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2024-2025学年天津市和平区益中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2024-2025学年天津市和平区益中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U={1,3,5,7,9,11}，A={1,3,9}，B={3,5,9,11}，则(∁UA)∩B=( )
A. {3,9}B. {5,11}C. {1,5,7,11}D. {3,5,7,9,11}
2.若x∈R，下列选项中，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为( )
A. −23.已知命题p：∀x>0，总有(x+1)ex>1，则¬p为( )
A. ∃x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1B. ∃x0>0，使得(x0+1)ex0≤1
C. ∀x>0，总有(x+1)ex≤1D. ∀x≤0，总有(x+1)ex≤1
4.函数f(x)=ln(x+2)x−1的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.设a=(14)−0.9，b=40.8，c=lg4(sinπ2)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. b>c>a
6.lg932⋅lg6427+lg92⋅lg4 27=( )
A. 94B. 2C. 138D. 2924
7.已知cs(α+π6)=35，则sin(2α−π6)=( )
A. −4925B. −2425C. −725D. 725
8.已知f(x)=x+4x，g(x)=x3−3x+8−a，若对∀x1∈[1,3]，总∃x2∈[1,3]，使f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围为( )
A. [2,21]B. [53,21]C. [1,22]D. [11,22]
9.已知函数f(x)=|3x−1|,x≤2x2−10x+24,x>2，函数g(x)=3f2(x)−(m+3)f(x)+m有6个零点，则非零实数m的取值范围是( )
A. (−3,0)∪{2，4}B. (3,24)
C. [2,16)D. [3,24)
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知i是虚数单位，化简5(4+i)22+i的结果为______．
11.已知a与b是两个不共线的向量，OA=a−b，OB=2a+b，OC=λa+μb，若A，B，C三点共线，则2λ−μ= ______．
12.如果关于x的不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，那么k的取值范围是______．
13.函数y=a2−x，(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny−1=0(mn>0)上，则1m+4n的最小值为______．
14.已知函数f(x)=sin(2x+π3).给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为π；
②f(x)在[−π3,π12]上单调递增；
③把函数y=sin2x的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是______．
15.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=4，BC=6，且AD=λBC，AD⋅AB=−2，则实数λ的值为______，若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1，则DM⋅DN的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2 2,b=5,c= 13．
(1)求角C的大小；
(2)求sinA的值；
(3)求sin(2A+π6)的值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=sinxcsx+cs2x，x∈R，下列命题中：
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)最大值；
(3)求f(x)的单调增区间．
18.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=5，b=11，csC=35．
(1)求c的值；
(2)求△ABC的面积；
(3)求sin(A−C)的值．
19.(本小题15分)
已知函数f(x)=3x2−6x2lnx−c其中c为常数．
(1)当c=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若对任意x>0，不等式4c2≥f(x)恒成立，求c的取值范围．
20.(本小题15分)
已知a∈R，函数f(x)=13x3−12(a−1)x2−ax−3，g(x)=x−2lnx．
(1)若函数f(x)的减区间是(−1,4)，求a的值；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若方程g(x)−b=0在[1,3]上恰有两个不同的解，求实数b的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.D
5.A
6.C
7.D
8.A
9.B
10.38+i
11.3
12.(−3,0]
13.6+4 2
14.①②
15.16 474
16.解：(1)由余弦定理以及a=2 2，b=5，c= 13，
则csC=a2+b2−c22ab=8+25−132×2 2×5= 22，
∵C∈(0,π)，
∴C=π4；
(2)由正弦定理，以及C=π4，a=2 2，c= 13，
可得sinA= asinCc=2 2× 22 13=2 1313；
(3)由a则sin2A=2sinAcsA=2×2 1313×3 1313=1213，
∴cs2A=2cs2A−1=513，
∴∴sin (2A+π6)=sin 2Acs π6+cs 2Asin π6
=1213× 32+513×12=12 3+526．
17.解：(1)由题意可得：f(x)=sinxcsx+cs2x=12sin2x+12cs2x+12
= 22( 22sin2x+ 22cs2x)+12= 22sin(2x+π4)+12，
所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．
