2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区南汇中学高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. y=lnxB. y=tanxC. y=x3+xD. y=−1x
2.已知函数f(x)=1+lga(2x−3)(a>0,a≠1)恒过定点(m,n)，则m+n=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于P(−13,y)，则sinα的值为( )
A. 2 2− 36B. 2 2+ 36C. 2 6−16D. 2 6+16
4.如图所示，已知直线y=kx与曲线y=f(x)相切于两点，函数g(x)=kx+m(m>0)，则对函数F(x)=g(x)−f(x)描述正确的是( )
A. 有极小值点，没有极大值点
B. 有极大值点，没有极小值点
C. 至少有两个极小值点和一个极大值点
D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合M={x|x−4<1,x∈N}，则M中元素的个数为______．
6.函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是______．
7.不等式3x<1的解集为______．
8.已知α∈[0,π2]，且sinα=35，则sin2α= ______．
9.若lg x(2x)=4，则x= ______．
10.不等式2x≥2−lg2x的解集为______．
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b2=3bc，sinC=2sinB，则A= ______．
12.已知函数f(x)=−x2+2ax+3在区间(−∞,4)上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
13.若函数y=ax+1x+2(x≠−2)的值域为{y|y≠2}，则实数a的值为______．
14.若函数y=ln|a−11+x|+b是奇函数，则a1b= ______．
15.如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km(其中BD⊥AD)，两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，供水站C建在岸边距离A处______km才能使水管费用最省．
16.已知函数f(x)=x4x2+16,x≥2(12)|x−a|,x<2，若对任意的x1∈[2,+∞)，都存在唯一的x2∈(−∞,2)，满足f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知集合A={x||x−a|<2},B={x|x−2x+1<0}．
(1)若a=2，求A∩B；
(2)“x∈B”是“x∈A”的充分非必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题14分)
已知y=f(x)为奇函数，其中fx=cs2x+θ，θ∈0,π．
(1)求函数y=f(x)的最小正周期和fx的表达式；
(2)若fα2=−45,α∈π2,π，求sinα+π3的值．
19.(本小题14分)
流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y(单位：mm2)与经过时间x(单位：min)的关系现有三个函数模型：①y=kax(k>0,a>1)，②y=lgbx(b>1)，③y=p x+q(p>0)可供选择.(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)
(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2？(结果保留到整数)
20.(本小题18分)
设t为实数，函数f(x)=−x2+1，g(x)=|x−t|．
(1)判断函数y=g(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当t=2时，求函数y=g(x)−f(x)的最小值；
(3)对于函数y=m(x)，在定义域内给定区间[a,b]，如果存在x0(a21.(本小题18分)
设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=f(x)的图像.若过点P恰能作曲线Γ的k条切线(k∈N)，则称P是函数y=f(x)的“k度点”．
(1)判断点O(0,0)与点A(2,0)是否为函数y=lnx的1度点，不需要说明理由；
(2)已知0(3)求函数y=x3−x的全体2度点构成的集合．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.C
5.5
6.2
7.(−∞,0)∪(3,+∞)
8.2425
9.2
10.[1,+∞)
11.30°
12.[4,+∞)
13.2
14.1e
15.20
16.[−2,6)
17.解：(1)A={x||x−a|<2}={x|a−2若a=2时，则A={x|0则A∩B={x|0(2)“x∈B”是“x∈A”的充分非必要条件，
