2024-2025学年江苏省徐州市夹河中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省徐州市夹河中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x<2}，B={−2,−1,0,1,2,3}，则(∁RA)∩B=( )
A. {−2,−1,0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {1,2,3}D. {2,3}
2.已知命题：p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )
A. p和q都是真命题B. ¬p和q都是真命题
C. p和¬q都是真命题D. ¬p和¬q都是真命题
3.sin(−1020∘)=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
4.在△ABC中，csC=23，AC=4，BC=3，则tanB=( )
A. 5B. 2 5C. 4 5D. 8 5
5.若2a=5b=10，则1a+1b=( )
A. −1B. lg7C. 1D. lg710
6.已知函数f(x)=sinx+1sinx，则( )
A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图象关于y轴对称
C. f(x)的图象关于直线x=π对称D. f(x)的图象关于直线x=π2对称
7.已知sinθ+sin(θ+π3)=1，则sin(θ+π6)= ( )
A. 12B. 33C. 23D. 22
8.已知函数f(x)=e−(x−1)2．记a=f( 22)，b=f( 32)，c=f( 62)，则( )
A. b>c>aB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点2π3,0中心对称，则( )
A. f(x)在区间0,5π12单调递减
B. f(x)在区间−π12,11π12有两个极值点
C. 直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴
D. 直线y= 32−x是曲线y=f(x)的切线
10.已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，A=2B，则( )
A. a2=b(b+c)B. bc+a2b2的最小值为3
C. 若△ABC为锐角三角形，则cb∈(1,2)D. 若a=2 6,b=3，则c=3
11.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x+1)是奇函数，且f(1−x)+g(x)=2，f(x)+g(x−3)=2，则( )
A. f(x)为奇函数B. g(0)=2C. k=120f(k)=0D. k=120g(k)=80
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是 ．
13.若P(csθ,sinθ)与Q(cs(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值______．
14.曲线y=x3−3x与y=−x−12+a在0,+∞上有两个不同的交点，则a的取值范围为 .(用区间表示)
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，sin2C= 3sinC．
(Ⅰ)求∠C；
(Ⅱ)若b=6，且△ABC的面积为6 3，求△ABC的周长．
16.(本小题12分)
已知α，β为锐角，tanα=43，cs(α+β)=− 55．
(1)求cs2α的值；
(2)求tan(α−β)的值．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=3−2xx2+a．
(1)若a=0，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x=−1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，c=2bcsB，C=2π3．
(1)求∠B；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．
条件①：c= 2b；
条件②：△ABC的周长为4+2 3；
条件③：△ABC的面积为3 34．
19.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=an−4an+1，a1=−1．
(1)证明：数列{2an+1−an}为等比数列;
(2)设bn=an+4n(n+1)，求数列{bn}的前n项和;
(3)是否存在正整数p，q(p<6参考答案
1.D
2.B
3.C
4.C
5.C
6.D
7.B
8.A
9.AD
10.ABC
11.BC
12.−4
13.5π12(答案不唯一)
14.−2,1
15.解：(Ⅰ)∵sin2C= 3sinC，
∴2sinCcsC= 3sinC，
又sinC≠0，∴2csC= 3，
∴csC= 32，∵0∴C=π6；
