2024-2025学年上海市松江一中高二（上）段考数学试卷（一）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市松江一中高二（上）段考数学试卷（一）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是( )
A. 1条B. 2条C. 超过2条但有限D. 无数条
2.已知m，n是异面直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列说法正确的是( )
A. 若m//β，则n//αB. 若α⊥β，则m⊥n
C. 若m⊥β，则n⊥αD. 若m⊥β，则α⊥β
3.如图，两个共底面的正四棱锥(底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底面ABCD垂直)组成一个八面体E−ABCD−F，且该八面体的各棱长均相等，则( )
A. 异面直线AE与BC所成的角为45°
B. BD⊥CE
C. 平面ABF⊥平面CDF
D. 直线AE与平面BDE所成的角为60°
4.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是( )
A. {0,12, 33, 22,1}B. {0,12, 33, 22, 63}
C. {0,12, 22, 63}D. {0,12, 33, 22}
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.二面角的平面角θ的取值范围是______．
6.若直线a平行于平面α内的直线b，则a与α的位置关系是______．
7.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的______条件．
8.已知复数z满足z⋅i=1−i(i为虚数单位)，则Imz= ______．
9.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+2,a5= ______．
10.如图所示直角梯形OABC上下两底分别为2和4，高为2 2，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为______．
11.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，且PC=24，PB=PD=6 10，则PC和平面ABCD所成角的大小为______．
12.在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线AC=BD=2，
对角线AC与BD所成的角为π3，则FH= ______．
13.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为______．
14.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点.若AP//平面BEF，则AP与平面A1B1C1D1成角的正弦值的取值范围是______．
15.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ABC=90°，AC=6，BC=CC1= 2，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是______．
16.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体(四个面都是等边三角形围成的几何体)在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为2π−3×π3=π，故其总曲率为4π.我们把平面四边形ABCD外的点P连接顶点A、B、C、D构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为AA1和AB的中点，求证：
(1)D1，M，N，C四点共面；
(2)D1M、DA、CN三线共点．
18.(本小题14分)
(1)在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若AD=BC=2,EF= 3，求异面直线AD和BC所成的角；
(2)如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2 2,AD=2 3,AA1=2，求异面直线AD1与A1C1所成的角．
19.(本小题14分)
一山坡的倾斜度(山坡面与水平面所成二面角的度数)是30°，斜坡上一直道CD，它和坡脚AB成60°，为解决山腰D处居民的饮水问题，有甲、乙两种方案．
方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用与坡脚水平的暗河中的水(经检验符合饮用水标准)；
方案乙：沿CD铺设自来水管道，第一个100m费用为1万元，以后每往上一个100m所需费用比前一个100m的费用扩大1倍；
如果D处高出暗河100 3m，那么选用哪个方案比较合理？请你说明理由.(不考虑其他因素)
20.(本小题18分)
如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2a，CD=DA=a，SA⊥底面ABCD且SA=a．
(1)求证：△SDC是直角三角形；
(2)在SD上取点M，SC交平面ABM于N，求证：四边形ABNM为直角梯形；
(3)若SM=x，写出BM=f(x)的表达式.并求当x为何值时，BM最小？最小值是多少？
21.(本小题18分)
定义：对棱相等的四面体为等腰四面体.等腰四面体可以由长方体切割产生，如图．
(1)在等腰四面体ABCD中，有几对棱长相等？请分别写出这几对相等的棱长；
(2)求证：等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形；
(3)设等腰四面体ABCD的三个侧面与底面所成的角分别为α、β、γ，请判断csα+csβ+csγ是否为定值？如果是定值请求出该定值；如果不是定值请说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.D
5.[0,π]
6.a⊂α或a//α
7.充分不必要
8.−1
9.162
10.3
11.π6
12.1或 3
13.18
14.[2 55,2 23]
15.1+ 35
16.4π
17.证明：(1)如图，连接A1B，
因为M、N分别为AA1和AB的中点，
所以MN/​/A1B，
因为在长方体ABCD−A1B1C1D1中，
易知A1D1/​/BC，A1D1=BC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，
所以A1B/​/D1C，所以MN/​/D1C，
所以MN与D1C确定一个平面，
所以M，N，C，D1四点共面；
(2)因为MN/​/D1C，且MN=12A1B=12D1C，
所以直线D1M与CN必相交，
设D1M∩CN=K，
因为K∈D1M，D1M⊂平面AA1D1D，
所以K∈平面AA1D1D，
又因为K∈CN，CN⊂平面ABCD，
所以K∈平面ABCD，
所以K是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，
又因为平面ABCD∩平面AA1D1D=AD，所以K∈AD，
所以D1M、DA、CN三线共点．
18.解：(1)如图所示，取AC的中点M，连接EM，FM，

因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EM/​/BC且EM=12BC，FM//AD且FM=12AD，
所以EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成的角，
又AD=BC=2，所以EM=FM=1．
在△EFM中，由余弦定理可得：cs∠EMF=EM2+FM2−EF22EM⋅FM=12×2−( 3)22×12=−12，
所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为12．
故异面直线AD和BC所成的角为π3．
(2)如图连接AC，CD1，

