2024-2025学年天津市河西区海河中学高三(上)第一次质检数学试卷(含答案)
展开1.已知集合P={x∈N|1≤x≤5},集合Q={x∈R|x2−x−6<0},则P∩Q等于( )
A. {1,2,3}B. {1,2}C. [1,2]D. [1,3)
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“A=B”是“sinA=sinB”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知a=21.2,b=2lg3,c=ln13,则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a
4.下列函数是偶函数的是( )
A. f(x)=xcsxB. f(x)=x2−xx−1C. f(x)=lg|x|D. f(x)=ex−e−x
5.已知向量a=(1,2),b=(−1,1),若c满足(c+a)//b,c⊥(a+b),则c=( )
A. (−3,0)B. (1,0)C. (0,−3)D. (0,1)
6.函数f(x)=ln(4−x)sinx⋅ x−1的定义域为( )
A. (1,π2)∪(π2,4)B. (1,π)∪(π,4)C. [1,π2)∪(π2,4]D. [1,π)∪(π,4]
7.已知向量a,b满足:|a|=1,|a+2b|=2,且(b−2a)⊥b,则|b|=( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
8.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则( )
A. ω=2,φ=5π6 B. ω=12,φ=5π6
C. ω=2,φ=π6 D. ω=12,φ=π6
9.设a∈R,函数fx=cs(2πx−2πa)x
C. 2,94∪114,3D. 74,2∪114,3
二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。
10.已知i是虚数单位,复数( 5+i)⋅( 5−2i)= ______.
11.已知等差数列{an},其前n项和为Sn,a4+a5+a6=12,则a5= ______,S9= ______.
12.若正数x,y满足2x+y=1,则1x+2y的最小值为______.
13.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=1时有极值2,则m+n=______.
14.已知cs2α 2sin(α+π4)=12,则tanα+1tanα等于______.
15.在边长为2的正方形ABCD中,点E为线段CD的三等分点,CE=12DE,BE=λBA+μBC,则λ−μ= ______;F为线段BE上的动点,G为AF中点,则AF⋅DG的最小值为______.
三、解答题:本题共5小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x−2 3.
(1)求f(x)的对称中心坐标;
(2)当x∈[0,π2]时,①求函数f(x)的单调递减区间;②求函数f(x)的最大值、最小值,并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−ax(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若函数f(x)在[1,e2]上有且仅有2个零点,求a的取值范围.
18.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,且PA=2,四边形ABCD是直角梯形,且AB⊥AD,BC//AD,AD=AB=2,BC=4,M为PC中点,E在线段BC上,且BE=1.
(1)求证:DM//平面PAB;
(2)求直线PB与平面PDE所成角的正弦值;
(3)求点E到PD的距离.
19.(本小题15分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且2b=c+2acsC.
(1)求A;
(2)若csB= 33,求sin(2B−A)的值;
(3)若△ABC的面积为9 34,a=3,求△ABC的周长.
20.(本小题16分)
已知函数f(x)=ax+bsinx,当x=π3时,f(x)取得极小值π3− 3.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)记ℎ(x)=18[5x−f(x)],设x1是方程ℎ(x)−x=0的实数根,若对于ℎ(x)定义域中任意的x2,x3.当|x2−x1|<1,且|x3−x1|<1时,问是否存在一个最小的正整数M,使得|ℎ(x3)−ℎ(x2)|≤M|恒成立,若存在请求出M的值;若不存在请说明理由.
(Ⅲ)设直线l:y=g(x),曲线S:y=F(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;
②对任意x∈R都有g(x)≥F(x).则称直线l为曲线S的“上夹线”.
试证明:直线l:y=x+2是曲线S:y=ax+bsinx的“上夹线”.
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.A
6.B
7.B
8.A
9.A
10.7− 5i
11.4 36
12.8
13.−23
14.83
15.−23 −518
16.解:(1)由题意可知:f(x)=sin2x+ 3cs2x− 3
=2(12sin2x+ 32cs2x)− 3=2sin(2x+π3)− 3,
令2x+π3=kπ,k∈Z,可得x=kπ2−π6,k∈Z,
所以f(x)的对称中心坐标为(kπ2−π6,− 3),k∈Z;
(2)①因为x∈[0,π2],所以z=2x+π3∈[π3,4π3],
因为y=sinz,z∈[π3,4π3]的单调递减区间是[π2,4π3],
则由π2≤2x+π3≤4π3,可得π12≤x≤π2,
所以f(x)的单调递减区间为[π12,π2];
②由①可知:
当x∈[0,π12]时,f(x)单调递增,
当x∈[π12,π2]时,f(x)单调递减,
且f(π12)=2sinπ2− 3=2− 3,f(π2)=2sin4π3− 3=−2 3,
f(0)=2sinπ3− 3=0,
所以当x=π12时,f(x)取最大值为2− 3,
当x=π2时,f(x)取最小值为−2 3.
