2024-2025学年陕西省西安市华清中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市华清中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的倾斜角( )
A. 45°B. 135°C. 90°D. 60°
2.已知集合M={x|y=lg (2x−3)}，N={y|y>1}，则M∩N=( )
A. (−1,32)B. (1,32)C. (1,+∞)D. (32,+∞)
3.若csα+sinαcsα=3，则tan(α−π4)=( )
A. −1B. 13C. 1D. 3
4.若正实数x，y满足3x+12y−2xy=0，则2x+y的最大值为( )
A. 427B. 13C. 227D. 127
5.已知空间向量a=(3,0,4)，b=(−3,2,5)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 1125(−3,2,5)B. 1138(−3,2,5)C. 1125(3,0,4)D. 1138(3,0,4)
6.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，点P在A1C上，且A1P=3PC，则AP=( )
A. 34a+34b+14c
B. 34a+14b+14c
C. 14a+34b+34c
D. 14a+14b−14c
7.直线l的倾斜角是直线5x+12y−1=0倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是( )
A. 5x+y−10=0B. y=−15x+1C. x−2+y10=1D. 5x−y−1=0
8.设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(2−x)=f(2+x)，且当x∈[−2,0]时，f(x)=2−(12)x，若在区间(−2,6]内关于x的方程f(x)−lga(x+2)=0(0A. (0,12)B. (0, 24)C. ( 24,12)D. (12,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若A(1,−3)，B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90°
C. 若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4)
D. 若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
10.下列等式成立的是( )
A. sin275°−cs275°= 32B. 12sin15°+ 32cs15°= 22
C. sin75°cs75°=14D. 1−tan15°1+tan15∘= 33
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若棱长为1，点E，F分别为线段B1D1、BC1上的动点，则下列结论正确结论的是( )
A. DB1⊥面ACD1
B. 面A1C1B//面ACD1
C. 点F到面ACD1的距离为定值 33
D. 直线AE与面BB1D1D所成角的正弦值为定值13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线(k+1)x−y+2=0的倾斜角为135°，则k= ______．
13.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为______．
14.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： (x−a)2+(y−b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离．结合上述观点，可得f(x)= x2+4x+20+ x2+2x+10的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinC+sinB)(c−b)=a(sinA−sinB)．
(1)求角C的大小；
(2)设c=3，CA⋅CB=1，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC/​/AD，AD⊥AB，∠ADC=45°，PA⊥，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=3．
(1)求异面直线PB与CD所成角的大小．
(2)求直线AD到平面PBC的距离．
18.(本小题17分)
2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数．
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者.若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．
19.(本小题17分)
如图，三棱台ABC−A1B1C1中，侧面四边形ACC1A1为等腰梯形，底面三角形ABC为正三角形，且AC=2A1C1=2.设D为棱A1C1上的点．
(1)若D为A1C1的中点，求证：AC⊥BD；
(2)若三棱台ABC−A1B1C1的体积为78，且侧面ACC1A1⊥底面ABC，试探究是否存在点D，使直线BD与平面BCC1B1所成角的正弦值为 1510？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.A
5.C
6.A
7.C
8.C
9.BC
10.ACD
11.ABC
12.−2
13.3：1：2
14.5 2
15.解：(1)直线l的方程可化为y=k(x+2)+1，
由{x+2=0y=1，解得x=−2y=1,
故无论k取何值，直线l总过定点(−2,1)；
(2)直线l的方程可化为y=kx+2k+1，
则直线l在y轴上的截距为2k+1，