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，因为A1C1/​/AC，
所以直线AD1与A1C1所成角等于AD1与AC所成的角，
在△ACD1中，AC= AD2+DC2=2 5，CD1= CD2+DD12=2 3．AD1= AD2+DD12=4，
由余弦定理可得，cs∠D1AC=D1A2+CA2−D1C22AC⋅AD1=42+(2 5)2−(2 3)22×2 5×4=32 5=3 510，
则异面直线AD1与A1C所成的角arccs3 510．
19.解：如图所示，ABEF是坡面，CD是直道，设CD=x(m)．
设DH是点D到水平面a的垂线，垂足H，作HG⊥AB且交AB于G，连结DG，

则根据三垂线定理可得AB⊥DG，
坡面和水平面所成的二面角的平面角即为∠DGH，
又根据题意可得∠DGH=30°，
所以DH=DGsin30°=CDsin60°sin30°=100 3，所以x=400m；
方案乙：铺自来水管道所需费用S1=100m，a1=1万元，S2=100m，a2=2万元，
S3=100m，a3=4万元，S4=100m，a4=8万元，
总共需要费用1+2+4+8=15万元>12万元，
故选用方案甲比较合算．
20.(1)证明：∠ADC=90°，即AD⊥DC，
∵SA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴SA⊥DC，
由AD∩SA=A，且AD，SA都在平面SAD内，
∴CD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得CD⊥SD，
即△SDC都是直角三角形；
(2)证明：∵SA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∴SA⊥AB，AD⊥AB，且SA∩DA=A，SA，DA⊂平面SAD，
可得AB⊥平面SAD，AM⊂平面SAD，可得AB⊥AM，
∴SA⊥DC，AD⊥DC，且SA∩DA=A，SA，DA⊂平面SAD，
可得CD⊥平面SAD，AM⊂平面SAD，可得CD⊥AM，
又NM//CD，故NM⊥平面SAD，AM⊂平面SAD，则NM⊥AM，
∴在四边形ABNM中，∠NMA=∠BAM=90°，又CD/​/AB，∴MN//AB，
∴四边形ABNM为直角梯形．
(3)解：在△SAM中，∠ASM=45°，SA=a，SM=x，
根据余弦定理AM2=x2+a2−2axcs45°=x2+a2− 2ax，
在Rt△BAM中，BM= AB2+AM2，∵AB=2a，AM2=x2+a2− 2ax，
∴BM= (2a)2+x2+a2− 2ax= x2− 2ax+5a2= (x− 22a)2+92a2，
对于二次函数y=(x− 22a)+92a2，当x= 22a时，y取得最小值92a2，
此时(BM)min= 92a2=3 22a．
21.解：(1)由等腰四面体的定义可知，
在等腰四面体ABCD中，共有3对棱长相等的对棱，
分别是AB=CD，AC=BD，AD=BC；
(2)证明：如图，长宽高分别为a、b、c的长方体的六条面对角线组成等腰四面体ABCD，
四个面是全等的三角形，
三边长分别为x= b2+c2，y= a2+c2，z= a2+b2，
不妨设a≤b≤c，则最大边x所对角θ的余弦值为：
csθ=y2+z2−x22yz=a2 a2+b2⋅ a2+c2>0，∴θ为锐角，
∴三角形为锐角三角形，
∴等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形；
(3)如图，长宽高分别为a、b、c的长方体的六条面对角线组成等腰四面体ABCD，
以H为原点，HB所在直线为x轴，HC所在直线为y轴，HA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(a,0,0)，C(0,b,0)，A(0,0,c)，D(a,b,c)，
AB=(a,0,−c)，AC=(0,b,−c)，AD=(a,b,0)，
BC=(−a,b,0)，BD=(0,b,c)，
设平面ABC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
则有m⋅AB=ax1−cz1=0m⋅AC=by1−cz1=0，取x1=1，得m=(1,ab,ac)，
设平面ABD的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
则有n⋅AB=ax2−cz2=0n⋅AD=ax2+by2=0，取x2=1，得n=(1,−ab,ac)，
设平面ACD的一个法向量为p=(x3,y3,z3)，
则有p⋅AC=by3−cz3=0p⋅AD=ax3+by3=0，取x3=1，得p=(1,−ab,−ac)，
设平面BCD的一个法向量为q=(x4,y4,z4)，
则有q⋅BC=−ax4+by4=0q⋅BD=by4+cz4=0，取x4=1，得q=(1,ab,−ac)，
设等腰四面体ABCD的三个侧面ABD，ACD，BCD与底面ABC所成的角分别为α、β、γ，
则csα+csβ+csγ=|n⋅m||n|⋅|m|+|p⋅m||p|⋅|m|+|q⋅m||q|⋅|m|
=1−a2b2+a2c2 1+a2b2+a2c2⋅ 1+a2b2+a2c2+1−a2b2−a2c2 1+a2b2+a2c2⋅ 1+a2b2+a2c2+1+a2b2−a2c2 1+a2b2+a2c2⋅ 1+a2b2+a2c2=1，
故csα+csβ+csγ为定值1．