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2024-2025学年贵州省六盘水市高三（上）第一次诊断数学试卷（含答案）
展开这是一份2024-2025学年贵州省六盘水市高三（上）第一次诊断数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|x+1≤3}，N={0,1,2,3,5}，则M∩N=( )
A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {1,2,3,5}
2.已知复数z= 3+i(i是虚数单位)，则|z−2i|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 5
3.“对任意实数x∈(0,+∞)都有x+4x≥a”是“a<4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知角α的终边过点P(3,1)，则tan2α=( )
A. −45B. −35C. 34D. 45
5.若a=lg352，b=(15)−0.1，c=(25)−0.1，则a，b，c的大小关系为( )
A. a
A. [−2,2]B. [−1,1]C. [0,2]D. [0,1]
7.已知a>0>b且a+b>0，则( )
A. a3
A. 3B. 2C. 62D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,0<φ<π2,0<ω<π)的最大值为3，且f(0)=32，f(π3)=−3，则下列说法正确的是( )
A. f(x)=3cs(2x+π3)B. f(x)图象的一条对称轴是x=π12
C. f(x)在[−π3,−π6]上单调递增D. 函数y=f(x+π6)是奇函数
10.图(1)是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图(2)和图(3)表示，则( )
A. 图(1)中乘客量为1.5单位时，收支持平
B. 图(1)中当乘客量为0时，亏损1单位
C. 图(2)的建议可能为：提高票价并降低成本
D. 图(3)的建议可能为：降低成本而保持票价不变
11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)=f(2−x)，f(x+2)的图象关于(0,0)对称.当x∈[0,1]时，f(x)=aex+b，若f(2)+f(3)=1−e，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的周期为4B. f(x)的图象关于(4,0)对称
C. f(2025)=1−eD. 当x∈(1,2]时，f(x)=ex−1−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知α为锐角，且sin(3π2+α)=−35，则sinα= ______．
13.函数f(x)=f′(1)x2−lnx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为______．
14.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[3.01]=3，[−1.68]=−2，则满足方程[x+2]=x2的所有实数x组成的集合为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
六盘水红心猕猴桃因富含维生素C及K、Ca、Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”.某果农通过不断学习猕猴桃先进种植技术，2017年至2023年的年利润y与年份代号x的统计数据如下表(已知该果农的年利润与年份代号之间呈线性相关关系)．
(1)求y关于x的线性回归方程，并预测该果农2024年的年利润；
(2)当某年利润的实际值大于该年利润的估计值时，该年为甲级利润年，否则为乙级利润年.现从2019年至2023年这5年中随机抽取3年，求恰有1年为甲级利润年的概率．
参考公式：回归方程y=bx+a中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a=y−−bx−，并计算得：i=17yi=301，i=17(xi−x−)(yi−y−)=140，i=17(xi−x−)2=28．
16.(本小题15分)
已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tanC=3tanB．
(1)若a=2b，求C；
(2)若a= 6，b+c=3，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，且PB=AB=BC=1，AD=12，M为PA中点．
(1)求点M到直线PC的距离；
(2)求平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且∠MON=π3，OM=30米，设∠COM=α．
(1)求扇形OMN的面积；
(2)求矩形ABCD的面积S(α)；
(3)当α为何值时，S(α)取得最大值，并求出这个最大值．
19.(本小题17分)
设ℎ′(x)为ℎ(x)的导函数，若ℎ′(x)在区间D上单调递减，则称ℎ(x)为D上的“凸函数”.已知函数f(x)=−sinx+ax2+ax．
(1)若f(x)为[0,π2]上的“凸函数”，求a的取值范围；
(2)证明：当a=−1时，g(x)=f(x+1)+x2+3x+ln(x+2)+2有且仅有两个零点．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.C
5.A
6.C
7.D
8.C
9.AC
10.ABD
11.AB
12.45
13.y=x
14.{−1, 3,2}
15.(1)根据表中的数列，计算可得y−=17i=17yi=17×301=43，x−=1+2+3+4+5+6+77=4，
所以b =i=17(xi−x−)(yi−y−)i=17(xi−x−)2=14028=5，
故a =y−−b x−=43−5×4=23，
所以y关于x的线性回归方程为y =5x+23，
当x=8时，y =5×8+23=63(千元)，
所以该果农2024年的年利润预测值为63千元．
(2)由(1)可知2019年至2023年的年利润的估计值分别为38，43，48，53，58(单位：千元)，
其中实际利润大于相应的估计值的有2年，
故这5年中甲级利润年的有2年，乙级利润年的有3年，
