2024-2025学年北京市西城区铁路第二中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区铁路第二中学高三上学期10月月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2−1<0},则A∪B=
A. (−1,1)B. (0,1)C. (−1,+∞)D. (0,+∞)
2.函数fx= x−1x−4的定义域为( )
A. 1,4B. 1,4
C. −∞,1∪4,+∞D. −∞,1∪4,+∞
3.已知角α的终边经过点−1,2，则tan2α的值为( )
A. 45B. −45C. −43D. 43
4.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A. y=x2+sinxB. y=x2−csxC. y=2x+12xD. y=x+sin2x
5.已知f(x)，α∈3π2,2π，则sinπ+α=( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
6.等差数列an的首项为1，公差不为0，若a2,a3,a6成等比数列，则an前6项的和为( )
A. −24B. −3C. 3D. 8
7.已知函数fx=lnx+ax，则“a<0”是“函数fx在区间1,+∞上存在零点”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数fx=−x2−ax−5,x≤1ax,x>1是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A. a≤−2B. a<0C. −39.已知正实数a，b满足不等式ab+1A. B. C. D.
10.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(π2,π)单调递增
③f(x)在[−π,π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.设i是虚数单位，若复数a+i2−i为纯虚数，那么实数a= ．
12.已知α∈π2,π，sinα=45，则csα+π3= ．
13.已知(x−ax)7展开式中x5的系数为21，则实数a的值为 ．
14.数列an的前n项和记为Sn，若Sn=n2+3n2，n∈N+，则数列an的通项公式为an= ，若bn:bn=1anan+1，则数列bn的前n项和为 ．
15.一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，有以下四个说法：
①在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；
②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km；
③大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；
④在图2的四条曲线(S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹．
其中，所有正确说法的序号是 ．
16.已知函数f(x)=2x−a −kx−3，给出下列四个结论：
①若a=1，则函数f(x)至少有一个零点；
②存在实数a，k，使得函数f(x)无零点；
③若a>0，则不存在实数k，使得函数f(x)有三个零点；
④对任意实数a，总存在实数k使得函数f(x)有两个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在▵ABC中，∠A=60∘,c=37a．
(1)求sinC的值；
(2)若a=7，求▵ABC的面积．
18.(本小题12分)
已知函数fx=cs2ωx+ 3sinωxcsωx+m(ω>0,m∈R).再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数fx的解析式的两个作为已知．
(1)求fx的解析式及fx在0,π2的最大值和最小值；
(2)若函数fx在区间0,t(t>0)上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数fx的最小正周期为π；条件②：函数fx的图象经过点0,12；条件③：函数fx的最大值为32.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
19.(本小题12分)
为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
(1)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
(2)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E(X)；
(3)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(020.(本小题12分)
已知函数f(x)=12 ax2+ln x，其中a∈R．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值是−1，求a的值．
21.(本小题12分)