(2)因为f(x)= 22sin(2x+π4)+12，x∈R，
所以函数最大值为 22×1+12=1+ 22．
(3)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，
得kπ−3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z．
18.解：(1)在△ABC中，因为a=5，b=11，csC=35，
所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，
得c= 52+112−2×5×11×35=4 5；
(2)在△ABC中，因为a=5，b=11，csC=35，
则C∈(0,π2)，sinC= 1−cs2C=45，
所以△ABC的面积S=12absinC=12×5×11×45=22；
(3)在△ABC中，由正弦定理asinA=csinC，
可得sinA=ac⋅sinC=54 5×45= 55，
a=5<4 5=c，所以A又C∈(0,π2)，csA= 1−sin2A=2 55，
所以sin(A−C)=sinAcsC−csAsinC= 55×35−2 55×45=− 55．
19.解：(1)当c=0时，f(x)=3x2−6x2lnx，
则f(1)=3，f′(x)=6x−(12xlnx+6x2⋅1x)=−12xlnx，
所以f′(1)=0，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=0，
(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，
由f(x)=3x2−6x2lnx−c，得f′(x)=6x−(12xlnx+6x2⋅1x)=−12xlnx，
当00，当x>1时，f′(x)<0，
所以f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,+∞)，
(3)由(2)可知当x=1取得最大值f(1)=3−c，
因为对任意x>0，不等式4c2≥f(x)恒成立，
所以4c2≥3−c，即4c2+c−3≥0，(c+1)(4c−3)≥0，
解得c≤−1或c≥34，
即c的取值范围为(−∞,−1]⋃[34,+∞)．
20.解：(1)f′(x)=x2−(a−1)x−a=(x+1)(x−a)，
因为函数f(x)的减区间是(−1,4)，
所以−1和4为导函数等于零的两个根，
所以a=4．
(2)因为f′(x)=x2−(a−1)x−a=(x+1)(x−a)，
当a=−1时，f′(x)=(x+1)2≥0恒成立，此时f(x)在R上恒为增函数，
当a<−1时，令f′(x)=0，解得x=−1或a，
所以f(x)在(−∞,a)，(−1,+∞)上为单调递增函数，在(a,−1)上为单调递减函数；
当a>−1时，f(x)在(−∞,−1)，(a,+∞)上为单调递增函数，在(−1,a)上为单调递减函数；
综上所述，当a=−1时，f(x)在R上恒为增函数；
当a<−1时，f(x)在(−∞,a)，(−1,+∞)上为单调递增函数，在(a,−1)上为单调递减函数；
当a>−1时，f(x)在(−∞,−1)，(a,+∞)上为单调递增函数，在(−1,a)上为单调递减函数；
(3)原问题等价于函数g(x)与函数y=b图像在[1,3]上有两个交点．
g′(x)=1−2x=x−2x,x>0，
令g′(x)=0⇒x=2，
所以g(x)在[1,2)上为单调递减函数，在[2,3]上为单调递增函数，
作出函数图像如下：
因为g(1)=1，g(x)min=g(2)=2−2ln2，g(3)=3−2ln3，
因为3−2ln3<3−2lne=1，
所以实数b的取值范围为(2−2ln2,3−2ln3]．
1.已知集合U={1,3,5,7,9,11}，A={1,3,9}，B={3,5,9,11}，则(∁UA)∩B=( )
A. {3,9}B. {5,11}C. {1,5,7,11}D. {3,5,7,9,11}
2.若x∈R，下列选项中，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为( )
A. −2
A. ∃x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1B. ∃x0>0，使得(x0+1)ex0≤1
C. ∀x>0，总有(x+1)ex≤1D. ∀x≤0，总有(x+1)ex≤1
4.函数f(x)=ln(x+2)x−1的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.设a=(14)−0.9，b=40.8，c=lg4(sinπ2)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. b>c>a
6.lg932⋅lg6427+lg92⋅lg4 27=( )
A. 94B. 2C. 138D. 2924
7.已知cs(α+π6)=35，则sin(2α−π6)=( )
A. −4925B. −2425C. −725D. 725
8.已知f(x)=x+4x，g(x)=x3−3x+8−a，若对∀x1∈[1,3]，总∃x2∈[1,3]，使f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围为( )
A. [2,21]B. [53,21]C. [1,22]D. [11,22]
9.已知函数f(x)=|3x−1|,x≤2x2−10x+24,x>2，函数g(x)=3f2(x)−(m+3)f(x)+m有6个零点，则非零实数m的取值范围是( )
A. (−3,0)∪{2，4}B. (3,24)
C. [2,16)D. [3,24)
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知i是虚数单位，化简5(4+i)22+i的结果为______．
11.已知a与b是两个不共线的向量，OA=a−b，OB=2a+b，OC=λa+μb，若A，B，C三点共线，则2λ−μ= ______．
12.如果关于x的不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，那么k的取值范围是______．
13.函数y=a2−x，(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny−1=0(mn>0)上，则1m+4n的最小值为______．
14.已知函数f(x)=sin(2x+π3).给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为π；
②f(x)在[−π3,π12]上单调递增；
③把函数y=sin2x的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是______．