17.解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=lnx−x,
f′(x)=1x−1=1−xx(x>0),
所以f′(1)=0,f(1)=−1,
所求的切线方程为y=−1.
(Ⅱ)f′(x)=1x−a=1−axx(x>0),
a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
a>0时,由f′(x)=0,得x=1a,
当0
即当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1a),单调递减区间为(1a,+∞).
(Ⅲ)当x∈[1,e2]时,由f(x)=lnx−ax=0得a=lnxx,
令ℎ(x)=lnxx,x∈[1,e2],ℎ′(x)=1−lnxx2,
ℎ′(x)>0⇒0
又ℎ(1)=0,ℎ(e)=1e,ℎ(e2)=2e2,
a的取值范围是[2e2,1e).
18.证明:(1)如图,取BC中点F,连接MF,DF,
因为F为BC中点,BC//AD,AD=AB=2,BC=4,所以BF=AD,BF//AD,
所以四边形ABFD为平行四边形,所以AB//DF,
又DF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以DF//平面PAB,
因为F为BC中点,M为PC中点,则MF//PB,
又MF⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,所以MF//平面PAB,
因为MF∩DF=F,MF,DF⊂平面MDF,所以平面MDF//平面PAB,
又DM⊂平面MDF,故DM//平面PAB;
解:(2)根据题意,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
由条件可得,A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0),
则PB=(2,0,−2),PD=(0,2,−2),PE=(2,1,−2),
设平面PDE的法问量为n=(x,y,z),
则PD⋅n=2y−2z=0PE⋅n=2x+y−2z=0,解得y=zy=2x,
取y=2,则x=1,z=2,所以平面PDE的一个法向量为n=(1,2,2),
设直线PB与平面PDE所成角为θ,
则sinθ=|cs
所以直线PB与平面PDE所成角的正弦值为 26;
(3)由(2)可知,PD=(0,2,−2),PE=(2,1,−2),
所以点E到PD的距离为 PE2−(PE⋅PD|PD|)2= 9−(62 2)2=3 22.
19.解:(1)因为2b=c+2acsC,由正弦定理可得2sinB=sinC+2sinAcsC,
所以2sinB=2sin(A+C)=2sinAcsC+2csAsinC,
即sinC+2sinAcsC=2sinAcsC+2csAsinC,
所以sinC=2csAsinC,
因为C为三角形内角,sinC≠0,解得csA=12,A∈(0,π),
所以A=π3.
(2)由已知csB= 33,B∈(0,π),所以sinB= 1−cs2B= 63,
所以sin2B=2sinBcsB=2 23,cs2B=2cs2B−1=−13,
所以sin(2B−A)=sin(2B−π3)=sin2Bcsπ3−cs2Bsinπ3=2 2+ 36.
(3)因为SΔABC=12bcsinA=12bc× 32=9 34,
所以bc=9,
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc−2bccsA,
即9=(b+c)2−3×9,解得b+c=6,
所以△ABC的周长为a+b+c=9.
20.解:(Ⅰ)解:由已知f′(x)=a+bcsx,
于是得:a+12b=0,π3a+ 32b=π3− 3,代入可得:a=1,b=−2,
此时,f(x)=x−2sinx.∴f′(x)=1−2csx.
当x∈(0,π3)时,f′(x)<0; 当x∈(π3,π2)时,f′(x)>0,
∴当x=π3时,f(x)取得极小值π3− 3,即a=1,b=−2符合题意;
(Ⅱ)不妨设x2
又∵ℎ′(x)−1<0,∴ℎ(x)−x为减函数,∴ℎ(x2)−x2>ℎ(x3)−x3,
∴0<ℎ(x3)−ℎ(x2)
故存在最小正整数M=2,使得|ℎ(x3)−ℎ(x2)|≤M恒成立
(Ⅲ) 证明:由f′(x)=1−2csx=1,得csx=0,
当x=−π2时,csx=0此时y1=−π2,y2=−π2+2,∴y1=y2
∴(−π2,−π2+2)是直线l与曲线S的一个切点,
当x=−3π2,csx=0此时y1=x+2=3π2+2,y2=x−2sinx=3π2+2,
∴(3π2,3π2+2)也是直线l与曲线S的一个切点,
即直线l与曲线S相切且至少有两个切点,
对任意x∈R,g(x)−f(x)=(x+2)−(x−2sinx)=2+2sinx≥0,
即g(x)≥f(x),因此直线l:y=x+2是曲线S:y=ax+bsinx的“上夹线”.
2024-2025学年天津市耀华中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案): 这是一份2024-2025学年天津市耀华中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案),共8页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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