还剩6页未读，
继续阅读
2024-2025学年江苏省扬州市高邮市高三（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案）
展开
这是一份2024-2025学年江苏省扬州市高邮市高三（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合U={1,2,3,4}，M={x|x2−7x+p=0}，若∁UM={1,2}，则实数p的值为( )
A. −6B. −12C. 12D. 6
2.已知a，b∈R，那么“lg12a>lg12b”是“aA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.关于实数x的不等式x2+bx+c>0的解集是{x|x<−2或x>5}，则关于x的不等式cx2+bx+1>0的解集是( )
A. (−∞,−12)∪(15,+∞)B. (−∞,−15)∪(12,+∞)
C. (−12,15)D. (−15,12)
4.若−π2<α<−π4，则点P(sinα+csα,tanα−sinα)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.若函数f(x)=x+ax−1,x≥2ax−1,x<2在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (1,2]C. (1,4]D. [2,4]
6.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π6个单位，所得的函数图象关于x=π6对称，则φ=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
7.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD,csB= 55,cs∠ACB= 1010,BC= 5,△ACD的面积为3，则CD长为( )
A. 52B. 5C. 172D. 11
8.已知函数f(x)，g(x)的定义域均是R，f(x)满足f(4+x)+f(−x)=0，g(0)=g(2)=1，g(x+y)+g(x−y)=g(x)f(y)，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)为奇函数B. g(x)为偶函数
C. g(−1−x)=g(−1+x)D. g(1−x)=g(1+x)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各结论正确的是( )
A. “xy≥0”是“xy≥0”的充要条件
B. 命题“∀x>0，有x2+x>0”的否定是“∃x>0，使x2+x≤0”
C. x2+3+1 x2+3的最小值为2
D. 若aa+mb+m
10.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2)，下列选项中正确的是( )
A. σ越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)的概率越大
B. 该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5
C. 该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等
D. 该物理量在一次测量中落在(9.8,10.2)与落在(9.9,10.3)的概率相等
11.已知函数f(x)=|cs2x|+cs|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为( )
A. f(x)的图像关于y轴对称
B. π不是f(x)的一个周期
C. f(x)在区间[π2,π]上单调递减
D. 当x∈[0,π2]时，f(x)的值域为[ 22,2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“∀x∈R，x2+2x+a>0”是假命题，则实数a的取值范围为______．
13.已知sinα+sin(α+π3)=2 33，则sin(2α−π6)= ______．
14.若ax≥lnx+2b对一切x∈(0,+∞)恒成立，则ba的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知f(α)=sin(−α+3π2)⋅cs(α−π2)⋅tan2(−α−π)sin(α−π)cs(−π2−α)
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=2，求3cs2α−sin2α的值．
16.(本小题15分)
已知三棱锥A−BCD，AD⊥底面BCD，BC⊥CD，AD=4，BC=CD=2，点P是AD的中点，点Q为线段BC上一动点，点M在线段DQ上．
(1)若PM//平面ABC，求证：M为DQ的中点；
(2)若Q为BC的中点，求直线DQ与平面ABC所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量(单位：台)”与“当年的月份”线性相关.根据统计得下表：
