贵州省贵阳“七校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)
展开这是一份贵州省贵阳“七校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案),共10页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.已知复数z满足a+i⋅z=i−z,若复数z为纯虚数,则实数a的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.设集合A=x∣x2−3x+2≤0,B={x∣a
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若向量a,b,c都是单位向量,且a+b=c,则a与a−b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.为了了解某班学生数学成绩,利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本,统计如下:
则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为( )
A. 77.5,5B. 77.5,11C. 78,5D. 78,11
5.已知函数fx=ex−1ex+1,且满足fm2+fm−2>0,则实数m的取值范围是( )
A. 1,+∞B. −∞,−2
C. −∞,−2∪1,+∞D. −2,1
6.如图甲,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,将▵AED,▵BEF,▵DCF分别沿DE,EF,DF折起,使得A,B,C三点重合于点A′,如图乙,若三棱锥A′−EFD的所有顶点均在球O的球面上,则球O的体积为( )
A. 6πB. 6πC. 8πD. 8 6π
7.已知函数fx=x3+bx2+cx的图像如图所示,x1,x2是fx的极值点,则fx1−fx2x1−x2等于( )
A. −12B. −23C. −1D. −43
8.已知a>0,b>0,且a+2b=2,若3t2−t≤ba+2b恒成立,则实数t的取值范围是( )
A. −23,1B. −1,23C. −43,1D. −1,43
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A. ω=2
B. 函数fx的图象关于直线x=−512π对称
C. 函数fx−2π3是偶函数
D. 将函数fx图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到函数y=2sinx+π3的图象
10.已知直线l:kx+y+2k−1=0与圆C:x2+y2−6y−7=0相交于A,B两点,下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过某一定点
B. k=1时,AB最大
C. AB的最小值为4 2
D. 当k=2时,对任意λ∈R,曲线x2+y2+2λx+λ−6y+3λ−7=0过直线l与圆C的交点
11.我们知道,函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是函数y=fx+a−b为奇函数.已知函数fx是定义在R上的可导函数,其导函数为gx,若函数y=fx+2−1是奇函数,函数y=gx+1是偶函数,则( )
A. f2=1B. g2=1
C. 函数y=fx−1是奇函数D. k=12024f(k)=1012
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.在▵ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA−sinBsinC−sinB=ca+b,则A= .
13.若 x−axn的展开式的二项式系数和为32,且x−2的系数为80,则实数a的值为 .
14.设函数fx=x3−ax2+x−alg12x+b,若fx≤0,则3a+3b的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=2an−n.
(1)求证an+1为等比数列;
(2)求数列Sn的前n项和Tn.
16.(本小题12分)
如图甲,中国是风筝的故乡,南方称“鹞”,北方称“鸢”.某种风筝的骨架模型是是四棱锥P−ABCD,其中AB=AD=AP= 5,CB=CD=CP=2 5,AC交BD于点O,如图乙.
(1)求证:AC⊥平面PBD;
(2)若AC=5,PB=2 2,点Q是线段PC的中点,求直线BQ与平面PAD所成角的正弦值.
17.(本小题12分)
已知函数fx=ax−lnx.
(1)讨论fx的单调性;
(2)若a=1,且fx≤2kex−xx,求k的取值范围.
18.(本小题12分)
某校将进行篮球定点投篮测试,规则为:每人至多投3次,在M处投一次三分球,投进得3分,未投进不得分,在N处连续投2次两分球,每投进一次得2分,未投进不得分,测试者累计得分高于3分即通过测试,并终止投篮(若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮).甲同学为了通过测试,刻苦训练,投中3分球的概率为15,投中2分球的概率为12,且每次投篮结果互不影响.
(1)若甲同学先投3分球,求他投篮2次就终止投篮的概率;
(2)为使通过测试的概率最大,甲同学应先投几分球?
(3)为使投篮累计得分期望最大,甲同学应先投几分球?
19.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2a2−2=1a>0过点P,F为C的右焦点,PF⊥x轴,且PF=1,如图,过点P的两条动直线交椭圆于Ax1,y1,Bx2,y2.
(1)求实数a的值;
(2)设M是C的动点,过点M作直线x=2 2的垂线MN,N为垂足,求MFMN;
(3)记∠FBA=α,∠FAB=β,若直线AB的斜率为 22,求sinα−sinβ的最大值.
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.C
6.A
7.B
8.D
9.ABD
10.ACD
11.AB
12.π3 或60°
13.−2
14.2 3
15.(1)证明:当n=1时,S1=a1=2a1−1,
解得a1=1.
因为Sn=2an−n①
所以Sn−1=2an−1−n−1,n≥2②
①−②得:
an=2an−2an−1−1,
整理得an=2an−1+1,
所以an+1=2an−1+2=2an−1+1,
即an+1an−1+1=2n≥2,
又a1+1=2,
所以数列an+1是以2为首项,以2为公比的等比数列.
(2)由(1)知an+1=2×2n−1=2n,
所以an=2n−1,
所以Sn=2+22+⋯+2n−n=21−2n1−2−n=2n+1−n−2,
所以Tn=S1+S2+S3+…+Sn
=22+23+24+…+2n+1−3+4+5+…+n+2
=41−2n1−2−n3+n+22
=2n+2−n2+5n2−4.
16.解:(1)
证明:因为AB=AD,CB=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC,
有∠BAC=∠DAC,又AB=AD,AO=AO,所以△ABO≌△ADO
所以BO=OD,∠AOB=∠AOD=90∘,所以AC⊥BD.
