2024-2025学年天津市津南区咸水沽一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市津南区咸水沽一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=( )
A. (−∞,2]B. [1,2]C. [−2,2]D. [−2,1]
2.已知α∈R，则“sinα= 32”是“α=2kπ+2π3，k∈Z”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,1)内是增函数的为( )
A. y=cs2x，x∈RB. y=x3+1，x∈R
C. y=ex−e−x2，x∈RD. y=ln|x|
4.函数f(x)=x22|ex−1|的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsB=bcsA，则△ABC形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，则( )
A. f(−3)C. f(20.8)7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象与x轴的两个相邻交点的横坐标分别为π6、2π3，下面四个有关函数f(x)的叙述中，正确结论的个数为( )
①函数y=f(x+π3)的图象关于原点对称；
②在区间[−π6,π3]上，函数f(x)的最大值为 3；
③直线x=56π是函数f(x)图象的一条对称轴；
④将函数f(x)的图象向左平移π4个单位，得到g(x)的图象，若A、B、C为这两个函数图象的交点，则△ABC面积的最小值为 2π．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知函数f(x)=sinωx+ 3csωx(ω>0)，若方程f(x)=1在[0,π]上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )
A. [52,236)B. [236,92)C. (52,236]D. (236,92]
9.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC.若AE⋅AF=2，CE⋅CF=−4，则λ+μ等于( )
A. 3B. 2C. 1D. −1
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是 ．
11.(x−2 x)6的展开式的常数项是______.(用数字作答)
12.函数y=2sin(π4−2x)在[0,π]的单调递减区间是______．
13.甲、乙、丙三人射击的命中率分别为12，13，23，现要求三人各射击一次，假设每人射击相互独立，则至少有一人命中的概率为______；记三人命中总次数为X，则E(X)= ______．
14.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E在边BC上，BC=3BE，设AB=a，AD=b，F在DE上，DF=2FE若AF=xa+yb，则x+y= ______，若G为线段DC上的动点，则AG⋅AE的最大值为______．
15.设f(x)=x2+1(x≥0)4xsinπx−1(x<0)，g(x)=mx−1(x∈R)，若函数y=f(x)−g(x)在x∈[−2,3]内有4个零点，则实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA=3csinB，a=3，csB=23．
(Ⅰ)求b的值；
(Ⅱ)求cs(2B−π3)的值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin2x+sinxcsx−12，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)当x∈[0,π2]时，求y=f(x)的最大值和最小值；
(3)若f(α)= 26，α∈(−π8,3π8)，求sin2α的值．
18.(本小题15分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=π3，AD=4，AM=2，E为AB的中点．

(1)求证：AN/​/平面MEC；
(2)求ME与平面MBC所成角的正弦值；
(3)在线段AM上是否存在点P，使平面PEC和平面DEC的夹角大小为π3？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
19.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn+1=Sn+n+13n⋅an(n∈N∗)，且a1=1．
(1)证明：数列{ann}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)若bn=1lg33n−lg3an,cn= bnbn+1 n+1+ n，求数列{cn}的前n项和Tn．
20.(本小题16分)
已知函数f(x)=lnx−ax+1，其中a∈R．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当a=1时，斜率为k的直线l与函数f(x)的图象交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中x1(3)是否存在k∈Z，使得f(x)+ax−2>k(1−2x)对任意x>1恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.A
5.A
6.C
7.B
8.B
9.C
10. 10
11.240
12.[0,3π8]和[7π8,π]
13.89 32
14.119 83
15.(2 2,113]
16.解：(Ⅰ)由bsinA=3csinB，得ab=3bc，
即a=3c，且a=3，
∴c=1．
由余弦定理可得：csB=23=a2+c2−b22ac．
∴23=9+1−b26，
解得b= 6．
(Ⅱ)∵csB=23．
∴sinB= 53，则sin2B=2sinBcsB=4 59，
cs2B=2cs2B−1=19，
∴cs(2B−π3)=cs2Bcsπ3+sin2Bsinπ3=4 15−118．
17.(1)f(x)=sin2x+sinxcsx−12=12sin2x+1−cs2x2−12=12sin2x−12cs2x= 22( 22sin2x− 22cs2x)= 22sin(2x−π4)，