(1)根据往年的统计得，当年的月份x与销量y满足回归方程y =10x+t.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？
(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记X为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，满足cbcsA− 3tanA=1．
(1)求角B的大小；
(2)若b=2，求△ABC面积的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex[x2−(a+2)x+a+3]．
(1)讨论f(x)在区间R上的单调性；
(2)若f(x)在(0,3)上有两个极值点x1，x2．
①求实数a的取值范围；
②求证：f(x1)f(x2)<4e2．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.C
5.B
6.D
7.B
8.D
9.BD
10.BC
11.ABD
12.(−∞,1]
13.−19
14.12
15.解：(1)根据诱导公式可得：f(α)=(−csα)⋅sinα⋅tan2α(−sinα)⋅(−sinα)=−tanα，
即f(α)=−tanα．
(2)由(1)得tanα=−2，
所以3cs2α−sin2α=3(cs2α−sin2α)−2sinα⋅csαsin2α+cs2α
=3−3tan2α−2tanαtan2α+1=3−12+44+1=−1，
即3cs2α−sin2α=−1．
16.(1)证明：连接AQ，因为PM//平面ABC，PM⊂平面ADQ，
平面ADQ∩平面ABC=AQ，所以PM//AQ，
又因为P是AD的中点，
所以M是DQ中点；
(2)解：方法一：因为AD⊥底面BCD，BC⊥CD，如图建立坐标系C−xyz，
则D(2,0,0)，B(0,2,0)，A(2,0,4)，Q(0,1,0)，
可得DQ=(−2,1,0)，CA=(2,0,4),CB=(0,2,0)，
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅CA=2x+4z=0n⋅CB=2y=0，
令z=1，可得n=(−2,0,1)，
DQ⋅n=(−2)×(−2)+1×0+0×1=4，|DQ|= (−2)2+12+02= 5，|n|= (−2)2+02+12= 5，
所以cs=DQ⋅n|DQ|⋅|n|=4 5⋅ 5=45，
设直线DQ与平面ABC所成角为θ，θ∈[0,π2]，
则sinθ=|cs|=45，
则csθ=35，
因此直线DQ与平面ABC所成角的余弦值为35．
方法二：过点D作DN⊥AC交AC于N，连接QN，
因为AD⊥底面BCD，BC⊂底面BCD，则AD⊥BC，
且BC⊥CD，AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ACD，则BC⊥平面ACD，
由DN⊂平面ACD，可得BC⊥DN，且AC∩BC=C，
AC，BC⊂平面ABC，所以DN⊥平面ABC，
可知∠DQN即为直线DQ与平面ABC所成角，
在Rt△ACD中，CD=2，AD=4，
则AC=2 5，所以DN=4 55，
又DQ= 5，所以QN=3 55，则cs∠DQN=QNQD=35，
所以直线DQ与平面ABC所成角的余弦值为35．
17.解：(1)∵x−=16(1+2+3+4+5+6)=3.5，
y−=16(10+19+31+45+55+68)=38，
又回归直线过样本中心点(x−,y−)，
∴38=10×3.5+t，得t=3，∴y =10x+3，
∴当x=7时，y =73，
∴预测当年7月份该品牌的空调可以销售73台；
(2)∵y−=38，∴销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6，
∴X=0，1，2，
∴P(X=0)=C32C62=15,P(X=1)=C31⋅C31C62=35,P(X=2)=C32C62=15，
∴X的分布列为：
∴E(X)=0×15+1×35+2×15=1．
18.解：(1)由cbcsA− 3tanA=1，可得cbcsA− 3sinAcsA=1，
即c= 3bsinA+bcsA，
根据正弦定理得sinC= 3sinBsinA+sinBcsA，
因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
即sinAcsB= 3sinBsinA，
又因为A∈(0,π)，所以sinA>0，
可得csB= 3sinB，所以tanB= 33，
因为B∈(0,π)，
所以B=π6；
(2)在△ABC中，b=2，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=4，
可得a=4sinA，c=4sinC，
所以S△ABC=12acsinB=4sinAsinC=4sinAsin(π6+A)=4sinA(12csA+ 32sinA)
