2024-2025学年甘肃省白银八中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年甘肃省白银八中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|1A. a|a<1B. a|a⩽1C. a|a>2D. a|a⩾2
2.已知函数f(x)=lg2(x2−ax)，a∈R，则“a≤2”是“函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.记A，B为随机事件，已知P(B)=12，P(B−|A)=13，P(B−|A−)=23，则P(A+B)=( )
A. 13B. 12C. 712D. 23
4.已知函数f(x)=x+ln x+cs x，若f(x2−4)⩽f(3x)，则实数x的取值范围是( )
A. −∞,−1∪4,+∞B. −∞,2∪4,+∞
C. 0,4D. 2,4
5.已知x，y为正实数，且x+y=1，则x+2y+1xy的最小值为( )
A. 2 2+1B. 2 2−1C. 2 6+5D. 2 6−5
6.函数f(x)=(x−1x)⋅ln|x|的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班.已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是( )
A. 25B. 12C. 35D. 710
8.已知：a=ln7ln2，b=2.8，c=e1.02，那么a，b，c三者的关系是( )
A. a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图.已知χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d，附：
在被调查者中，下列说法正确的是( )
A. 男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B. 男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人
C. 经常锻炼者中男生的频率小于不经常锻炼者中男生的频率的2倍
D. 根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
10.下列命题正确的是( )
A. 命题“对任意x∈R，x2+x+1<0”的否定是“存在x∉R，使得x2+x+1≥0”
B. “1a<1”的充分不必要条件是“a>1”
C. 设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件
D. 设a,b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的充分不必要条件
11.已知函数f(x)=x2−2alnx−1，则( )
A. 若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=2x−2，则a=2
B. 若a=1，则函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)
C. 若a>0，则函数f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为a2−2alna−1
D. 若x∈[1,+∞)，f(x)≥0，则a的取值范围为(−∞,1]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=ax2−lnx在区间[1,2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______．
13.二项式(3x− 10x)8的展开式中的常数项为______．
14.“∀x∈R，a2−4x2+a+2x+1≥0”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ax−1(a∈R)．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
16.(本小题12分)
某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线次数测试，得到数据如表：
(1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值α=0.15的独立性检验，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？
(2)若该游戏经销商要在上述接受测试电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求A，B两个地区同时被选到的概率；
(3)在(2)的条件下，以X表示选中的掉线次数超过5次的位置的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC,M为BP的中点，AM//平面CDP．
(1)求证：BC=2AD；
(2)若PA⊥AB,AB=AP=AD=CD=1，∠CBM=∠CPM．
(i)求证：PA⊥平面ABCD；
(ii)设平面CDP∩平面BAP=l，求二面角C−l−B的正弦值．
18.(本小题12分)
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
频率分布表：
(1)写出a，b，x，y的值；
(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰90%的同学，仅留10%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？
(3)某老师在此次考试成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x−=90，标准差s=6，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差．
(附：方差计算公式：s2=1ni=1n(xi−x−)2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]或s2=1ni=1nxi2−x−2=1n(x12+x22+⋯+xn2)−x−2)
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−ln x，g(x)=12e2x−a−1−ex−1−aex−a+ax．
(1)求f(x)的极值；
(2)讨论g(x)的单调性；
(3)若g(x)存在两个极值点x1，x2(0参考答案
1.C
2.B
3.D
4.D
5.C
6.A
7.D
8.C
9.BCD
10.BC
11.BD
12.(18,+∞)
13.280
14.5
15.解：(1)函数f(x)=ex−a x−1，求导得f′(x)=ex−a，则f′(0)=1−a，而f(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(1−a)x．
(2)由(1)知，f′(x)=ex−a，
当a≤0时，f′(x)=ex−a>0对x∈R恒成立，则f(x)在R上单调递增；
