2024-2025学年天津市河西区新华中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市河西区新华中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={x|x∈N，且x≤5}，A={2,4}，B={2,3}，则∁U(A∪B)=( )
A. {1,5}B. {2}C. {0,1,5}D. {3,4}
2.已知p：a≥0；q：∀x∈R，x2−ax+a>0，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知a=20.5，b=lg0.52，c=0.52，则三者的大小关系是( )
A. b>c>aB. a>c>bC. a>b>cD. c>b>a
4.已知向量a=(1,2)，b=(2,−1)，若向量c满足(c+a)//b，(a−b)⊥c，则c=( )
A. (1,3)B. (−1,3)C. (−1,−3)D. (−3,−1)
5.已知数列an是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16，则lg2a9=( )
A. 15B. 16C. 17D. 18
6.函数f(x)=ln|x|⋅csxx+sinx在[−π,0)∩(0,π]的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.若tan(α+π4)=3，则sin2α+cs2α=( )
A. 1B. 65C. 75D. 85
8.已知函数f(x)= 3sinx+csx(x∈R)，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度，得到y=g(x)的图象，则以下关于函数y=g(x)的结论正确的是( )
A. 若x1，x2是g(x)的零点，则x1−x2是2π的整数倍
B. 函数g(x)在区间[−π4,π4]上单调递增
C. 点(3π4,0)是函数g(x)图象的对称中心
D. x=π3是函数g(x)图象的对称轴
9.在平面四边形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，∠ADB=30°，|BD|=10，|CD|=6，则AC⋅BD=( )
A. 35B. 39C. 43D. 60
10.已知函数f(x)=ex+x−xa−alnx在区间(1,e2)上恰有2个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (e,e22)B. (0,e22)C. (1,e22)D. (0,e)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.计算：1−i2+i= ______．
12.已知向量a=(1,2),b=(−2,0)，则a在b上的投影向量的坐标为______．
13.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为______．
14.已知偶函数f(x)=sin(ωx+φ)− 3cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在[0,1]上恰有2个最大值，则实数ω的取值范围为______．
15.如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，D，E分别是边AB，AC上的点，AE=1，且AD⋅AE=12，则|AD|= ，若P是线段DE上的一个动点，则BP⋅CP的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知实数x，y满足x>0，y>0，且x+y3+1x+3y=5，则3x+y的最小值为 ．
17.已知数列{an}满足：a1=4，且an=Sn−1+2n+1，其中Sn为an的前n项和．
(1)令bn=Sn2n，求证：{bn}为等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a= 6，b=2c，csA=14．
(1)求c的值；
(2)求sinB的值：
(3)求sin(2A−B)的值．
19.已知向量a=(2sinx,csx),b=(cs(x−π6), 3sinx)，函数f(x)=a⋅b−cs2x+1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知f(θ)=2，其中θ∈(0,π)，求θ的值；
(3)求f(x)在(0,π2)上的值域．
20.已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+1．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若不等式f(x)≤a(x+1)+sinx恒成立，求整数a的最小值；
(3)证明：当x≥0时，有f(x)≤(x+1)2ex．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.D
5.C
6.D
7.C
8.D
9.B
10.A
11.15−35i
12.(1,0)
13.211
14.[2π,6π]
15.1；−116
16.3
17.解：(1)证明：由a1=4，且an=Sn−1+2n+1，n≥2，又an=Sn−Sn−1，
可得Sn=2Sn−1+2n+1，
则Sn2n=Sn−12n−1+2，
由bn=Sn2n，可得bn=bn−1+2，且b1=S12=2，
则{bn}是首项和公差均为2的等差数列；
(2)由等差数列的通项公式，可得bn=2+2(n−1)=2n，
即有Sn=n⋅2n+1，
当n=1时，a1=S1=4，
当n≥2时，an=Sn−1+2n+1=(n−1)⋅2n+2n+1=(n+1)⋅2n，对n=1也成立，
则{an}的通项公式为an=(n+1)⋅2n，n∈N∗．
18.解：(1)因为a= 6，b=2c，csA=14，
由余弦定理得，csA=b2+c2−a22bc=4c2+c2−64c2=14，解得c= 62．
(2)因为csA=14，A∈(0,π2)，
所以sinA= 1−cs2A= 154，
由正弦定理得，asinA=csinC，即 6 154= 62sinC，
所以sinC= 158，
由b=2c，得sinB=2sinC=2× 158= 154．
(3)由(1)知c= 62，
所以b=2c= 6=a，
所以A=B，
所以sin(2A−B)=sinA= 154．
19.解：(1)由题意，f(x)=a⋅b−cs2x+1
=2sinxcs(x−π6)+ 3sinxcsx−cs2x+1
=2sinx( 32csx+12sinx)+ 32sin2x−cs2x+1
= 32sin2x+sinx2+ 32sin2x−cs2x+1
= 3sin2x−cs2x+1
=2sin(2x−π6)+1；
(2)由f(θ)=2sin(2θ−π6)+1=2，可得sin(2θ−π6)=12，
则2θ−π6=π2±π3+2kπ(k∈Z)，即θ=π3±π6+kπ(k∈Z)，
又θ∈(0,π)，故k=0，
即θ=π6或θ=π2；
(3)当x∈(0,π2)时，2x−π6∈(−π6,5π6)，
则sin(2x−π6)∈(−12,1]，故f(x)∈(0,3]，
即f(x)在(0,π2)上的值域为(0,3]．
20.解：(1)f′(x)=2x+1+csx，则f′(0)=20+1+cs0=3，
又f(0)=2ln(0+1)+sin0+1=1，
故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−1=3(x−0)，即y=3x+1；
(2)若不等式f(x)≤a(x+1)+sinx恒成立，即2ln(x+1)+1≤a(x+1)恒成立，
即a≥2ln(x+1)+1x+1在(−1,+∞)上恒成立，即a≥2lnx+1x在(0,+∞)上恒成立，
令g(x)=2lnx+1x，则g′(x)=2x⋅x−(2lnx+1)x2=1−2lnxx2，
当x∈(0,e12)时，g′(x)>0，当x∈(e12,+∞)时，g′(x)<0，
即f(x)在(0,e212)上单调递增，在(e12,+∞)上单调递减，
即g(x)≤g(e12)=2lne12+1e12=2e−12，故a≥2e−12，
又12故整数a的最小值为2；
(3)证明：令ℎ(x)=x−sinx(x≥0)，则ℎ′(x)=1−csx≥0，
故ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，故ℎ(x)=x−sinx≥0−sin0=0，
即当x≥0时，x≥sinx，
由(x+1)2ex>0，则ln[(x+1)2ex]=2ln(x+1)+x≥2ln(x+1)+sinx，
令t=2ln(x+1)+sinx(x≥0)，则f(x)=2ln(x+1)+sinx+1=t+1>0，
故当x≥0时，要证f(x)≤(x+1)2ex，只需证f(x)≤(x+1)2esinx，
即只需证ln[f(x)]≤ln[(x+1)2esinx]，即只需证ln[2ln(x+1)+sinx+1]≤2ln(x+1)+sinx，
即只需证ln(t+1)≤t，
令m(t)=ln(t+1)−t(t>−1)，m′(t)=1t+1−1=−tt+1，
则当t∈(−1,0)时，m′(t)>0，当t∈(0,+∞)时，m′(t)<0，
故m(t)在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，
则m(t)=ln(t+1)−t≤m(0)=ln1−0=0，故ln(t+1)≤t，即得证．