=2sinAcsA+2 3sin2A
=sin2A− 3cs2A+ 3
=2sin(2A−π3)+ 3，
因为△ABC为锐角三角形，可得0解得π3所以2A−π3∈(π3,2π3)，
所以sin(2A−π3)∈( 32,1],
所以S△ABC∈(2 3,2+ 3]．
即△ABC面积的取值范围为(2 3,2+ 3]．
19.解：(1)函数f(x)=ex[x2−(a+2)x+a+3]，定义域为R，f′(x)=ex(x2−ax+1)，
当Δ=a2−4≤0，即−2≤a≤2时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在R上单调递增；
当Δ=a2−4>0，即a<−2或a>2时，
令f′(x)>0，得xa+ a2−42，所以f(x)的单调递增区间是(−∞,a− a2−42)和(a+ a2−42,+∞)，
令f′(x)<0，得a− a2−42综上所述：当−2≤a≤2时，f(x)单调递增区间是(−∞,+∞)，无单调递减区间；
当a<−2或a>2时，f(x)的单调递增区间是(−∞,a− a2−42)和(a+ a2−42,+∞)，
单调减区间是(a− a2−42,a+ a2−42)；
(2)①因为f(x)在(0,3)有两个极值点x1，x2，
所以g(x)=x2−ax+1在(0,3)有两个不等零点x1，x2，
所以Δ=a2−4>000g(3)=10−3a>0，解得2②证明：由①知x1+x2=a，x1x2=1．
所以f(x1)=ex1[x12−(a+2)x1+a+3]=ex1[ax1−1−(a+2)x1+a+3]=ex1(−2x1+a+2)，
同理f(x2)=ex2(−2x2+a+2)．
所以f(x1)f(x2)=ex1+x2(−2x1+a+2)(−2x2+a+2)=ex1+x2[4x1x2−2(a+2)(x1+x2)+(a+2)2]=ea[4−2(a+2)a+(a+2)2]=ea(8−a2)，
设ℎ(x)=ex(8−x2),x∈(2,103)，所以ℎ′(x)=−ex(x+4)(x−2)<0，
所以函数ℎ(x)在区间(2,103)上单调递减，
所以ℎ(x)<ℎ(2)=4e2，所以f(x1)f(x2)<4e2． 月份x
1
2
3
4
5
6
销量y
10
19
31
45
55
68
X
0
1
2
P
15
35
15
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合U={1,2,3,4}，M={x|x2−7x+p=0}，若∁UM={1,2}，则实数p的值为( )
A. −6B. −12C. 12D. 6
2.已知a，b∈R，那么“lg12a>lg12b”是“a
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.关于实数x的不等式x2+bx+c>0的解集是{x|x<−2或x>5}，则关于x的不等式cx2+bx+1>0的解集是( )
A. (−∞,−12)∪(15,+∞)B. (−∞,−15)∪(12,+∞)
C. (−12,15)D. (−15,12)
4.若−π2<α<−π4，则点P(sinα+csα,tanα−sinα)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.若函数f(x)=x+ax−1,x≥2ax−1,x<2在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (0,1)B. (1,2]C. (1,4]D. [2,4]
6.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π6个单位，所得的函数图象关于x=π6对称，则φ=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
7.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD,csB= 55,cs∠ACB= 1010,BC= 5,△ACD的面积为3，则CD长为( )
A. 52B. 5C. 172D. 11
8.已知函数f(x)，g(x)的定义域均是R，f(x)满足f(4+x)+f(−x)=0，g(0)=g(2)=1，g(x+y)+g(x−y)=g(x)f(y)，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)为奇函数B. g(x)为偶函数
C. g(−1−x)=g(−1+x)D. g(1−x)=g(1+x)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各结论正确的是( )
A. “xy≥0”是“xy≥0”的充要条件
B. 命题“∀x>0，有x2+x>0”的否定是“∃x>0，使x2+x≤0”
C. x2+3+1 x2+3的最小值为2
D. 若a
10.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2)，下列选项中正确的是( )
