2024-2025学年北京市西城区铁路二中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

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这是一份2024-2025学年北京市西城区铁路二中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={y|y=2x,x∈R}，B={x|x2−1<0}，则A∪B=( )
A. {x|−1−1}D. {x|x>0}
2.函数f(x)= x−1x−4的定义域为( )
A. (1,4)B. [1,4)
C. (−∞,1)∪(4,+∞)D. (−∞,1]∪(4，+∞)
3.已知角α的终边经过点(−1,2)，则tan2α的值为( )
A. 45B. −45C. −43D. 43
4.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A. y=x2+sinxB. y=x2−csxC. y=2x+12xD. y=x+sin2x
5.已知sin(π2+α)=35，α∈(3π2,2π)，则sin(π+α)=( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
6.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A. −24B. −3C. 3D. 8
7.已知函数f(x)=lnx+ax，则“a<0”是“函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A. −3≤a<0B. −3≤a≤−2C. a≤−2D. a<0
9.已知正实数a，b满足不等式ab+1A. B. C. D.
10.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|，有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间(π2,π)单调递增
③f(x)在[−π,π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.设i是虚数单位，复数a+i2−i是纯虚数，则实数a= ______．
12.已知α∈(π2,π)，sinα=45，则cs(α+π3)= ______．
13.已知(x−ax)7展开式中x5的系数为21，则实数a的值为______．
14.数列{an}的前n项和记为Sn，若Sn=n2+3n2，n∈N+，则数列{an}的通项公式为an= ______，若{bn}：bn=1anan+1，则数列{bn}的前n项和为______．
15.一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，有以下四个说法：
①在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；
②在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6km；
③大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；
④在图2的四条曲线(注：s为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹．
其中，所有正确说法的序号是______．
16.已知函数f(x)=|2x−a|−kx−3，给出下列四个结论：
①若a=1，则函数f(x)至少有一个零点；
②存在实数a，k，使得函数f(x)无零点；
③若a>0，则不存在实数k，使得函数f(x)有三个零点；
④对任意实数a，总存在实数k使得函数f(x)有两个零点．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
在△ABC中，∠A=60°，c=37a.
(1)求sinC的值；
(2)若a=7，求△ABC的面积．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=cs2ωx+ 3sinωxcsωx+m(ω>0,m∈R).再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)的解析式的两个作为已知．
(Ⅰ)求f(x)的解析式及最小值；
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[0,t](t>0)上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数f(x)的最小正周期为π；
条件②：函数f(x)的图象经过点(0,12)；
条件③：函数f(x)的最大值为32．
19.(本小题14分)
为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
(Ⅰ)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
(Ⅱ)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E(X)；
(Ⅲ)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(020.(本小题15分)
