辽宁省“辽南协作体”2025届高三上学期10月月考数学试题（含答案）

这是一份辽宁省“辽南协作体”2025届高三上学期10月月考数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=xx2>1，B=−2,−1,0,1,2，则A∩B=( )
A. −2,2B. −1,0,1C. 2D. −2,−1,1,2
2.已知a,b∈R，那么“ a> b”是“2a>2b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知角a的终边在第三象限，且tanα=2，则sinα−csα=( )
A. −1B. 1C. − 55D. 55
4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A. f(x)=lnxB. f(x)=2xC. f(x)=x3D. f(x)=sinx
5.设函数fx=12x,x≤1lg2x,x>1，若fx≤2，则实数x的取值范围是( )
A. −1,+∞B. 0,4C. −1,4D. −∞,4
6.按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=In⋅t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I=20A时，放电时间t=20h；当放电电流I=30A时，放电时间t=10h.则该蓄电池的Peukert常数n大约为( )(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)
A. 43B. 53C. 83D. 2
7.若函数fx=asinx+bcsx的最大值为2，则下列结论不一定成立的是( )
A. a2+b2=4B. ab≤2C. a+b2≤8D. a−b2≤4
8.已知函数f(x)=x22+mlnx−2x，x∈(0,+∞)有两个极值点，则实数m的取值范围是( )
A. −∞,0B. (−∞,1]C. −1,+∞D. 0,1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=2x+2−x，则下列结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)最小值是2D. f(x)最大值是4
10.已知函数fx=sinx+cs2x，则下列结论正确的是( )
A. 函数fx的图象关于原点对称B. 函数fx在[−π2,0]上单调递增
C. 函数fx在[0,π]上的值域为[1,98]D. 函数fx在−π,π上有且仅有3个零点
11.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x<0时，f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)<0且g(−3)=0，则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的取值范围是( )
A. (−∞,−3)B. (−3,0)C. (0,3)D. (3,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“∀x∈1,4，x2>m”是假命题，则实数m的取值范围是 ．
13.函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是 ．
14.函数fx=sin2x−csx在0,3π上的零点个数为 _____．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数gx=sinx−π6，ℎx=csx，且fx=gx⋅ℎx求：
(1)fx的最小正周期；
(2)fx在区间0,π2上的最小值．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−3ax，
(1)讨论函数f(x)的极值情况；
(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin(2x+φ)+cs(2x+φ)(|φ|<π2)，将f(x)的图象向左平移π3个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)=a在[π6,512π]上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数fx=xlnx，gx=−x2+ax−3a∈R．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意x∈0,+∞，不等式fx≥12gx恒成立，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
若集合A={a1,a2,⋯,an}(0≤a1(1)判断集合M={0,3,6,9}，N={1,4,6,8}是否具有性质P；(只需写出结论)
(2)已知集合A={a1,a2,⋯,an}(0≤a1(i)求a1；
(ii)证明：n2an=a1+a2+⋯+an．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.C
5.C
6.B
7.D
8.D
9.AC
10.BD
11.BD
12.1,+∞
13.(4,+∞)
14.7
15.(1)
因fx=gx⋅ℎx=sinx−π6csx= 32sinx−12csxcsx
= 32sinxcsx−12cs2x= 32×12sin2x−12×1+cs2x2
= 34sin2x−14cs2x−14=12sin2x−π6−14
所以fx的最小正周期是T=2π2=π．
(2)
因为0≤x≤π2，则−π6≤2x−π6≤5π6，
可得−12≤sin2x−π6≤1，所以−12≤12sin2x−π6−14≤14，
当2x−π6=−π6，即x=0时，fx有最小值−12．

16.解：(1)f′(x)=3x2−3a=3(x2−a)，
当a≤0时，f′(x)≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值；
当a>0时，令f′(x)>0，解得x<− a或x> a，令f′(x)<0，解得− a∴函数f(x)在(−∞,− a),( a,+∞)上单调递增，在(− a, a)上单调递减，
∴函数f(x)在x=− a处取得极大值f(− a)=2a a，在x= a处取得极小值f( a)=−2a a；
(2)由(1)知，当a≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增，故f(x)max=f(2)=8−6a；
当0又f(0)=0，f(2)=8−6a，
∴当0当a≥4时，函数f(x)在[0,2]上单调递减，f(x)max=f(0)=0；
综上，当a≤43时，函数f(x)在[0,2]上的最大值为8−6a；当a>43时，函数f(x)在[0,2]上的最大值为0．
17.解：(1)f(x)= 3sin(2x+φ)+cs(2x+φ)=2sin(2x+π6+φ)的图象向左平移π3个单位，得到g(x)=2sin⁡[2(x+π3)+π6+φ]=2sin(2x+5π6+φ)的图象关于y轴对称，
所以5π6+φ=π2+kπ，k∈Z．
由于|φ|<π2，
故φ=−π3，
所以f(x)=2sin(2x−π6)；
(2)根据x∈[π6,512π]，
所以2x−π6∈[π6,2π3]，
当π6⩽2x−π6⩽π2，即π6⩽x⩽π3时，f(x)单调递增，
当π2<2x−π6⩽2π3，即π3且f(π6)=1，f(π3)=2，f(5π12)= 3，
由于函数f(x)=a在[π6,512π]上恰有两个实数根，
所以 3⩽a<2，
所以实数a的取值范围为 3,2．
18.(1)
f(x)=xlnx定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+1
f′(x)>0即lnx+1>0
解得x>1e
所以f(x)在(1e,+∞)单调递增
(2)
对任意x∈0,+∞，不等式fx≥12gx恒成立，即xlnx≥12−x2+ax−3恒成立，
分离参数得a≤2lnx+x+3x．
令ℎx=2lnx+x+3xx∈0,+∞，则ℎ′x=x+3x−1x2．
当x∈0,1时，ℎ′x<0，ℎx在0,1上单调递减；
当x∈1,+∞时，ℎ′x>0，ℎx在1,+∞上单调递增．
所以ℎxmin=ℎ1=4，
即a≤4，
故a的取值范围是−∞,4．

19.(1)
集合M具有性质P；
集合N不具有性质P，只需要找到一个反例即可，如4−1−64+1+8≠0．
(2)
(i)取i=j=n，由题知，存在k,t(1≤k≤n,1≤t≤n)，使得(an−an−ak)(an+an−at)=0成立，即−ak(2an−at)=0，
又2an>at，故必有ak=0．
又因为0≤a1(ii)由(i)得a1=0，当i≥2时，存在k,t(1≤k≤n,1≤t≤n)使得(an−ai−ak)(an+ai−at)=0成立，又因为an+ai−at=(an−at)+ai>0，故an−ai−ak=0，即an−ai=ak.所以an−ai∈A (i=1,2⋯,n)．
又0=a1an−a2>⋯>an−an−1>an−an，
故an−a1=an,an−a2=an−1,⋯,an−an−1=a2,an−an=a1，
相加得：
nan−(a1+a2+⋯+an)=(a1+a2+⋯+an)，即n2an=a1+a2+⋯+an．