质量管理考核成绩高于 95.32分的有11家.
18．【解析】（1）解：由双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=3x，可得ba=3，
又由焦点F(c,0)到渐近线的距离为3，可得d=3c(3)2+12=3，可得c=2，
又因为c2=a2+b2，可得a=1,b=3，所以双曲线的方程为x2-y23=1.
（2）解：由（1）知c=2，可得F(2,0)，
当直线l的斜率不存在时，即l:x=2，将x=2代入x2-y23=1，可得y1=3或y2=-3，
不妨设M(2,3),N(2,-3)，
又由A(-1,0)，可得AM=(3,3),AN=(3,-3)，
所以AM⋅AN=3×3+3×(-3)=0；
当直线l的斜率存在时，即l:y=k(x-2)，
联立方程组y=k(x-2)x2-y23=1，整理得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0，
设M(x1,y1),N(x2,y2)，则Δ=(4k2)2+4(3-k2)(4k2+3)>0，
且x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3，
则y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2x1x2-2k2(x1+x2)+4k2，
且AM=(x1+1,y1),AN=(x2+1,y2)，
则AM⋅AN=(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2
=x1x2+(x1+x2)+1+k2x1x2-2k2(x1+x2)+4k2
=(1-2k2)(x1+x2)+(k2+1)x1x2+4k2+1=
=(1-2k2)⋅4k2k2-3+(k2+1)⋅4k2+3k2-3+4k2+1
=4k2-8k4+4k2+3k2+4k4+3+4k4-12k2+k2-3k2-3=0，
综上可得：AM⋅AN=0.
19．【解析】（1）由题意，f(1)=1×(a-ln1)=a，
又切线方程为y=1，
所以a=1.
（2）fx=x1-lnx,f'x=1-lnx+x-1x=-lnx,
所以f'x>0⇔01,
故f(x)在0,1上单调递增，1,+∞上单调递减.
（3）因为f1=1，fe=0，当x→0时，f(x)→0，
且f(x)在0,1上单调递增，1,+∞上单调递减，
所以由fx1=fx2（不妨设x1要证x1+x2>2，只需证x2>2-x1，而2-x1>1，
由函数单调性，只需证明f(x2)因为fx1=fx2，所以只需证明f(x1)令gx=f2-x-fx0则g'x=-f'2-x-f'x=ln2-x+lnx
=ln(-x2+2x)=ln-x-12+1，
由0所以g(x)在x∈(0,1)上单调递减，
所以g(x)>g(1)=0，即f2-x-fx>0，所以f(x1)故x1+x2>2.Y
0
1
2
P
29
59
29