2024-2025学年山西省大同一中高三（上）第二次月考数学试卷（9月份）（含答案）

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这是一份2024-2025学年山西省大同一中高三（上）第二次月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|−1A. (−1,2]B. (−1,2)
C. (−∞,4)∪[5，+∞)D. (−∞,−1)∪[5，+∞)
2.命题P：∀x∈N∗，(12)x≤12的否定为( )
A. ∀x∈N∗，(12)x>12B. ∀x∉N∗，(12)x>12
C. ∃x0∈N∗，(12)x0>12D. ∃x0∉N∗，(12)x>12
3.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若2(a3+a5+a7)+3(a8+a12)=66，则S14=( )
A. 56B. 66C. 77D. 78
4.函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x)+f(6−x)=0，当x∈(0,3)时，有f(x)=lnx，则f(2024)=( )
A. 0B. 1C. ln2D. ln4
5.若函数fx=x(x+a)2在x=1处有极大值，则实数a的值为( )
A. 1B. −1或−3C. −1D. −3
6.在△ABC中，a=x，b=1，B=45°，若满足条件的△ABC有两个，则x的取值范围是( )
A. (0,1]∪{ 2}B. (1, 2)C. (0,1)∪{ 2}D. (0, 2)
7.设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是( )
A. f(x−1)−1B. f(x−1)+1C. f(x+1)−1D. f(x+1)+1
8.设函数f(x)=−x2+ax+2,x≤1aex−lnx,x>1，若f(x)在R上单调递增，则a的最小值为( )
A. 1B. 2C. 1eD. 1e−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数f(x)=ax3+3x2−x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是( )
A. −3B. −1C. 0D. 2
10.f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，有xf′(x)+2f(x)>0恒成立，则( )
A. f(1)>4f(2)B. f(−1)>4f(−2)
C. 4f(2)>9f(3)D. 4f(−2)>9f(−3)
11.已知函数f(x)=2x3−3x2，则( )
A. 1是f(x)的极小值点
B. f(x)的图象关于点(12,−12)对称
C. g(x)=f(x)+1有3个零点
D. 当0f(x−1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列{an}中，a3=2，a7=8，则a5= ．
13.函数y=a1−x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny−1=0(mn>0)上，则1m+1n的最小值为______．
14.已知3cs(2a+β)+5csβ=0，则tan(a+β)tanα的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)(0<ω<3)，直线x=π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈[0,5π12]，求函数f(x)的值域．
16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间[−34,14]的最大值和最小值．
17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c已知：2ccsB−bcsA−acsB=0．
(1)求B；
(2)若△ABC外接圆的周长为4 33π，求△ABC周长的取值范围．
18.已知函数y=f(x)=eax+1，x∈R．
(1)若a=12，求函数y=f(x)在(−2,f(−2))处的切线方程；
(2)若关于x的不等式f(x)>2x+e对所有x∈(0,+∞)成立，求a的取值范围
19.已知函数fx=1+lnxax，其中e为自然对数的底数．
(1)当a=1时，求fx的单调区间；
(2)若方程fx=1有两个不同的根x1,x2．
(i)求a的取值范围；
(ii)证明：x12+x22>2．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.C
5.D
6.B
7.B
8.B
9.BD
10.BD
11.AB
12.4
13.4
14.−4
15.解：(1)根据题意可得ω⋅π3−π6=π2+kπ，k∈Z，
所以ω=2+3k，k∈Z，
又0<ω<3，
所以ω=2，
所以函数f(x)的最小正周期为2πω=2π2=π，