且直线l总过定点(−2,1)，
故要使直线l不经过第四象限，
则k≥01+2k≥0，解得k≥0；
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为−1+2kk，在y轴上的截距为1+2k，
∴A−1+2kk,0，B(0,1+2k)．
又−1+2kk<0且1+2k>0，
∴k>0，
故S=12OAOB=12×1+2kk1+2k=124k+1k+4≥124+4=4，
当且仅当4k=1k，即k=12时取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x−2y+4=0．
16.解：(1)因为(sinC+sinB)(c−b)=a(sinA−sinB)，
所以由正弦定理得：(c+b)(c−b)=a(a−b)，即a2+b2−c2=ab，
所以由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=12．
因为C∈(0,π)，所以C=π3；
(2)因为CA⋅CB=1，所以abcsC=1，所以ab=2，
因为c2=a2+b2−2abcsC，所以9=(a+b)2−2ab−ab，
所以a+b= 15，
所以△ABC的周长为3+ 15．
17.解：(1)∠ADC=45°，AB=2，AD=3，
可得BC=AD−AB=3−2=1，
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,3,0)，
PB=(2,0,−2),CD=(−2,2,0)，
设异面直线PB与CD所成角为θ，则csθ=|PB⋅CD|PB|⋅|CD||=42 2×2 2=12，
所以异面直线PB与CD所成角大小为π3；
(2)由AD//BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
可得AD/​/平面PBC，
则直线AD到平面PBC的距离即为点A到平面PBC的距离．
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),PB=(2,0,−2),BC=(0,1,0)，
由n⋅PB=n⋅BC=0，即2x−2z=y=0，取x=1，得n=(1,0,1)，
又AB=(2,0,0)，
则点A到平面PBC的距离为d=|n⋅AB||n|=2 2= 2，
即直线AD到平面PBC的距离为 2．
18.解：(1)由题意可知10a+10b=0.3,10×(0.045+0.020+a)=0.7,
解得a=0.005,b=0.025,
可知每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；
(2)设第二组、第四组的平均数分别为x−1,x−2，方差分别为s12,s22，
且各组频率之比为：
(0.005×10)：(0.025×10)：(0.045×10)：(0.02×10)：(0.005×10)=1：5：9：4：1，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者51+5+9+4+1×20=5人，
第四组面试者41+5+9+4+1×20=4人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数为x−=5×62+4×809=70，
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差为：
s2=59[s12+(x−1−x−)2]+49[s22+(x−2−x−)2]=59×[40+(62−70)2]+49×[70+(80−70)2]=4003，
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是4003．
19.(1)证明：侧面四边形ACC1A1为等腰梯形，底面三角形ABC为正三角形，且AC=2A1C1=2，
D为棱A1C1上的中点，取AC的中点O，
连接DO，OB，
所以DO⊥AC，BO⊥AC，DO∩BO=O，
所以AC⊥平面DOB，
所以AC⊥BD；
(2)解：因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，设D′为A1C1的中点，由(1)可得D′O⊥平面ABC，
以O为坐标原点，OA，OB，OD′所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
因为三棱台ABC−A1B1C1的体积为78，
由题意等边△A1B1C1的边长为1，
则S△A1B1C1= 34×12= 34，S△ABC= 34×22= 3，
V三棱台ABC−A1B1C1=13(S△A1B1C1+S△ABC+ S△A1B1C1⋅S△ABC)⋅ℎ
=13( 34+ 3+ 34× 3)⋅ℎ=78，
解得ℎ= 32．
则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0, 3,0)，C(−1,0,0)，C1(−12,0, 32)，D′(0,0, 32)，
设D(a,0, 32)，a∈[−12,12]，
则BC=(−1,− 3,0)，BC1=(−12,− 3, 32)，
设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BC=0n⋅BC1=0，即−x− 3y=0−12x− 3y+ 32z=0，令y=1，
则n=(− 3,1,1)，
BD=(a,− 3, 32)，
则n⋅BD=− 3a− 3+ 32=− 3a− 32，|n|= 3+1+1= 5，|BD|= a2+3+34= a2+154，
所以cs=n⋅BD|n|⋅|BD|=− 3a− 32 5⋅ a2+154，
设直线BD与平面BCC1B1所成角为θ，
则sinθ=|cs|=| 3a+ 32| 5⋅ a2+154= 1510，
即12a2+16a−11=0，
解得a=12或a=−116(舍)．
所以存在a=12，
即存在D与A1重合时，直线BD与平面BCC1B1所成角的正弦值为 1510．