(Ⅱ)∵△ABC的面积为6 3，
∴12absinC=6 3，
又b=6，C=π6，
∴12×a×6×12=6 3，
∴a=4 3，
又csC=a2+b2−c22ab，
∴ 32=(4 3)2+62−c22×4 3×6，
∴c=2 3，
∴a+b+c=6+6 3，
∴△ABC的周长为6+6 3．
16.解：(1)因为tan α=43，tan α=sin αcs α，
所以sin α=43cs α．
因为sin2α+cs2α=1，
所以cs2α=925，
因此，cs 2α=2cs2α−1=−725．
(2)因为α，β为锐角，
所以α+β∈(0,π)．
又因为cs (α+β)=− 55，
所以sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=2 55．
因此tan(α+β)=−2．
因为tanα=43，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=−247．
因此，tan(α−β)=tan[2α−(α+β)]
=tan2α−tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=−211．
17.解：(1)当a=0时，f(x)=3−2xx2，
f′(x)=−2x2−2x(3−2x)x4=2x−6x3，
因此f(1)=1，f′(1)=−4，
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−1=−4(x−1)，
即为y=−4x+5；
(2)因为f(x)=3−2xx2+a的导数为f′(x)=−2(x2+a)−2x(3−2x)(x2+a)2，
而函数f(x)在x=−1处取得极值，
所以f′(−1)=0，即8−2a(a+1)2=0，解得a=4，
因此f(x)=3−2xx2+4，f′(x)=2(x+1)(x−4)(x2+4)2．
由f′(x)>0得x>4或x<−1；由f′(x)<0得−1因此函数f(x)在−∞,−1和4,+∞上单调递增，在−1,4上单调递减，
所以函数f(x)在x=−1处取得极大值1，在x=4处取得极小值−14．
又因为当x<32时，f(x)>0；当x<32时，f(x)<0，
作函数y=f(x)的图象如下图，
由图可知：函数f(x)在x=−1处取得最大值1；在x=4处取得最小值−14．
所以函数f(x)的单调递增区间为−∞,−1和4,+∞，单调递减区间为−1,4；
f(x)的最大值为1，最小值为−14．
18.解：(1)在△ABC中，由bsinB=csinC及c=2bcsB得sinC=2sinBcsB=sin2B，
所以C=2B或C+2B=π，
又C=2π3，
若C=2B，则B=π3，此时B+C=π，故舍去，
所以B=π6．
(2)选①，由正弦定理结合(1)可知，cb=sinCsinB= 3212= 3，
即c= 3b，与c= 2b矛盾，故这样的△ABC不存在；
选②，由B=π6,C=2π3可得A=π−π6−2π3=π6，
可设AC=BC=2x，
易得(4+2 3)x=4+2 3，
解得x=1，
则BC=AC=2,AB=2 3，
设BC中点为D，
在△ABD中，csB=AB2+BD2−AD22⋅AB⋅BD=12+1−AD24 3= 32，
解得AD= 7；
选③，由(1)可得A=π6，
故a=b，
则S△ABC=12absinC=12a2× 32=3 34，
解得a= 3，
则由余弦定理可得BC边上的中线AD的长度为： b2+(a2)2−2b×a2×cs2π3= 3+34+ 3× 32= 212．
19.解：(1)证明：∵Sn=an−4an+1①，
∴Sn+1=an+1−4an+2②，
②−①得，an+1=an+1−4an+2−an+4an+1，
∴4an+2=4an+1−an，
⇒4an+2−2an+1=2an+1−an，
∴2an+2−an+1=12(2an+1−an)
而在①中令n=1，则a1=a1−4a2，
∴a2=0，∴2a2−a1=1≠0，
∴{2an+1−an}是首项为1，公比为12的等比数列．
(2)由(1)知2an+1−an=(12)n−1，
∴2n+1an+1−2nan=2，
则21a1=2×−1=−2，
∴{2nan}是首项为−2，公差为2的等差数列，
∴2nan=−2+2(n−1)=2n−4，
∴an=n−22n−1，
∴bn=n+2n(n+1)⋅2n+3=2(n+1)−nn(n+1)⋅2n+3
=1n⋅2n+2−1(n+1)⋅2n+3，
∴{bn}的前n项和为
11⋅23−12⋅24+12⋅24−13⋅25+⋯+1n⋅2n+2−1(n+1)⋅2n+3
=18−1(n+1)⋅2n+3．
(3)Sn=an−4an+1=n−22n−1−4⋅n−12n
=−2n2n=−n2n−1，
若存在这样的正整数p，q使2S6=Sp+Sq成等差数列，
即−p2p−1+−q2q−1=2⋅−625
⇒p2p−1+q2q−1=38(∗)，
当p=1，2，3，4时，p2p−1>38，
p2p−1+q2q−1>38，
当p=5时，p2p−1=516，q2q−1=116，
当n≥6时，，cn+1−cn=n+12n−n2n−1=1−n2n<0，{cn}(n≥6)单调递减，
当q2q−1=38−516=116时，q=8．
综上：存在p=5，q=8符合题意．