15.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=4，BC=6，且AD=λBC，AD⋅AB=−2，则实数λ的值为______，若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1，则DM⋅DN的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2 2,b=5,c= 13．
(1)求角C的大小；
(2)求sinA的值；
(3)求sin(2A+π6)的值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=sinxcsx+cs2x，x∈R，下列命题中：
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)最大值；
(3)求f(x)的单调增区间．
18.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=5，b=11，csC=35．
(1)求c的值；
(2)求△ABC的面积；
(3)求sin(A−C)的值．
19.(本小题15分)
已知函数f(x)=3x2−6x2lnx−c其中c为常数．
(1)当c=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若对任意x>0，不等式4c2≥f(x)恒成立，求c的取值范围．
20.(本小题15分)
已知a∈R，函数f(x)=13x3−12(a−1)x2−ax−3，g(x)=x−2lnx．
(1)若函数f(x)的减区间是(−1,4)，求a的值；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若方程g(x)−b=0在[1,3]上恰有两个不同的解，求实数b的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.D
5.A
6.C
7.D
8.A
9.B
10.38+i
11.3
12.(−3,0]
13.6+4 2
14.①②
15.16 474
16.解：(1)由余弦定理以及a=2 2，b=5，c= 13，
则csC=a2+b2−c22ab=8+25−132×2 2×5= 22，
∵C∈(0,π)，
∴C=π4；
(2)由正弦定理，以及C=π4，a=2 2，c= 13，
可得sinA= asinCc=2 2× 22 13=2 1313；
(3)由a
∴cs2A=2cs2A−1=513，
∴∴sin (2A+π6)=sin 2Acs π6+cs 2Asin π6
=1213× 32+513×12=12 3+526．
17.解：(1)由题意可得：f(x)=sinxcsx+cs2x=12sin2x+12cs2x+12
= 22( 22sin2x+ 22cs2x)+12= 22sin(2x+π4)+12，
所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．
(2)因为f(x)= 22sin(2x+π4)+12，x∈R，
所以函数最大值为 22×1+12=1+ 22．
(3)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，
得kπ−3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z．
18.解：(1)在△ABC中，因为a=5，b=11，csC=35，
所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，
得c= 52+112−2×5×11×35=4 5；
(2)在△ABC中，因为a=5，b=11，csC=35，
则C∈(0,π2)，sinC= 1−cs2C=45，
所以△ABC的面积S=12absinC=12×5×11×45=22；
(3)在△ABC中，由正弦定理asinA=csinC，
可得sinA=ac⋅sinC=54 5×45= 55，
a=5<4 5=c，所以A
所以sin(A−C)=sinAcsC−csAsinC= 55×35−2 55×45=− 55．
19.解：(1)当c=0时，f(x)=3x2−6x2lnx，
则f(1)=3，f′(x)=6x−(12xlnx+6x2⋅1x)=−12xlnx，
所以f′(1)=0，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=0，
(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，
由f(x)=3x2−6x2lnx−c，得f′(x)=6x−(12xlnx+6x2⋅1x)=−12xlnx，
当0
所以f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,+∞)，
(3)由(2)可知当x=1取得最大值f(1)=3−c，
因为对任意x>0，不等式4c2≥f(x)恒成立，
所以4c2≥3−c，即4c2+c−3≥0，(c+1)(4c−3)≥0，
解得c≤−1或c≥34，
即c的取值范围为(−∞,−1]⋃[34,+∞)．
20.解：(1)f′(x)=x2−(a−1)x−a=(x+1)(x−a)，
因为函数f(x)的减区间是(−1,4)，
所以−1和4为导函数等于零的两个根，
所以a=4．
(2)因为f′(x)=x2−(a−1)x−a=(x+1)(x−a)，
当a=−1时，f′(x)=(x+1)2≥0恒成立，此时f(x)在R上恒为增函数，
当a<−1时，令f′(x)=0，解得x=−1或a，
所以f(x)在(−∞,a)，(−1,+∞)上为单调递增函数，在(a,−1)上为单调递减函数；
当a>−1时，f(x)在(−∞,−1)，(a,+∞)上为单调递增函数，在(−1,a)上为单调递减函数；
综上所述，当a=−1时，f(x)在R上恒为增函数；
当a<−1时，f(x)在(−∞,a)，(−1,+∞)上为单调递增函数，在(a,−1)上为单调递减函数；
当a>−1时，f(x)在(−∞,−1)，(a,+∞)上为单调递增函数，在(−1,a)上为单调递减函数；
(3)原问题等价于函数g(x)与函数y=b图像在[1,3]上有两个交点．
g′(x)=1−2x=x−2x,x>0，
令g′(x)=0⇒x=2，
所以g(x)在[1,2)上为单调递减函数，在[2,3]上为单调递增函数，
作出函数图像如下：
因为g(1)=1，g(x)min=g(2)=2−2ln2，g(3)=3−2ln3，
因为3−2ln3<3−2lne=1，
所以实数b的取值范围为(2−2ln2,3−2ln3]．
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