所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
由π2+2kπ≤2x−π4≤3π2+2kπ,k∈Z，解得3π8+kπ≤x≤7π8+kπ,k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k∈Z；
(2)因为x∈[0,π2]，所以−π4≤2x−π4≤3π4，所以− 22≤sin(2x−π4)≤1，
所以−12≤ 22sin(2x−π4)≤ 22，
所以y=f(x)的最大值为 22，最小值为−12；
(3)由题意可得，−π8<α<3π8， 22sin(2α−π4)= 26，所以sin(2α−π4)=13，
因为2α−π4∈(−π2,π2)，所以cs(2α−π4)>0，
则cs(2α−π4)= 1−sin2(2α−π4)=2 23，
所以sin2α=sin(2α−π4+π4)=sin(2α−π4)csπ4+cs(2α−π4)sinπ4
=13× 22+2 23× 22= 2+46．
18.解：(1)证明：设CM与BN交于F，连接EF，
∵四边形BCNM是平行四边形，
∴F是BN的中点，又E是AB的中点，
∴AN/​/EF，又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，
∴AN/​/平面MEC；
(2)∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=π3，E是AB的中点，
∴DE⊥AB，又四边形ADNM是矩形，
且平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD=AD，
∴DN⊥平面ABCD，
故以D为坐标原点，DE，DC，DN所在直线为坐标轴，建系如图，
则D(0,0,0),E(2 3,0,0),C(0,4,0),M(2 3,−2,2),B(2 3,2,0),N(0,0,2)，
∴MB=(0,4,−2),BC=(−2 3,2,0)，ME=(0,2,−2)，
设平面MBC的法向量为m=(x,y,z)，
则MB⋅m=4y−2z=0BC⋅m=−2 3x+2y=0，取m=(1, 3,2 3)，
设ME与平面MBC所成的角为θ，
∴ME与平面MBC所成角的正弦值为：
sinθ=|cs〈ME,m〉|=|ME⋅m||ME|⋅|m|=|−2 3|2 2×4= 68；
(3)设P(2 3,−2,ℎ)(0≤ℎ≤2)，CE=(2 3,−4,0)，EP=(0,−2,ℎ)，
设平面PEC的一个法向量为n=(a,b,c)，
则CE⋅n=2 3x−4y=0EP⋅n=−2y+ℎz=0，取n=(2ℎ, 3ℎ,2 3)，
又平面DEC的一个法向量n1=(0,0,1)，
∴|cs〈n,n1〉|=|n⋅n1||n|⋅|n1|=2 3 7ℎ2+12=12，解得ℎ=6 77>2，
∴在线段AM上不存在点P，使平面PEC和平面DEC的夹角大小为π3．
19.解：(1)证明：由Sn+1=Sn+n+13n⋅an(n∈N∗)，且a1=1，
可得an+1=Sn+1−Sn=n+13n⋅an，
化为an+1n+1=13⋅ann，
即有数列{ann}是首项为1，公比为13的等比数列；
(2)由等比数列的通项公式，可得ann=(13)n−1，
即an=n⋅(13)n−1，
则Sn=1⋅1+2⋅13+3⋅19+...+n⋅(13)n−1，
13Sn=1⋅13+2⋅19+3⋅127+...+n⋅(13)n，
上面两式相减可得23Sn=1+13+19+...+(13)n−1−n⋅(13)n
=1−13n1−13−n⋅(13)n，
化简可得Sn=94−2n+34×3n−1；
(3)由bn=1lg33n−lg3n⋅31−n=1lg33n=1n，
可得cn= 1n(n+1)⋅1 n+ n+1= 1n(n+1)( n+1− n)=1 n+ n+1= 1n− 1n+1，
则Tn=1− 12+ 12− 13+...+ 1n− 1n+1=1− 1n+1=1− n+1n+1．
20.解：(1)∵f′(x)=1x−a，x>0，
∴当a<0时，f′(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上是增函数．
当a>0时，x∈(0,1a)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1a)上单调递增；
x∈(1a,+∞)时，f′(x)<0，故f(x)在(1a,+∞)上单调递减．
综上所述，当a<0时，f(x)的增区间为(0,+∞)；
当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1a)，f(x)的单调减区间为(1a,+∞)；
(2)当a=1时，f(x)=lnx−x+1，
∴k=y2−y1x2−x1=lnx2−x2−lnx1+x1x2−x1=lnx2−lnx1x2−x1−1，
∴k+1=lnx2−lnx1x2−x1．
要证x1<1k+1∵x2−x1>0，即证x2−x1x2令x2x1=t(t>1)，即证1−1t1)．
令k(t)=lnt−t+1(t>1)，
由(1)知，k(t)在(1,+∞)上单调递减，
∴k(t)令ℎ(t)=lnt+1t−1(t>1)，
则ℎ′(t)=1t−1t2=t−1t2>0，
∴ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增，
则ℎ(t)>ℎ(1)=0，即lnt>1−1t(t>1).②
综合①②得：1−1t1)，即x1<1k+1(3)由已知f(x)+ax−2>k(1−2x)，
即为x(lnx−1)>k(x−2)，x>1，
即x(lnx−1)−kx+2k>0，x>1．
令g(x)=x(lnx−1)−kx+2k，x>1，
则g′(x)=lnx−k，
当k≤0时，g′(x)>0，故g(x)在(1,+∞)上单调递增，
由g(1)=−1−k+2k=k−1>0，则k>1，矛盾．
当k>0时，由lnx−k>0，解得x>ek，由lnx−k<0，解得1故g(x)在(1,ek)上单调递减，在(ek,+∞)上单调递增，
∴g(x)min=g(ek)=2k−ek．
即讨论g(x)min=2k−ek>0(k>0)恒成立，求k的最小值．
令m(t)=2t−et，则m′(x)=2−et，
当2−et>0，即t当2−et<0，即t>ln2时，m(t)单调递减，
∴t=ln2时，mtmax=mln2=2ln2−2=ln4e2<0，
又∵m1=2−e<0，
∴不存在整数k，使得2k−ek>0，
综上所述，不存在满足题意的整数k．