已知函数fx=xlnx−x2+1．
(1)求fx在点1,f1处的切线方程；
(2)判断fx的零点个数，并说明理由；
(3)证明：函数y=fx−xex+x2的图象在直线y=−2x+1的下方．
22.(本小题12分)
设λ为正实数，若各项均为正数的数列an满足：∀n∈N∗，都有an+1≥an+λ.则称数列an为P(λ)数列．
(1)判断以下两个数列是否为P(2)数列：
数列A：3，5，8，13，21；
数列B：lg25，π，5，10．
(2)若数列bn满足b1>0且bn+1=bn+ n+3− n+1，是否存在正实数λ，使得数列bn是P(λ)数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
(3)若各项均为整数的数列an是P(1)数列，且an的前m(m≥2)项和a1+a2+a3+⋯+am为150，求am+m的最小值及取得最小值时am的所有可能取值．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.A
5.C
6.A
7.C
8.D
9.B
10.C
11.12/0.5
12.−3+4 310
13.−3
14.n+1
n2n+2

15.①④．
16.①②④
17.解：(1)根据正弦定理asinA=csinC，A=60​∘，c=37a．
可得sinC=c×sinAa=37×sin60∘
=37× 32=3 314；
(2)当a=7时，
由c=37a=3，
∵sinC=3 314，c∴角C为锐角，
∴csC= 1−sin2C=1314，
在△ABC中，sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)
=sinA×csC+csA×sinC
= 32×1314+12×3 314=47 3，
∴S△ABC=12ac×sin B
=12×7×3×47 3=6 3．
18.(1)由题可知，fx=cs2ωx+ 3sinωxcsωx+m= 32sin2ωx+12cs2ωx+m+12
=sin(2ωx+π6)+m+12．
选择①②：
因为T=2π2ω=π，所以ω=1.又因为f(0)=1+m=12，所以m=−12．
所以f(x)=sin(2x+π6)．
因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，−12≤sin(2x+π6)≤1，
所以函数f(x)的最小值为−12，最大值为1．
选择①③：
因为为T=2π2ω=π，所以ω=1．
又因为函数f(x)的最大值为m+32=32，所以m=0．
所以f(x)=sin(2x+π6)+12．
因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，−12≤sin(2x+π6)≤1，
所以函数f(x)的最小值为0，最大值为32．
选择②③：
因为f(0)=1+m=12，所以m=−12，
因为函数f(x)的最大值为m+32=32，所以m=0，
有矛盾，该条件组合不合题意．
(2)选择①②：
令sin(2x+π6)=0，则2x+π6=kπ,k∈Z，所以x=−π12+kπ2,k∈Z．
当k=1,2时，函数的零点为5π12,11π12，
由于函数fx在区间0,t上有且仅有1个零点，所以5π12≤t<11π12．
所以t的取值范围是5π12,11π12．
选择①③：
令sin(2x+π6)+12=0，
则2x+π6=2kπ+7π6,k∈Z，或2x+π6=2kπ+11π6,k∈Z，
所以x=kπ+π2,k∈Z，或x=kπ+5π6,k∈Z，
当k=0时，函数的零点分别为π2,5π6，
由于函数fx在区间上0,t有且仅有1个零点，所以π2≤t<5π6．
所以t的取值范围是[π2,5π6)．

19.解：(1)由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为2500×5601000=1400．
(2)由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为2001000=15．
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
所以PX=0=C301501−153=64125，
PX=1=C31151−152=48125，
PX=2=C321521−15=12125，
PX=3=C331531−150=1125．
所以X的分布列为
E(x)=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35．
(3)易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，
则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以a=42．
20.(1)f′(x)=ax2+1x，x∈(0,+∞)．
当a≥0时，f′(x)>0，从而函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，令f′(x)=0，解得x= −1或x=− −1(舍去)．
此时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