同理▵ABC≌▵APC,▵ABO≌▵APO,有PO⊥AC,
又因为PO∩BD=O,PO⊂平面PBD,BD⊂平面PBD,
所以AC⊥平面PBD.
(2)
由(1)可知OB⊥OC,因为AB= 5,BC=2 5,AC=5,
所以AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90∘,
从而由等面积法,可知BO=105=2=PO,
由勾股定理,可知AO= 5−4=1,
因为PB=2 2,所以PB2=PO2+BO2,所以PO⊥OB.
又因为PO⊥AC,OB∩AC=O,OB,AC⊂平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD.
以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
由(1)可知BO=OD=OP,所以OD=OP=2,所以P0,0,2,
因为B2,0,0,A0,−1,0,D−2,0,0,C0,4,0,
因为点Q为线段PC的中点,所以Q0,2,1,
所以BQ=−2,2,1,PA=0,−1,−2,PD=−2,0,−2,
设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),
则PA⋅n=−y−2z=0PD⋅n=−2x−2z=0,令z=−1,解得x=1,y=2,
所以平面PAD的法向量为n=1,2,−1,
设直线BQ与平面PAD所成角为θ,
则sinθ=csn,BQ=n⋅BQn⋅BQ=1 6×3= 618,
所以直线BQ与平面PAD所成角的正弦值为 618.
17.解:(1)
由题意得fx的定义域为0,+∞,f′x=a−1x=ax−1x,
当a≤0,x∈0,+∞时,f’(x)<0,所以fx在区间(0,+∞)内单调递减;
当a>0时,令(2)f′x=0,得x=1a,
当x∈0,1a时,f′x<0,fx单调递减;
当x∈1a,+∞时,f′x>0,fx单调递增.
综上,当a≤0时,fx在区间(0,+∞)内单调递减;
当a>0时,fx在0,1a上单调递减,在1a,+∞上单调递增.
(2)
当a=1时,由fx≤2kex−xx,得x−lnx≤2kex−xx,
整理得2kex≥x2+x−xlnx,即2k≥x2+x−xlnxex.
令ℎx=x2+x−xlnxex,
则ℎ′x=2x+1−lnx−1ex−x2+x−xlnxexex2=x−lnx1−xex,
由(1)知,当a=1时,fx=x−lnx的最小值为f1=1>0,
即x−lnx>0恒成立,
所以当x∈(0,1)时,ℎ′x>0,ℎx单调递增;
当x∈(1,+∞)时,ℎ′x<0,ℎx单调递减.
故当x=1时,ℎ(x)取得最大值ℎ1=2e,即2k≥2e,
故k的取值范围为1e,+∞.
18.解:(1)
记甲同学先投3分球,投篮2次就终止投篮的事件为A,
pA=15×12+1−15×1−12=12.
(2)
记甲同学先投3分球通过测试的概率为p1,
则p1=15×12+15×1−12×12+1−15×12×12=720;
记甲同学先投2分球通过测试的概率为p2,
则p2=12×12+1−12×12×15+12×1−12×15=720;
因为p1=p2,故甲同学先投2分或先投3分是一样的.
(3)
记甲同学先投3分球投篮累计得分为X,先投2分球投篮累计得分为Y,
X可能取0,2,3,4,5,
PX=0=45×12=25,PX=2=45×12×12=15,
PX=3=15×12×12=120,PX=4=45×12×12=15,
PX=5=15×12+15×12×12=320,
EX=2×15+3×120+4×15+5×320=2.1.
Y可能取0,2,4,5,
PY=0=12×12=14,PY=2=C21×12×12×45=25,
PY=4=12×12=14,PY=5=C21×12×12×15=110,
EY=2×25+4×14+5×110=2310>2.1.
故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大.
19.解:(1)
由椭圆C:x2a2+y2a2−2=1a>0的方程,
得c2=a2−(a2−2)=2,故F 2,0,
因为点P在椭圆C上,PF⊥x轴,且PF=1,
所以P的坐标为 2,1,
代入椭圆方程得2a2+1a2−2=1,解得a2=4,a=2.
(2)
由(1)知椭圆C的方程为x24+y22=1,
设动点Mx0,y0,则x024+y022=1,所以y02=2−x022,
故MF= x0− 22+y02= x0− 22+2−x022= 12x02−4 2x0+8= 22x0−2 2,
又MN=x0−2 2,
所以MFMN= 22.
(3)
不妨设∠AFB=γ,▵ABF的外接圆半径为R,由∠FBA=α,∠FAB=β,
则在▵ABF中,由正弦定理AFsinα=BFsinβ=ABsinγ=2R,
所以AF=2Rsinα,BF=2Rsinβ,AB=2Rsinγ.
如图,过A,B分别作直线x=2 2的垂线,垂足分别为D,E,
过B作BG⊥AD于点G,
由(2)的结论可得AFAD= 22,BFBE= 22,
所以AF−BF= 22AD−BE,即2Rsinα−2Rsinβ= 22AG,
所以AG=2 2Rsinα−sinβ,
又kAB= 22,得tan∠BAG= 22,
则在Rt▵BAG中,cs∠BAG=AGAB= 63,即2 2Rsinα−sinβ2Rsinγ= 63,
所以sinα−sinβ= 33sinγ≤ 33,当且仅当γ=π2,即FA⊥FB时等号成立,
所以sinα−sinβ的最大值为 33.
学生数
平均分
方差
男生
6
80
7
女生
4
75
2
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