则B⫋A，
a−2≤−12≤2+a，则0≤a≤1，
则a的取值为[0,1]．
18.解：(1)最小正周期是T=2π2=π，
因为y=f(x)为奇函数，所以f(x)+f(−x)=0，
化简得2cs2xcsθ=0对于x∈R恒成立，
θ∈(0,π)，所以θ=π2，f(x)=−sin2x；
(2)结合已知可得sinα=45，∵α∈(π2,π)，∴csα=−35，
∴sin(α+π3)=sinαcsπ3+csαsinπ3=4−3 310．
19.解：(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快，
y=lgbx(b>1)和y=p x+q(p>0)的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型y=kax(k>0,a>1)．
由题意得ka2=48ka3=64，解得a=43k=27，
所以该函数模型为y=27×(43)x(x≥0)；
(2)由题意得27×(43)x>300，即(43)x>1009，
所以x>lg431009，
又lg431009=1g10091g43=2−21g321g2−lg3≈2−2×0.4772×0.301−0.477≈8.368，
所以至少经过9min培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2．
20.解：(1)函数g(x)的定义域为R，
当t=0时，g(x)=|x|，∵g(−x)=|−x|=|x|=g(x)，∴g(x)为偶函数，
当t≠0时，g(x)=|x−t|，∵g(−x)=|−x−t|=|x+t|，∴g(−x)≠g(x)，∴g(−x)≠−g(x)，∴g(x)为非奇非偶函数，
综上，当t=0时，g(x)为偶函数，当t≠0时，g(x)为非奇非偶函数．
(2)当t=2时，y=)=|x−2|+x2−1，
①当x≥2时，函数y=x2+x−3=(x+12)2−134在[2,+∞)上递增，∴ymin=3，
②当x<2时，函数y=x2−x+1=(x−12)2+34，∴ymin=34，
∵34<3，∴y=g(x)−f(x)的最小值为34
(3)∵ℎ(x)=−x2+mx+1是区间[−1,1]的平均值函数
∴存在x0∈(−1,1)，使ℎ(x0)=ℎ(1)−ℎ(−1)1−(−1)，又∵ℎ(1)−ℎ(−1)1−(−1)=m，
∴存在x0∈(−1,1)，使得 ℎ(x0)=m，
即关于x的方程−x2+mx+1=m在(−1,1)内有解，
由−x2+mx+1=m得x2−mx+m−1=0，解得x=1或x=m−1，
∴−1故m的取值范围为(0,2)．
21.解：(1)由题意，设t>0，则曲线y=lnx在点(t,lnt)处的切线方程为y−lnt=1t(x−t)，
该切线过原点O时，−lnt=−1，解得t=e，故原点O是函数y=lnx的一个1度点；
又因为该切线过点A(2,0)，所以−lnt=1t(2−t)，
设s(t)=tlnt−t+2，则s′(t)=1+lnt−1=lnt，令s′(t)=0，得t=1，
所以t∈(0,1)时，s′(t)<0，s(t)单调递减；t∈(1,+∞)时，s′(t)>0，s(t)单调递增，
所以s(t)=tlnt−t+2在x=1处取得极小值，也是最小值，且s(1)=0−1+2=1>0，
所以−lnt=1t(2−t)无解，点A(2,0)不是函数y=lnx的1度点；
(2)证明：设t>0，y′=cst，则曲线y=sinx在点(t,sint)处的切线方程为y−sint=cst(x−t)，
则该切线过点(0,π)，当且仅当π−sint=−tcst(∗)，
设G(t)=sint−tcst−π，G′(t)=tsint，∴00，
故y=G(t)在区间(0,π)上单调递增，
∴当0(3)y′=3x2−1，
对任意t∈R，曲线y=x3−x在点(t,t3−t)处的切线方程为y−(t3−t)=(3t2−1)(x−t)，
故点(a,b)为函数y=x3−x的一个2度点当且仅当关于t的方程b−(t3−t)=(3t2−1)(a−t)恰有两个不同的实数解，
设ℎ(t)=2t3−3at2+(a+b)，则点(a,b)为函数y=x3−x的一个2度点，当且仅当y=ℎ(t)有两个不同的零点，
若a=0，则ℎ(t)=2t3+b在R上严格增，只有一个零点，不合要求；
若a>0，ℎ′(t)=6t2−6at，令ℎ′(t)=0得t=0或t=a，
由t<0或t>a时，ℎ′(t)>0，得y=ℎ(t)严格增；当0故y=ℎ(t)在t=0时取得极大值ℎ(0)=a+b，在t=a时取得极小值ℎ(a)=b+a−a3，
又ℎ(−3a+b2)=−3a3(a+b2)2<0，ℎ(3a+3|b|)=27a3+36a23|b|+9a3b2+2|b|+b+a≥a>0，
∴当ℎ(0)>0>ℎ(a)时，由零点存在定理，y=ℎ(t)在(−∞,0)，(0,a)，(a,+∞)上各有一个零点，不合要求；
当0>ℎ(0)>ℎ(a)时，y=ℎ(t)仅(a,+∞)上有一个零点，不合要求；
当ℎ(0)>ℎ(a)>0时，y=ℎ(t)仅(−∞,0)上有一个零点，也不合要求；
故y=ℎ(t)有两个不同零点当且仅当ℎ(0)=0或ℎ(a)=0，
若a<0，同理可得y=ℎ(t)有两个不同零点当且仅当ℎ(0)=0或ℎ(a)=0，
综上，函数y=x3−x的全体2度点构成的集合为{(a,b)|b=−a或b=a3−a，a≠0}．