2024-2025学年广东省华南师大附中高三（上）月考数学试卷（一）（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省华南师大附中高三（上）月考数学试卷（一）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
2.直线l过抛物线C:x2=−4y的焦点，且在x轴与y轴上的截距相同，则l的方程是( )
A. y=−x−1B. y=−x+1C. y=x−1D. y=x+1
3.已知x>0，y>0，则( )
A. 7lnx+lny=7lnx+7lnyB. 7ln(x+y)=7lnx⋅7lny
C. 7lnx⋅lny=7lnx+7lnyD. 7ln(xy)=7lnx⋅7lny
4.函数f(x)=aln|x|+1x的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知a，b，c满足2a=3，bln2=1，3c=2，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. b>a>c
6.若正数x,y满足x2−2xy+2=0，则x+y的最小值是( )
A. 6B. 62C. 2 2D. 2
7.已知a>1，b>1.设甲：aeb=bea，乙：ab=ba，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.已知正实数x1，x2，x3满足x12+2x1+1=x12x1，x22+3x2+1=x23x2，x32+4x3+1=x34x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=x3−x+1，则( )
A. fx有两个极值点B. fx有一个零点
C. 点0,1是曲线y=fx的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=fx的切线
10.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)⋅f(x−y)=f2(x)−f2(y)，f(1)=2，f(x+1)为偶函数，则( )
A. f(3)=2B. f(x)为奇函数C. f(2)=0D. k=12024f(k)=0
11.已知函数f(x)=ln2x，曲线C:y=f(x).过不在C上的点P(a,b)(a>0)恰能作两条C的切线，切点分别为(x1,f(x1))，(x2,f(x2))(x1A. a>eB. 2a=e(b+1)C. x1b
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某中学的A、B两个班级有相同的语文、数学、英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有 种不同的排课方式.(用数字作答)
13.已知函数y=f(x+2)−1为定义在R上的奇函数，则i=14051f(i−2024)= ______．
14.一段路上有100个路灯L1，L2，⋯，L100一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个k∈{1,2,3,⋯,100}，当第k名行人经过时，他将所有下标为k的倍数的路灯Lk，L2k，⋯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2csinB= 2b．
(1)求C；
(2)若tanA=tanB+tanC，a=2，求△ABC的面积．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD= 5，点E是线段AD的中点，CM=2MP．
(1)证明：PE//平面BDM;
(2)求平面AMB与平面BDM的夹角．
17.(本小题12分)
某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
(2)现有n(n∈N+)根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束．
(i)当n=3，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
(ii)求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为22n−1⋅n!(n−1)!(2n)!．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
18.(本小题12分)
费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径.在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值(光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积).一般而言，空气的折射率约为1.如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN为6，且MN与x轴交于点(−2,0).平行于x轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点(2,0)处并在此成像.(提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射)
(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C，试判断C属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线F为解析式同C的完整圆锥曲线，直线l与F交于A，B两点，交y轴于点H，交x轴于点Q(点Q不与F的顶点重合).若HQ=k1QA=k2QB，k1+k2=−83，试求出点Q所有可能的坐标．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex2+axex．
(Ⅰ)当a=12时，记函数f(x)的导数为f′(x)，求f′(0)的值．
(Ⅱ)当a=1，x≥1时，证明：f(x)>32csx.
(Ⅲ)当a≥2时，令g(x)=ex[a+1−f(x)]，g(x)的图象在x=m，x=n(m(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数)
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.D
5.A
6.A
7.A
8.A
9.ABC
10.BCD
11.BCD
12.8
13.4051
14.10
15.解：由题可得2csinB=2bsinC= 2b.
(1)sinC= 2b2b= 22，所以C=π4或3π4;
(2)因为tanA+B=−tanC=tanA+tanB1−tanA·tanB，