A. σ越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)的概率越大
B. 该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5
C. 该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等
D. 该物理量在一次测量中落在(9.8,10.2)与落在(9.9,10.3)的概率相等
11.已知函数f(x)=|cs2x|+cs|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为( )
A. f(x)的图像关于y轴对称
B. π不是f(x)的一个周期
C. f(x)在区间[π2,π]上单调递减
D. 当x∈[0,π2]时，f(x)的值域为[ 22,2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“∀x∈R，x2+2x+a>0”是假命题，则实数a的取值范围为______．
13.已知sinα+sin(α+π3)=2 33，则sin(2α−π6)= ______．
14.若ax≥lnx+2b对一切x∈(0,+∞)恒成立，则ba的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知f(α)=sin(−α+3π2)⋅cs(α−π2)⋅tan2(−α−π)sin(α−π)cs(−π2−α)
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=2，求3cs2α−sin2α的值．
16.(本小题15分)
已知三棱锥A−BCD，AD⊥底面BCD，BC⊥CD，AD=4，BC=CD=2，点P是AD的中点，点Q为线段BC上一动点，点M在线段DQ上．
(1)若PM//平面ABC，求证：M为DQ的中点；
(2)若Q为BC的中点，求直线DQ与平面ABC所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量(单位：台)”与“当年的月份”线性相关.根据统计得下表：
(1)根据往年的统计得，当年的月份x与销量y满足回归方程y =10x+t.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？
(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记X为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，满足cbcsA− 3tanA=1．
(1)求角B的大小；
(2)若b=2，求△ABC面积的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex[x2−(a+2)x+a+3]．
(1)讨论f(x)在区间R上的单调性；
(2)若f(x)在(0,3)上有两个极值点x1，x2．
①求实数a的取值范围；
②求证：f(x1)f(x2)<4e2．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.C
5.B
6.D
7.B
8.D
9.BD
10.BC
11.ABD
12.(−∞,1]
13.−19
14.12
15.解：(1)根据诱导公式可得：f(α)=(−csα)⋅sinα⋅tan2α(−sinα)⋅(−sinα)=−tanα，
即f(α)=−tanα．
(2)由(1)得tanα=−2，
所以3cs2α−sin2α=3(cs2α−sin2α)−2sinα⋅csαsin2α+cs2α
=3−3tan2α−2tanαtan2α+1=3−12+44+1=−1，
即3cs2α−sin2α=−1．
16.(1)证明：连接AQ，因为PM//平面ABC，PM⊂平面ADQ，
平面ADQ∩平面ABC=AQ，所以PM//AQ，
又因为P是AD的中点，
所以M是DQ中点；
(2)解：方法一：因为AD⊥底面BCD，BC⊥CD，如图建立坐标系C−xyz，
则D(2,0,0)，B(0,2,0)，A(2,0,4)，Q(0,1,0)，
可得DQ=(−2,1,0)，CA=(2,0,4),CB=(0,2,0)，
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅CA=2x+4z=0n⋅CB=2y=0，
令z=1，可得n=(−2,0,1)，
DQ⋅n=(−2)×(−2)+1×0+0×1=4，|DQ|= (−2)2+12+02= 5，|n|= (−2)2+02+12= 5，
所以cs
设直线DQ与平面ABC所成角为θ，θ∈[0,π2]，
则sinθ=|cs
则csθ=35，
因此直线DQ与平面ABC所成角的余弦值为35．
方法二：过点D作DN⊥AC交AC于N，连接QN，
因为AD⊥底面BCD，BC⊂底面BCD，则AD⊥BC，
且BC⊥CD，AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ACD，则BC⊥平面ACD，
由DN⊂平面ACD，可得BC⊥DN，且AC∩BC=C，
