2024-2025学年北京市朝阳区北京工业大学附属中学高三上学期9月月考数学试题（含答案）

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这是一份2024-2025学年北京市朝阳区北京工业大学附属中学高三上学期9月月考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设复数z=i2−i，则z=( )
A. 3B. 5C. 3D. 5
2.已知集合A=0,1,2，B=x∈N0A. 0,1B. 1,2C. 0,1,2D. 0,1,2,3
3.下列函数中，在区间0,+∞上单调递减的是( )
A. y=lg2xB. y=2−xC. y= x+1D. y=x3
4.“a>0>b”是“3a>3b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知球O的半径为2，球心到平面α的距离为 3，则球O被平面α截得的截面面积为( )
A. πB. 3πC. 3πD. 2 3π
6.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边过点P4,3，则tanα+π4的值为( )
A. −7B. −17C. 1D. 7
7.已知fx为定义在R上的函数，f2=2，且gx=f2x+x2为奇函数，则f−2=( )
A. −4B. −2C. 0D. 2
8.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且▵ADE,▵BCF均为等边三角形，EF//CD，EF=4，则该木楔的体积为( )
A. 2B. 2 2C. 2 23D. 8 23
9.已知▵ABC是边长为2的等边三角形，点D在线段AB上，AD=2DB，点E在线段CD上，且▵CAE与▵CDB的面积相等，则AE⋅BC的值为( )
A. −23B. −13C. 13D. 23
10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数fx=ae2x+bexab≠0,e=2.71828⋯来表示.下列结论正确的是( )
A. 若ab>0，则函数fx为奇函数B. 若ab>0，则函数fx有最小值
C. 若ab<0，则函数fx为增函数D. 若ab<0，则函数fx存在零点
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数fx= x+2+1x+1的定义域是．
12.已知向量a=−1,m，b=2,1，且a⊥b，则m= ．
13.将函数fx=csωx+π6ω>0的图象向左平移π个单位长度后得到函数gx的图象，则g−π= ；若gx为偶函数，则ω的最小值是．
14.已知函数fx=lnx,&x≥1,x+a2,&x<1,其中a∈R.若a=0，则函数fx的值域是；若函数y=fx−1有且仅有2个零点，则a的取值范围是．
15.已知an是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为Sn，且1an+1Sn=1n∈N∗.给出下列四个结论：
①S1+S3<2S2；
②a1+a3>2a2；
③对任意的n∈N∗，都有an≤1+1n；
④存在常数A>1，使得对任意的n∈N∗，都有an>A，
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数fx=sin2x−2cs2x．
(1)求fx的最小正周期及值域；
(2)求fx的单调递增区间．
17.已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
(Ⅰ)求an的通项公式；
(Ⅱ)求和：b1+b3+b5+…+b2n−1．
18.在▵ABC中，a= 2，B=π6.再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一，并求
(1)c的值；
(2)▵ABC的面积．
条件①：b=1；条件②：b=2；条件③：csA= 144．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.已知函数f(x)=excsx−x．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
20.已知fx=ex−ax−1，a∈R，e是自然对数的底数．
(1)当a=1时，求函数y=fx的极值；
(2)若关于x的方程fx+1=0有两个不等实根，求a的取值范围；
(3)当a>0时，若满足fx1=fx2x121.给定正整数n≥2，设数列a1,a2,...,an是1,2,...,n的一个排列，对i∈1,2,...,n，xi表示以ai为首项的递增子列的最大长度，yi表示以ai为首项的递减子列的最大长度．
(1)若n=4，a1=1，a2=4，a3=2，a4=3，求x1和y2；
(2)求证：∀i∈1,2,...,n−1，xi−yi2+xi+1−yi+12≠0；
(3)求i=1nxi−yi的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.A
5.A
6.D
7.A
8.D
9.C
10.D
11.−2,−1∪−1,+∞
12.2
13. 32；56
14.[0,+∞) ；；；；；；(−2,0]
15.①②③
16.(1)fx=sin2x−2cs2x=sin2x−cs2x−1= 2sin2x−π4−1，
故fx的最小正周期T=2π2=π，fx的值域为− 2−1, 2−1．
(2)根据(1)中所求，fx= 2sin2x−π4−1，
令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2,k∈Z，解得x∈kπ−π8,kπ+3π8,k∈Z．
故fx的单调增区间为：kπ−π8,kπ+3π8,k∈Z．

17.(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d．
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10．
解得d=2．
所以an=2n−1．
(Ⅱ)设等比数列的公比为q．
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9．
解得q2=3．
所以b2n−1=b1q2n−2=3n−1．
从而b1+b3+b5+⋯+b2n−1=1+3+32+⋯+3n−1=3n−12．

18.(1)若选条件①，asinB= 2sinπ6= 22，
∵asinB若选条件②，asinB= 2sinπ6= 22，
∵b> 2>asinB，∴满足条件的▵ABC有且仅有一个，
由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB=2+c2− 6c=4，
解得：c= 6+ 142或c= 6− 142(舍)，∴c= 6+ 142；
若选条件③，∵A∈0,π，csA= 144，∴sinA= 1−cs2A= 24；
由正弦定理得：b=asinBsinA= 2sinπ6 24=2，
由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB=2+c2− 6c=4，
解得：c= 6+ 142或c= 6− 142(舍)，则满足条件的▵ABC有且仅有一个，∴c= 6+ 142．
(2)由(1)知：c= 6+ 142，∴S▵ABC=12acsinB=12× 2× 6+ 142×12= 3+ 74．