因为f(x)=2sin(2x−π6)，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
所以−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z．
(2)因为x∈[0,5π12]，
所以2x∈[0,5π6]，
所以2x−π6∈[−π6,2π3]，
所以sin(2x−π6)∈[−12,1]，
所以2sin(2x−π6)∈[−1,2]，
所以函数f(x)的值域为[−1,2]．
16.解：f(x)的定义域为(−32,+∞)
(1)f′(x)=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3
当−320；
当−1当x>−12时，f′(x)>0
从而，f(x)在区间(−32,−1)，(−12,+∞)上单调递增，在区间(−1,−12)上单调递减
(2)由(1)知f(x)在区间[−34,14]的最小值为f(−12)=ln2+14
又f(−34)−f(14)=ln32+916−ln72−116
=ln37+12=12(1−ln499)<0
所以f(x)在区间[−34,14]的最大值为f(14)=116+ln72．
17.解：(1)因为2ccsB−bcsA−acsB=0，
由正弦定理得：
2sinCcsB=sinBcsA+csBsinA=sin(A+B)=sinC，
因为sinC≠0，所以csB=12，
因为B∈(0,π)，所以B=π3．
(2)因为△ABC外接圆的周长为4 33π，
所以△ABC外接圆的直径为4 33．
由正弦定理得：
bsin B=4 33，则b=4 33× 32=2，
由余弦定理得：
4=a2+c2−2accs B=(a+c)2−3ac，
所以(a+c)2−4=3ac⩽3×(a+c2)2，
所以14(a+c)2⩽4，即a+c⩽4，
当且仅当a=c时，等号成立．
又因为a+c>b=2，
所以2则：4故△ABC周长的取值范围为4,6．

18.解：(1)当a=12时，f(x)=e12x+1，
f′(x)=12e12x+1，
由导数的几何意义可得切线斜率k=f′(−2)=12e12×(−2)+1=12，
则切线方程是y−e−22+1=12(x+2)，即y=12x+2．
(2)令g(x)=eax+1−2x−e，则g′(x)=aeax+1−2，
①若a≤0，则g′(x)<0在x∈(0,+∞)时恒成立，函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，
则对所有x>0，g(x)②若a>0，则g′(x)=a(eax+1−2a)，由g′(x)<0，得x<1a(ln2a−1)；
由g′(x)>0，得x>1a(ln2a−1)，
因此函数g(x)在(−∞,1a(ln2a−1))上单调递减，在(1a(ln2a−1),+∞)上单调递增，
(ⅰ)若00，
函数g(x)在(0,1a(ln2a−1))上单调递减，
当x∈(0,1a(ln2a−1))时，g(x)(ⅱ)若a≥2e，则ln2a≤1，即1a(ln2a−1)≤0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，
则对所有x>0，g(x)>g(0)=0，符合题意，
∴a的取值范围是[2e,+∞)．
19.解：(1)由题意得fx=1+lnxx，x∈(0,+∞)，则f′x=−lnxx2，
由f′x=0，解得x=1，
当00,fx单调递增，当x>1时，f′x<0,fx单调递减，
所以fx在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+∞)内单调递减；
(2)(i)由1+lnxax=1，得1+lnxx=a，设gx=1+lnxx，
由(1)得gx在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+∞)内单调递减，
又g1e=0,g1=1，当x>1时，g(x)>0，且当x→+∞时，gx→0，
所以当0故a的取值范围是(0,1)；
(ii)证明：不妨设x1法一：当x2∈2,+∞时，结合(i)知x12+x22>x22≥4>2，即x12+x22>2；
当x2∈1,2时，2−x2∈0,1，
设px=gx−g2−x=lnxx+1x−ln2−x2−x−12−x,0则p′x=−lnxx2−ln2−x2−x2>−lnxx2−ln2−xx2=−ln−x−12+1x2>0,
所以px在区间(0,1)内单调递增，
则px所以g2−x1>gx1=gx2,
又x1∈0,1,2−x1>1,x2>1,gx在区间(1,+∞)内单调递减，
所以2−x12，
又x1≠x2，所以x12+x22>2x1x2，
故2x12+2x22>x12+x22+2x1x2=x1+x22>4，所以x12+x22>2，得证；
法二：设ℎx=gx−g1x=1+lnxx−x1−lnx，x∈(0,+∞)，
则ℎ′x=−lnxx2+lnx=lnx⋅x2−1x2≥0，
所以ℎ(x)在区间(0,+∞)内单调递增，又ℎ(1)=0，
所以ℎx1=gx1−g1x1<0，即gx1又gx2=gx1，所以gx2又x2>1,1x1>1,gx在区间(1,+∞)内单调递减，
所以x2>1x1，即x1x2>1，
又x1≠x2，所以x12+x22>2x1x2>2，得证．