AC，BC⊂平面ABC，所以DN⊥平面ABC，
可知∠DQN即为直线DQ与平面ABC所成角，
在Rt△ACD中，CD=2，AD=4，
则AC=2 5，所以DN=4 55，
又DQ= 5，所以QN=3 55，则cs∠DQN=QNQD=35，
所以直线DQ与平面ABC所成角的余弦值为35．
17.解：(1)∵x−=16(1+2+3+4+5+6)=3.5，
y−=16(10+19+31+45+55+68)=38，
又回归直线过样本中心点(x−,y−)，
∴38=10×3.5+t，得t=3，∴y =10x+3，
∴当x=7时，y =73，
∴预测当年7月份该品牌的空调可以销售73台；
(2)∵y−=38，∴销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6，
∴X=0，1，2，
∴P(X=0)=C32C62=15,P(X=1)=C31⋅C31C62=35,P(X=2)=C32C62=15，
∴X的分布列为：
∴E(X)=0×15+1×35+2×15=1．
18.解：(1)由cbcsA− 3tanA=1，可得cbcsA− 3sinAcsA=1，
即c= 3bsinA+bcsA，
根据正弦定理得sinC= 3sinBsinA+sinBcsA，
因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
即sinAcsB= 3sinBsinA，
又因为A∈(0,π)，所以sinA>0，
可得csB= 3sinB，所以tanB= 33，
因为B∈(0,π)，
所以B=π6；
(2)在△ABC中，b=2，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=4，
可得a=4sinA，c=4sinC，
所以S△ABC=12acsinB=4sinAsinC=4sinAsin(π6+A)=4sinA(12csA+ 32sinA)
=2sinAcsA+2 3sin2A
=sin2A− 3cs2A+ 3
=2sin(2A−π3)+ 3，
因为△ABC为锐角三角形，可得0
所以sin(2A−π3)∈( 32,1],
所以S△ABC∈(2 3,2+ 3]．
即△ABC面积的取值范围为(2 3,2+ 3]．
19.解：(1)函数f(x)=ex[x2−(a+2)x+a+3]，定义域为R，f′(x)=ex(x2−ax+1)，
当Δ=a2−4≤0，即−2≤a≤2时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在R上单调递增；
当Δ=a2−4>0，即a<−2或a>2时，
令f′(x)>0，得x
令f′(x)<0，得a− a2−42
当a<−2或a>2时，f(x)的单调递增区间是(−∞,a− a2−42)和(a+ a2−42,+∞)，
单调减区间是(a− a2−42,a+ a2−42)；
(2)①因为f(x)在(0,3)有两个极值点x1，x2，
所以g(x)=x2−ax+1在(0,3)有两个不等零点x1，x2，
所以Δ=a2−4>00
所以f(x1)=ex1[x12−(a+2)x1+a+3]=ex1[ax1−1−(a+2)x1+a+3]=ex1(−2x1+a+2)，
同理f(x2)=ex2(−2x2+a+2)．
所以f(x1)f(x2)=ex1+x2(−2x1+a+2)(−2x2+a+2)=ex1+x2[4x1x2−2(a+2)(x1+x2)+(a+2)2]=ea[4−2(a+2)a+(a+2)2]=ea(8−a2)，
设ℎ(x)=ex(8−x2),x∈(2,103)，所以ℎ′(x)=−ex(x+4)(x−2)<0，
所以函数ℎ(x)在区间(2,103)上单调递减，
所以ℎ(x)<ℎ(2)=4e2，所以f(x1)f(x2)<4e2． 月份x
1
2
3
4
5
6
销量y
10
19
31
45
55
68
X
0
1
2
P
15
35
15
相关试卷
江苏省扬州市高邮市2025届高三上学期10月学情调研测试数学试卷(含答案)： 这是一份江苏省扬州市高邮市2025届高三上学期10月学情调研测试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
[数学]2024～2025学年江苏省扬州市高邮市高三(上)学情调研试卷(10月份)(有答案)： 这是一份[数学]2024～2025学年江苏省扬州市高邮市高三(上)学情调研试卷(10月份)(有答案)，共9页。
江苏省高邮市2024-2025学年2025届高三（上）学期10月学情调研测试数学： 这是一份江苏省高邮市2024-2025学年2025届高三（上）学期10月学情调研测试数学，文件包含江苏省高邮市2024-2025学年2025届高三上学期10月学情调研测试数学试卷解析版pdf、江苏省高邮市2024-2025学年2025届高三上学期10月学情调研测试数学试卷解析版docx、江苏省高邮市2024-2025学年2025届高三上学期10月学情调研测试数学试卷docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