19. 解：(1)因为f(x)=excs x−x，
所以f′(x)=ex(cs x−sin x)−1，f′(0)=0．
又因为f(0)=1，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1．
(2)设ℎ(x)=ex(cs x−sin x)−1，
则ℎ′(x)=ex(cs x−sin x−sin x−cs x)=−2exsin x．
当x∈0, π 2时，ℎ′(x)<0，
所以ℎ(x)在区间0,π2上单调递减，
所以对任意x∈0, π 2，有ℎ(x)⩽ℎ(0)=0，
即f′(x)⩽0.
所以函数f(x)在区间0,π2上单调递减．
因此f(x)在区间0,π2上的最大值为f(0)=1，
最小值为fπ2=−π2．

20.解：(1)当a=1时，f(x)=ex−x−1，定义域为R，
则f′(x)=ex−1，
令f′(x)=0，得x=0，
当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以y=f(x)在x=0处取到极小值0，无极大值；
(2)方程f(x)+1=ex−ax=0，
显然当x=0时，方程不成立，则a=exx，x≠0，
若方程有两个不等实根，即y=a与g(x)=exx有2个交点，
则g′(x)=(x−1)exx2，
当x<0或0并且x∈(−∞,0)时，g(x)<0，当x∈(0,1)时，g(x)>0，
当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，x>0时，当x=1时，g(x)取得最小值，g(1)=e，
作出函数y=g(x)的图象，如下图所示：
y=a与g(x)=exx有2个交点，
则a>e，
即a的取值范围为(e,+∞)；
(3)证明：f′(x)=ex−a，a>0 ，
令f′(x)=0，可得x=lna，
函数y=f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
由题意x1要证x1+x2<2lna，只需证x1<2lna−x2，
而x1<2lna−x2故只需证f(x1)>f(2lna−x2)，
又f(x1)=f(x2)，所以只需证f(x2)>f(2lna−x2)，
即证f(x2)−f(2lna−x2)>0，
令ℎ(x)=f(x)−f(2lna−x)，
即ℎ(x)=ex−ax−1−[e2lna−x−a(2lna−x)−1]=ex−a2e−x−2ax+2alna，ℎ′(x)=ex+a2e−x−2a，
由均值不等式可得ℎ′(x)=ex+a2e−x−2a≥2 ex⋅a2e−x−2a=0，当且仅当ex=a2e−x，即x=lna时，等号成立，
所以函数ℎ(x)在R上单调递增，
由x2>lna，可得ℎ(x2)>ℎ(lna)=0，即f(x2)−f(2lna−x2)>0，
所以f(x1)>f(2lna−x2)，
又函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，
所以x1<2lna−x2，
即x1+x2<2lna得证．
21.(1)以a1为首项的最长递增子列是a1,a3,a4，以a2为首项的最长递减子列是a2,a3和a2,a4．
所以x1=3，y2=2．
(2)对i∈1,2,...,n−1，由于a1,a2,...,an是1,2,...,n的一个排列，故ai≠ai+1．
若ai得到一个以ai为首项的更长的递增子列，所以xi>xi+1；
而每个以ai为首项的递减子列都不包含ai+1，且ai故可将ai替换为ai+1，得到一个长度相同的递减子列，所以yi≤yi+1．
这意味着xi−yi>xi+1−yi+1；
若ai>ai+1，同理有yi>yi+1，xi≤xi+1，故xi−yi总之有xi−yi≠xi+1−yi+1，从而xi−yi和xi+1−yi+1不能同时为零，
故xi−yi2+xi+1−yi+12≠0．
(3)根据小问2的证明过程知xi−yi和xi+1−yi+1不能同时为零，故xi−yi+xi+1−yi+1≥1．
情况一：当n为偶数时，设n=2k，则一方面有
i=1nxi−yi=i=1kx2i−1−y2i−1+x2i−y2i≥i=1k1=k=n2；
另一方面，考虑这样一个数列a1,a2,...,an：a2i−1=k−i+1a2i=k+i,i=1,2,...,k．
则对i=1,2,...,k，有x2i−1=k−i+2x2i=k−i+1,y2i−1=k−i+1y2i=k−i+1．
故此时i=1nxi−yi=i=1kx2i−1−y2i−1=i=1k1=k=n2．
结合以上两方面，知i=1nxi−yi的最小值是n2．
情况二：当n为奇数时，设n=2m−1，则一方面有
i=1nxi−yi≥i=1n−1xi−yi=i=1m−1x2i−1−y2i−1+x2i−y2i≥i=1m−11=m−1=n−12；
另一方面，考虑这样一个数列a1,a2,...,an：a1=ma2i=m+ia2i+1=m−i,i=1,2,...,m−1．
则对i=1,2,...,m−1，有x1=mx2i=m−ix2i+1=m−i,y1=my2i=m−i+1y2i+1=m−i．
故此时i=1nxi−yi=i=1m−1x2i−y2i=i=1m−11=m−1=n−12．
结合以上两方面，知i=1nxi−yi的最小值是n−12．
综上，当n为偶数时，i=1nxi−yi的最小值是n2；当n为奇数时，i=1nxi−yi的最小值是n−12．

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