已知函数f(x)=12ax2+lnx，其中a∈R．
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)在(0,1]上的最大值是−1，求a的值．
21.(本小题15分)
已知函数f(x)=xlnx−x2+1．
(Ⅰ)求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)判断f(x)的零点个数，并说明理由；
(Ⅲ)证明：函数y=f(x)−xex+x2的图象在直线y=−2x+1的下方．
22.(本小题15分)
设λ为正实数，若各项均为正数的数列{an}满足：∀n∈N∗，都有an+1≥an+λ.则称数列{an}为
P(λ)数列．
(Ⅰ)判断以下两个数列是否为P(2)数列：
数列A：3，5，8，13，21；
数列B：lg25，π，5，10．
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1>0且bn+1=bn+ n+3− n+1，是否存在正实数λ，使得数列{bn}是P(λ)数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
(Ⅲ)若各项均为整数的数列{an}是P(1)数列，且{an}的前m(m≥2)项和a1+a2+a3+⋯+am为150，求am+m的最小值及取得最小值时am的所有可能取值．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.A
5.C
6.A
7.C
8.B
9.B
10.C
11.12
12.−3+4 310
13.−3
14.n+1，n∈N+ n2n+4
15.①④
16.①②④
17.解：(1)∠A=60°，c=37a，
由正弦定理可得sinC=37sinA=37× 32=3 314；
(2)a=7，则c=3，
∴C∵sin2C+cs2C=1，又由(1)可得csC=1314，
∴sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC
= 32×1314+12×3 314=4 37，
∴S△ABC=12acsinB=12×7×3×4 37=6 3．
18.解：(Ⅰ)由题可知，
f(x)=cs2ωx+ 3sinωxcsωx+m
= 32sin2ωx+12cs2ωx+m+12
=sin(2ωx+π6)+m+12，
选择①②：
因为T=2π2ω=π，所以ω=1，
又因为f(0)=1+m=12，所以m=−12，
所以f(x)=sin(2x+π6)，
当2x+π6=2kπ−π2,k∈Z，
即x=kπ−π3,k∈Z时，f(x)=−1，
所以函数f(x)的最小值为−1；
选择①③：
因为T=2π2ω=π，所以ω=1，
又因为函数f(x)的最大值为m+32=32，
所以m=0，
所以f(x)=sin(2x+π6)+12，
当2x+π6=2kπ−π2,k∈Z，即x=kπ−π3,k∈Z时，
sin(2x+π6)=−1，
所以函数f(x)的最小值为−1+12=−12；
选择②③：
因为f(0)=1+m=12，所以m=−12，
因为函数f(x)的最大值为m+32=32，所以m=0，
∵m的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去；
(Ⅱ)选择①②：
令sin(2x+π6)=0，
则2x+π6=kπ,k∈Z，
所以x=kπ2−π12,k∈Z，
当k=1，2时，函数f(x)的零点为5π12,11π12，
由于函数f(x)在区间[0,t]上有且仅有1个零点，
所以5π12≤t<11π12，
所以t的取值范围是[5π12,11π12)；
选择①③：
令sin(2x+π6)+12=0，
则2x+π6=2kπ+76π,k∈Z，或2x+π6=2kπ+116π,k∈Z，
所以x=kπ+π2,k∈Z，或x=kπ+56π,k∈Z，
当k=0时，函数f(x)的零点分别为π2,5π6，
由于函数f(x)在区间[0,t]上有且仅有1个零点，
所以π2≤t<5π6，
所以t的取值范围是[π2,5π6)．
19.j解：(I)由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为2500×5601000=1400．
(II)由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为2001000=15．
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
所以P(X=0)=C30(15)0(1−15)3=64125，
P(X=1)=C31(15)(1−15)2=48125，
P(X=2)=C32(15)2(1−15)=12125，
P(X=3)=C33(15)3(1−15)0=1125，
所以X的分布列为：
E(x)=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35．
(III)易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以a=42．
20.解：(1)由题意可得函数f(x)=12ax2+lnx的定义域为(0,+∞)，
由求导公式可得：f′(x)=ax+1x=ax2+1x，(0,+∞)，
当a≥0时，f′(x)=ax2+1x>0，f(x)在(0,+∞)单调递增；