当a>0时，令f′(x)=0，即ex=a，则x=lna，
当x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，
函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
16.解：(1)根据题意列出2×2列联表如下：
零假设H0：游戏的网络状况与网络类型无关，
则χ2=10×(9−4)25×5×5×5=10×2525×25=0.4<2.072=x0.15，
所以根据小概率值α=0.15的独立性检验，没有充分证据说明H0不成立，即不能说明游戏的网络状况与网络的类型有关；
(2)依题意，所求概率P=C31C53=310；
(3)由题意可知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
则P(X=1)=C31C22C53=310，P(X=2)=C21C32C53=35，P(X=3)=C33C53=110，
故X的分布列为：
所以E(X)=1×310+2×35+3×110=1.8．
17.解：(1)证明：
取PC的中点N，连接MN,ND，
因为M为BP的中点，
所以MN=12BC，MN//BC，
因为AD//BC，所以AD//MN，
所以M,N,D,A四点共面，
因为AM//平面CDP，平面MNDA∩平面CDP=DN，AM⊂平面MNDA，
所以AM//DN，
所以四边形AMND为平行四边形，
所以MN=AD，故BC=2AD；
(2)
(i)取BC的中点E，连接AE,AC，
由(1)知BC=2AD，所以EC=AD，
因为EC//AD，
所以四边形AECD是平行四边形，
所以EC=AD=1,AE=CD=1，
所以AE=1=12BC，
所以∠BAC=90∘，即AB⊥AC，
因为∠CBM=∠CPM，所以CB=CP，
因为AB=AP=1,CA=CA，
所以▵ABC与▵APC全等，
所以∠PAC=∠BAC=90∘，即PA⊥AC，
又PA⊥AB，AB∩AC=A，AB、AC⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD；
(ii)由(i)知PA⊥平面ABCD，
而AC⊂平面ABCD，
所以AP⊥AC，
因为PA⊥AB,AP=1，
建立如图所示空间直角坐标系A−xyz，
则P(0,0,1)，C(0, 3,0)，D(−12, 32,0)，
所以CD=(−12,− 32,0)，
PD=(−12, 32,−1)，AC=(0, 3,0)，
设平面PDC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅CD=−12x− 32y=0n⋅PD=−12x+ 32y−z=0,
令x= 3，则y=−1,z=− 3，
故平面PDC的一个法向量为n=( 3,−1,− 3)，
因为AC为平面PAB的法向量，
设二面角C−l−B为θ，由图可得θ∈(0,π2)，
所以csθ=|csAC,n|=AC⋅n|AC|·|n|=− 3 7× 3= 77，
所以二面角C−l−B的余弦值为 77，
则二面角C−l−B的正弦值为 1− 772= 427．

18.解：(1)根据分组在[50,60)的频数是8，频率是0.16，
∴样本容量为80.16=50，
∴频率分布表为：
∴a=16，b=0.04，x=0.3210=0.032，y=0.0410=0.004．
(2)由频率分布表得[50,80)的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88，
[80,90)的频率为0.08，
根据这次成绩，学校准备淘汰90%的同学，仅留10%的同学进入下一轮竞赛，
∴晋级分数线为：80+0.9−×10=92.5．
(3)由题意剩余的8个分数的平均值为x0−=10x−−100−808=90，
∵10个分数的标准差为ss= i=110xi2−10×90210=6，
∴剩余8个分数的标准差为s0= (x12+x22+⋅⋅⋅+x102)−802−1002−2×9028= 20=2 5．
19.解：(1)
f′x=1−1x，x∈0,1时f′x<0，x∈1,+∞时f′x>0，
∴fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
∴fx在x=1处取到极小值f1=1，没有极大值．
(2)
g′x=e2x−a−1−aex−a−ex−1+a=ex−a−1ex−1−a
情形一：若a≤0，可得ex−1−a>0恒成立，且g′a=0，
∴x∈−∞,a时，g′x<0，故gx在x∈−∞,a单调递减；
x∈a,+∞时，g′x>0，故gx在x∈a,+∞单调递增；
情形二：若a=1，g′x=ex−1−1ex−1−1=ex−1−12，则g′x≥0，
∴gx在x∈−∞,+∞单调递增；
情形三：若a∈0,1∪1,+∞，令g′x=ex−a−1ex−1−a=0，
解得x=lna+1或x=a，
又由(1)知当a∈0,1∪1,+∞时，fa=a−lna>f1=1可得a>lna+1，
∴x∈lna+1,a时，g′x<0，故gx在x∈lna+1,a单调递减；
x∈−∞,lna+1和x∈a,+∞时，g′x>0，
故gx在x∈−∞,lna+1和x∈a,+∞单调递增．
综上所述，若a≤0，x∈−∞,a时，gx单调递减，
x∈a,+∞时，gx单调递增；
若a=1，x∈−∞,+∞，gx在单调递增；
若a∈0,1∪1,+∞，x∈lna+1,a时，gx单调递减，
x∈−∞,lna+1和x∈a,+∞时，gx单调递增．
(3)
由(2)知，只能是x1=lna+1，x2=a，
由x2>x1>0，则x1=lna+1>0x2=a>0lna+1≠a，解得a>1e且a≠1，
又当a∈1e,1时，x1，x2∈0,1，由fx在0,1上单调递减可知fx1>fx2；
当a∈1,+∞时，x1，x2>1，由fx在1,+∞上单调递增可知fx1综上所述，a∈1e,1时，fx1>fx2；a∈1,+∞时，fx1 α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A
B
C
D
E
电信
4
3
8
6
12
网通
5
7
9
4
3
α
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
xα
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
α
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
组别
分组
频数
频率
第一组
[50,60)
8
0.16
第二组
[60,70)
a
■
第三组
[70,80)
20
0.40
第四组
[80,90)
■
0.08
第五组
[90,100]
2
b
第六组
合计
■
■
糟糕
良好
合计
电信
3
2
5
网通
2
3
5
合计
5
5
10
X
1
2
3
P
310
35
110
组别
分组
频数
频率
第1组
[50,60)
8
0.16
第2组
[60,70)
a=16
0.32
第3组
[70,80)
20
0.40
第4组
[80,90)
4
0.08
第5组
[90,100]
2
b=0.04
合计
50
1

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