所以从2019年至2023年这5年中随机抽取3年，恰有1年为甲级利润年的概率为C21C32C53=35．
16.解：(1)因为tanC=3tanB，
所以sinCcsC=3sinBcsB，则sinCcsB=3sinBcsC，
因为a=2b，由正弦定理可得，
sinA=2sinB=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=4sinBcsC，
所以2sinB=4sinBcsC，由B为三角形内角，故sinB≠0，
所以csC=12，又0
(2)由(1)知，sinCcsB=3sinBcsC，
则sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=4sinBcsC，
由正弦定理可得a=4bcsC，
由a= 6，且csC=a2+b2−c22ab=6+b2−c22 6b，
代入a=4bcsC可得 6=4×b2−c2+62 6，
化简得c2−b2=3，联立b+c=3，
解得c=2，b=1，
又由a=4bcsC= 6可得csC= 64，
则sinC= 1−cs2C= 104，
故S△ABC=12absinC=12× 6× 104= 154．
17.解：(1)因为AB⊥AD，AD//BC，所以AB⊥BC，
因为PB⊥平面ABCD，AB、BC⊂平面ABCD，
所以PB⊥AB且PB⊥BC，
所以可以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz，
则由题意，M(12,0,12),P(0,0,1),C(0,1,0)，
A(1,0,0),D(1,12,0),B(0,0,0)，
所以MP=(−12,0,12),PC=(0,1,−1),PA=(1,0,−1)，
AB=(−1,0,0),AD=(0,12,0)，
所以PC|PC|=1 2(0,1,−1)，
MP⋅PC|PC|=(−12,0,12)⋅1 2(0,1,−1)=−12 2，又MP2=12，
故点M到直线PC的距离为 MP2−(MP⋅PC|PC|)2= (12)2−(−12 2)2= 24；
(2)因为PB⊥AB，AB⊥BC，PB∩BC=B，PB、BC⊂平面PBC，
所以AB⊥平面PBC，故AB=(−1,0,0)是平面PBC的一个法向量，
设n=(x,y,z)是平面PAD的一个法向量，
则由n⊥PA，n⊥AD，可得n⋅PA=x−z=0n⋅AD=12y=0，令x=1，可得y=0，z=1，
则平面PAD的一个法向量为n=(1,0,1)，
设平面PAD与平面PBC所成夹角为θ，
所以csθ=|cs
所以平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值为 22．
18.解：扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，
点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且∠MON=π3，OM=30米，设∠COM=α；
(1)由题意，∠MON=π3，扇形半径即OM=30米，
则扇形OMN的面积为12×π3×302=150π平方米；
(2)在Rt△OBC中，BC=30sinα，OB=30csα，
在Rt△OAD中，AD=BC=30sinα，则OA=AD 3= 33×30sinα，
∴AB=OB−OA=30csα−10 3sinα，
则停车场面积：
S(α)=AB⋅BC=30sinα(30csα−10 3sinα)
=300 3( 3sinαcsα−sin2α)=150 3( 3sin2α+cs2α−1)
=300 3( 32sin2α+12cs2α−12)
=300 3sin(2α+π6)−150 3，0<α<π3，
所以S(α)=300 3sin(2α+π6)−150 3，其中0<α<π3；
(3)S(α)=300 3sin(2α+π6)−150 3，其中0<α<π3，
由π6<2α+π6<5π6，
则当2α+π6=π2时，即α=π6时，S(α)max=150 3，
当α=π6时，S(α)取得最大值，最大值为150 3．
19.解：(1)由f(x)=−sinx+ax2+ax，则f′(x)=−csx+2ax+a．
由题意可知，f(x)为x∈[0,π2]上的“凸函数”，
则f′(x)在区间x∈[0,π2]上单调递减，设φ(x)=f′(x)，
则φ′(x)=sinx+2a，所以sinx+2a≤0在x∈[0,π2]恒成立，
则2a≤−sinx在x∈[0,π2]恒成立，
又当x=π2时，函数y=−sinx取最小值，且最小值为−1，
所以有2a≤−1，解得a≤−12，
即a的取值范围为(−∞,−12]．
(2)证明：当a=−1时，由f(x+1)=−sin(x+1)−(x+1)2−(x+1)得
g(x)=−sin(x+1)−(x2+2x+1)−(x+1)+x2+3x+ln(x+2)+2=−sin(x+1)+ln(x+2)．
令H(x)=g(x−1)=−sinx+ln(x+1)，x>−1，其中H(0)=0，
则H′(x)=−csx+1x+1，其中H′(0)=0．
①当x≥2时，H(x)=−sinx+ln(x+1)≥−1+ln3>0，
故H(x)在[2,+∞)无零点；
②当π2≤x<2时，由−csx≥0,1x+1>0，则H′(x)>0，
故故H(x)在[π2,2)单调递增，
H(π2)=−sinπ2+ln(π2+1)<0，且H(2)=−sin2+ln3>−1+1=0，
故由零点存在性定理可知H(x)在(π2,2)有且仅有一个零点；
③当0
又G′(0)=−1<0,G′(π2)=sinπ2−1(π2+1)2>0，
故存在x0∈(0,π2)，使得G′(x0)=0，
故当0
由G(0)=0,G(π2)=−csπ2+1π2+1=1π2+1>0，
故存在x1∈(0,π2)，使G(x1)=0，即H′(x1)=0，
故当0
又H(0)=0,H(π2)=−sinπ2+ln(π2+1)<−1+lne=0，
故当x∈(0,π2)时，H(x)<0，即H(x)在(0,π2)无零点；
④当−1
所以H′(x)=−csx+1x+1>0，则H(x)在(−1,0)单调递增，
则H(x)
由H(x)=g(x−1)，即将H(x)图象向左移1个单位可得g(x)的图象．
故g(x)也有两个零点，一个零点为−1，另一个零点在(π2−1,1)内．
故g(x)=f(x+1)+x2+3x+ln(x+2)+2有且仅有两个零点，命题得证． 年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
年利润y(单位：千元)
29
33
36
44
48
52
59
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