当a<0时，令ax2+1x>0，可解得x< −1a，即f(x)在(0, −1a)单调递增，
同理由ax2+1x<0，可解得x> −1a，即f(x)在( −1a,+∞)单调递减．
(2)由(1)可知：若a≥0时，f(x)在(0,1]单调递增，
故函数在x=1处取到最大值f(1)=12a=−1，解得a=−2，与a≥0矛盾应舍去；
若0< −1a≤1，即a≤−1，函数f(x)在(0, −1a)单调递增，在( −1a,+∞)单调递减．
函数在x= −1a处取到最大值f( −1a)=−12+ln( −1a )=−1，解得a=−e
故若 −1a>1，即−1故函数在x=1处取到最大值f(1)=12a=−1，解得a=−2，应舍去．
综上可得所求a的值为：−e
21.解：(Ⅰ)由f(x)=xlnx−x2+1，得f′(x)=lnx+1−2x，
所以f′(1)=ln1+1−2=−1，又f(1)=ln1−12+1=0，
所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−0=−1(x−1)，即x+y−1=0；
(Ⅱ)f′(x)=lnx+1−2x，令ℎ(x)=lnx+1−2x，所以ℎ′(x)=1x−2，
当00，函数ℎ(x)在(0,12)上单调递增，
当x>12时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)在(12,+∞)上单调递减，
所以ℎ(x)≤ℎ(12)=ln12+1−2×12=ln12<0，
即f′(x)=lnx+1−2x<0对(0,+∞)恒成立，所以f(x)在(0,+∞)单调递减，
又f(1)=ln1−12+1=0，
所以f(x)的零点个数为1个；
(Ⅲ)证明：要证函数y=f(x)−xex+x2的图象在直线y=−2x+1的下方，
即证f(x)−xex+x2<−2x+1，即证xlnx−x2+1−xex+x2<−2x+1，即证xlnx−xex+2x<0，
又x>0，所以即证lnx−ex+2<0，即证lnx令g(x)=lnx−x+1，求导得g′(x)=1x−1，
当00，函数g(x)在(0,1)上单调递增，
当x>1时，g′(x)<0，函数g(x)在(1,+∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(1)=ln1−1+1=0，所以lnx≤x−1，
要证lnx令φ(x)=ex−2−(x−1)=ex−x−1，求导可得φ′(x)=ex−1，
当x>0时，φ′(x)>0，所以函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以φ(x)>φ(0)=0，即ex−x−1>0，
所以x−1所以函数y=f(x)−xex+x2的图象在直线y=−2x+1的下方．
22.解：(Ⅰ)根据定义，P(2)数列应满足∀n∈N∗，an+1≥an+2，
即an+1−an≥2恒成立，
对于数列A：有5−3=2≥2，8−5=3≥2，13−8=5≥2，21−13=8≥2，
均满足，∴数列A是P(2)数列；
对于数列B：∵5−π<2，不满足，∴数列B不是P(2)数列；
(Ⅱ)不存在正实数λ，使得数列{bn}是P(λ)数列．
理由如下：
假设存在正实数λ，使得数列{bn}是P(λ)数列，
则∀n∈N∗，都有bn+1≥bn+λ，∴bn+1−bn≥λ恒成立，
∵bn+1=bn+ n+3− n+1，
∴bn+1−bn= n+3− n+1=2 n+3+ n+1<1 n，
当n>1λ2时，bn+1−bn<1 n<λ，这与假设矛盾，
∴不存在正实数λ，使得数列{bn}是P(λ)数列；
(Ⅲ)∵数列{an}是P(1)数列，∴an+1≥an+1，
∴am≥am−1+1≥am−2+2≥···≥a1+m−1≥m，
∴am−1≤am−1，am−2≤am−1−1，am−3≤am−2−1≤am−3，···，a2≤a3−1≤am−(m−2)，
a1≤a2−1≤am−(m−1)，
∴a1+a2+a3+···+am≤mam−[1+2+3+···+(m−1)]=mam−m(m−1)2，
∴150≤mam−m(m−1)2，∴am≥150m+m2−12，
∴am+m≥150m+3m2−12⩾2 150m×3m2−12=30−12=592，
∵数列{an}是正整数数列，∴am+m的最小值不小于30，
假设am+m=30，必有150m+3m2−12≤30，解得253≤m≤12，
∵m∈N∗，∴m可取9，10，11，12，
当m=9时，am=21，存在满足条件的数列，
a1=10，a2=14，a3=15，a4=16，a5=17，a6=18，a7=19，a8=20，a9=21，
当m=10时，am=20，存在满足条件的数列，
a1=6，a2=12，a3=13，a4=14，a5=15，a6=16，a7=17，a8=18，a9=19，a10=20，
当m=11时，am=19，存在满足条件的数列，
a1=5，a2=10，a3=11，a4=12，a5=13，a6=14，a7=15，a8=16，a9=17，a10=18，a11=19，
当m=12时，am=18，存在满足条件的数列，
a1=7，a2=8，a3=9，a4=10，a5=11，a6=12，a7=13，a8=14，a9=15，a10=16，a11=17，a12=18，
以上都是am+an=30的充分条件，
∴am+m的最小值为30，
此时am的所有可能取值为18，19，20，21．毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125