可得tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC，
又因为tanA=tanB+tanC，
得2tanA=tanAtanBtanC，
A是三角形内角，所以tanA≠0，
所以得tanBtanC=2，
所以只可能是tanC=1，tanB=2，此时tanA=3，所以sinA=3 1010，sinB=2 55，
所以b=sinB⋅asinA=2 55×23 1010=4 55×103 10=4 23，
所以SΔABC=12absin⁡C=12×2×4 23× 22=43．
16.解：(1)连接EC交BD于N，由E是AD的中点可得DE=12BC=1，
则△DEN与△BCN相似，所以EN=12NC，
又PM=12MC，所以MN//PE，
又MN⊂平面BDM，PE⊄平面BDM
所以PE/​/平面BDM;
(2)∵PA=PD，点E是线段AD的中点，
∴PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，
如图，建立空间直角坐标系，E(0,0,0)，A(1,0,0)，D(−1,0,0)，B(1,2,0)，C(−1,2,0)，P(0,0,2)，
PC=(−1,2,−2)，PM=13PC=(−13,23,−23)，
则M(−13,23,43)，
设平面AMB的法向量为n1=(x1,y1,z1)，
由AB=(0,2,0)，AM=(−43,23,43)，
则AB⋅n1=0AM⋅n1=0可得n1=(1,0,1)，
同理可得平面BDM的法向量为n2=(1,−1,0)，
所以cs=|n1·n2|n1n2=12，
所以平面AMB与平面BDM的夹角为π3

17.解：(1)补全列联表如下：
则K2=200(65×55−35×45)2100×100×110×90=80099≈8.08>6.635，
所以有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关；
(2)(i)易知X的所有可能取值为1，2，3，
此时P(X=1)=C41C21C62C42C22A33=815，P(X=2)=2C31C62C42C22A33=25，P(X=3)=1C62C42C22A33=115，
则X的分布列为：
所以E(X)=1×815+2×615+3×115=2315；
(ii)证明：不妨令绳头编号为1，2，3，4，…，2n，
可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外还有2n−2种可能，
假设绳头1与绳头3打结，
那么相当于对剩下n−1根绳子进行打结，
不妨设n(n∈N∗)根绳子打结后可成圆的种数为an，
那么经过一次打结后，剩下n−1根绳子打结后可成圆的种数为an−1，
所以an=(2n−2)an−1，n≥2，
即anan−1=2n−2，
an−1an−2=2n−4，
，…，
a2a1=2，
以上各式累乘得ana1=(2n−2)(2n−4)…2=2n−1(n−1)!，
易知a1=1，
所以an=2n−1⋅(n−1)!，
另一方面，对2n个绳头进行任意2个绳头打结，
总共有N=C2n2C2n−22…C22n!=2n(2n−1)(2n−2)…2×12nn!=(2n)!2nn!，
则P=anN=2n−1⋅(n−1)!(2n)!2n⋅n!=22n−1⋅n!(n−1)!(2n)!．
18.解：(1)设C上任意一点T(x0,y0)，x0<0，光线从点N至点(2,0)的光程为δ1，
光线穿过凸透镜后从T点折射到点(2,0)的光程为δ2，
则δ1=1× 32+42=5，δ2=2×(x0+2)+1× (x0−2)2+y02，
由题意得δ1=δ2，则2(x0+2)+ (x0−2)2+y02=5，化简得1−2x0= (x0−2)2+y02，
所以1+4x02−4x0=x02+4−4x0+y02，所以x02−y23=1．
令y0=0，得x0=−1，
所以C为双曲线的一部分，解析式为x2−y23=1(−2≤x≤−1)．
(2)由题意知F：x2−y23=1．
设H(0,n)，Q(m,0)(m≠±1)，A(xA,yA)，B(xB,yB)，
则HQ=(m,−n)，QA=(xA−m,yA)，QB=(xB−m,yB)，
因为HQ=k1QA=k2QB，所以m=k1(xA−m)−n=k1yA，m=k2(xB−m)−n=k2yB，
由题意知k1≠0，k2≠0，得xA=mk1+mk1yA=−nk1，xB=mk2+mk2yB=−nk2，
即A(mk1+mk1,−nk1)，B(mk2+mk2,−nk2)．
将点A的坐标代入x2−y23=1，得m2k12+2m2k1+m2k12−n23k12=1，
化简整理得(m2−1)k12+2m2k1+(m2−n23)=0．
同理可得(m2−1)k22+2m2k2+(m2−n23)=0，
所以k1与k2为方程(m2−1)x2+2m2x+(m2−n23)=0的两个解，
所以k1+k2=−2m2m2−1．
由题知k1+k2=−83，所以−2m2m2−1=−83，解得m=±2，
所以点Q的坐标可能为(2,0)或(−2,0)．
19.解：(Ⅰ)当a=12时，f′(x)=(ex)2+1−x2ex，∴f′(0)=1;
(Ⅱ)当a=1，x≥1时，f(x)=ex2+xex，∴f′(x)=(ex)2+2−2x2ex，
令φx=ex−x−1,x⩾1，
φ′x=ex−1>0，
所以φx在1,+∞上单调递增，
所以φx=ex−x−1⩾φ1=e−2>0，
则ex>x+1>0，∴(ex)2≥x2+2x+1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(1)=e2+1e>32≥32csx，得证．
(Ⅲ)当a≥2时，g(x)=−e2x2+(a+1)ex−ax，
g′(x)=−(ex−a)(ex−1)，
所以g(x)在(0,lna)上单调递增，(−∞,0)，(lna,+∞)上单调递减，
由题意，g′(m)=g′(n)得到em+en=a+1，
g(m)+g(n)=12(a+1)2+em+n−a(m+n)，
由em+en=a+1>2 emen得到0则g(m)+g(n)=F(t)=12(a+1)2+t−alnt，
F′(t)=1−at，
∴F(t)在(0,a)上单调递减，在(a,(a+1)24)上单调递增．
∴ℎ(a)=Ftmin=Fa=12(a+1)2+a−alna，
即ℎa=12a2+2a−alna+12，
当a≥2时，ℎ′(a)=a−lna+1，
令qa=a−lna+1，
q′a=1−1a=a−1a>0，
所以q(a)在2,+∞上单调递增，
所以qa⩾q2=3−ln2>0，即ℎ′a>0，
所以ℎ(a)在2,+∞上单调递增，
所以ℎamin=ℎ(2)=132−2ln2.
即ℎ(a)的最小值为132−2ln2.
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
200
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
别
速度
合计
快
慢
男生
65
35
100
女生
45
55
100
合计
110
90
200
X
1
2
3
P
815
615
115