∴f(x)的单调增区间是(, −1，单调减区间是 −1，+∞)．
(2)①当a≥0时，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=a2．
令a2=−1，得a=−2，这与a≥0矛盾，不合题意．
②当−1≤a<0时， −1≥1，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=a2．
令a2=−1，得a=−2，这与−1≤a<0矛盾，不合题意．
③当a<−1时，0< −1<1，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f −1．
令f −1=−1，解得a=−e，符合a<−1．
综上，当f(x)在(0,1]上的最大值是−1时，a=−e．

21.(1)由fx=xlnx−x2+1，得f′x=lnx+1−2x，
所以f′1=ln1+1−2=−1，又f1=ln1−12+1=0，
所以fx在点1,f(1)处的切线方程为y−0=−1(x−1)，即x+y−1=0；
(2)f′x=lnx+1−2x，令ℎx=lnx+1−2x，所以ℎ′x=1x−2，
当00，函数ℎ(x)在(0,12)上单调递增，
当x>12时，ℎ’(x)<0，函数ℎ(x)在(12,+∞)上单调递减，
所以ℎ(x)≤ℎ12=ln12+1−2×12=ln12<0，
即f′x=lnx+1−2x<0对(0,+∞)恒成立，所以fx在(0,+∞)单调递减，
又f1=ln1−12+1=0，所以fx的零点个数为1个；
(3)要证函数y=fx−xex+x2的图象在直线y=−2x+1的下方，
即证fx−xex+x2<−2x+1，即证xlnx−x2+1−xex+x2<−2x+1，
即证xlnx−xex+2x<0，又x>0，所以即证lnx−ex+2<0，
即证lnx令g(x)=lnx−x+1，求导得g′x=1x−1，
当00，函数gx在(0,1)上单调递增，
当x>1时，g′x<0，函数gx在(1,+∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(1)=ln1−1+1=0，所以lnx≤x−1，
要证lnx令φ(x)=ex−2−(x−1)=ex−x−1，求导可得φ′(x)=ex−1，
当x>0时，φ′(x)>0，所以函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以φ(x)>φ(0)=0，即ex−x−1>0，
所以x−1所以函数y=fx−xex+x2的图象在直线y=−2x+1的下方．

22.(1)根据定义，P(2)数列应满足∀n∈N∗，都有an+1≥an+2，
即an+1−an≥2恒成立．
对于数列A：有5−3=2≥2，8−5=3≥2，13−8=5≥2，21−13=8≥2均满足，所以数列A是P(2)数列；
对于数列B，因为5−π<2不满足，所以数列B不是P(2)数列．
(2)不存在正实数λ，使得数列bn是P(λ)数列．
说明理由如下：假设存在正实数λ，使得数列bn是P(λ)数列，
则∀n∈N∗，都有bn+1≥bn+λ，即bn+1−bn≥λ恒成立．
因为bn+1=bn+ n+3− n+1，
所以bn+1−bn= n+3− n+1=2 n+3+ n+1<1 n，
当n>1λ2时，bn+1−bn<1 n<λ，这与假设矛盾．
所以，不存在正实数λ，使得数列bn是P(λ)数列．
(3)因为数列an是P(1)数列，所以an+1≥an+1．
所以am≥am−1+1≥am−2+2≥⋯≥a1+m−1≥m，
所以am−1≤am−1，am−2≤am−1−1≤am−2，am−3≤am−2−1≤am−3，⋯，a2≤a3−1≤am−m−2，a1≤a2−1≤am−m−1，
所以a1+a2+a3+⋯+am≤mam−1+2+3+⋯+m−1=mam−mm−12，
即150≤mam−mm−12，所以am≥150m+m2−12．
所以am+m≥150m+3m2−12≥2 150m×3m2−12=30−12=592，
因为数列an是整数列，所以am+m的最小值不小于30．
假设am+m=30，必有150m+3m2−12≤30，解得253≤m≤12，
因为m∈N∗，所以m可取9，10，11，12．
当m=9时，am=21，存在满足条件的数列．
a1=10，a2=14，a3=15，a4=16，a5=17，a6=18，a7=19，a8=20，a9=21；
当m=10时，am=20，存在满足条件的数列．
a1=6，a2=12，a3=13，a4=14，a5=15，a6=16，a7=17，a8=18，a9=19，a10=20；
当m=11时，am=19，存在满足条件的数列．
a1=5，a2=10，a3=11，a4=12，a5=13，a6=14，a7=15，a8=16，a9=17，a10=18，a11=19；
当m=12时，am=18，存在满足条件的数列．
a1=7，a2=8，a3=9，a4=10，a5=11，a6=12，a7=13，a8=14，a9=15，a10=16，a11=17，a12=18．
以上都是am+m=30的充分条件．
所以am+m的最小值为30，此时am的所有可能的取值为18，19，20，21．
毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98
x
(, −1)
−1
( −1a,+∞)
f′(x)
+
0
−
f(x)
f −1