2024-2025学年安徽省六安市毛坦厂中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省六安市毛坦厂中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题p：∃n∈N，n2≥2n，则命题p的否定为( )
A. ∀n∈N，n2≤2nB. ∃n∈N，n2≤2n
C. ∀n∈N，n2<2nD. ∃n∈N，n2<2n
2.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)>0的解集为( )
A. (0,13)∪(2,+∞)B. (−∞,13)∪(13,2)C. (−∞,0)∪(13,2)D. (−1,0)∪(1,3)
3.若x>1，y>1，则“x−y>1”是“lnx−lny>1”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明⋅《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是(1+1%)35=1.01345；如果每天的“退步率”都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的()365≈1481倍.照此计算，大约经过( )天“进步者”是“退步者”的2倍.(参考数据：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈−0.00436，lg2≈0.3010)
A. 33B. 35C. 37D. 39
5.已知a=lg32，b=lg53，c=lg85，则下列结论正确的是( )
A. a6.已知函数f(x)在[2,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(1+x)=f(3−x)，则不等式f(2x−3)>f(5)的解集是( )
A. (−∞,1)∪(4,+∞)B. (−∞,4)
C. (1,+∞)D. (1,4)
7.已知x1、x2分别是函数f(x)=ex+x−4、g(x)=lnx+x−4的零点，则ex1+lnx2的值为( )
A. e2+ln3B. e+ln3C. 3D. 4
8.若函数f(x)=2lnx−ax2−4x存在极大值，则实数a的取值范围为( )
A. (−1,+∞)B. (−1,0)C. (0,+∞)D. (−∞,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)，x>0时，f(x)>0，f(2)=3，则( )
A. f(1)=1
B. 函数f(x)在区间(0,+∞)单调递增
C. 函数f(x)是奇函数
D. 函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x−1
10.已知函数f(x)=x3−x+1，则( )
A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点
C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
11.已知x>1，y>1，且xy=4，则( )
A. 4≤x+y<5B. 0C. xlg2y的最大值为2D. 2 2−1≤lg2x+lgxy<2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本.已知购买x台设备的总成本为f(x)=1200x2+x+800(单位：万元).若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备______台.
13.已知函数f(x)=2lgx+x−4的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上，则k=______．
14.已知对任意x∈(0,+∞)，都有k(ekx+1)−(1+1x)lnx>0，则实数k的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax2+ax−1，其中a∈R．
(Ⅰ)当a=2时，解不等式f(x)<0；
(Ⅱ)若不等式f(x)<0的解集为R，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax2+x−lnx，a∈R．
(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在区间[1,3]上是减函数，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
给定函数f(x)=(x+2)ex．
(1)判定函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
(2)画出f(x)的大致图像；
(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=ax−2−lnx(a∈R)．
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)当a=1时，试判断f(x)零点的个数；
(Ⅲ)当a=1时，若对∀x∈(1,+∞)，都有(4k−1−lnx)x+f(x)−1<0(k∈Z)成立，求k的最大值．
19.(本小题17分)
定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，则称函数f(x)是R上的凹函数，已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)
(1)当a=1，x∈[−2,2]时，求函数f(x)的值域；
(2)当a=1时，试判断函数f(x)是否为凹函数，并说明理由；
(3)如果函数f(x)对任意的x∈[0,1]时，都有|f(x)|≤1，试求实数a的范围．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.A
6.D
7.D
8.A
9.ABD
10.AC
11.ABC
12.400
13.2
14.(1e,+∞)
15.解：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=2x2+2x−1，
∵f(x)=2x2+2x−1=0的两个根为−1− 32，和−1+ 32，
∴不等式f(x)<0的解集为 {x|−1+ 32(Ⅱ)当a=0时，−1<0成立，故解集为R，
当a≠0时，则a<0△=a2+4a<0，解得−4综上所述实数a的取值范围是(−4,0]．
16.解：(1)当a=1时，f(x)=x2+x−lnx，
所以f′(x)=2x+1−1x，f′(1)=2，又f(1)=2，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−2=2(x−1)，即2x−y=0；
(2)因为函数f(x)在区间[1,3]上是减函数，
所以f′(x)=2ax+1−1x≤0在[1,3]上恒成立，
则2a≤1x2−1x在[1,3]上恒成立，
令t=1x，则t∈[13,1]，
则1x2−1x=t2−t=(t−12)2−14，
当t=12，即x=2时，1x2−1x取得最小值为−14，
所以a≤−18，即实数a的取值范围是(−∞,−18].
17.解：(1)函数f(x)=(x+2)ex的定义域为R，
则f′(x)=(x+3)ex，
由f′(x)=0，得x=−3，
当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，
当x∈(−3,+∞)时，f′(x)>0，
因此函数f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,+∞)上单调递增，
所以函数f(x)在x=−3处取得极小值f(−3)=−1e3，无极大值，
所以函数f(x)的递减区间为(−∞,−3)，递增区间为(−3,+∞)；极小值为−1e3，无极大值．
(2)由(1)知，函数f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,+∞)上单调递增，f(x)min=f(−3)=−1e3，
由f(x)=0，得x=−2，又f(0)=2，因此函数f(x)的图象过点(−2,0)，(−3,−1e3)，(0,2)，
当x<−2时，f(x)<0恒成立，当x≥0时，f(x)≥2ex，而函数y=2ex在[0,+∞)的取值集合为[2,+∞)，
于是函数f(x)在[−3,+∞)的值域为[−1e3,+∞),
在坐标平面内作出函数y=f(x)的图象，如图：

(3)方程f(x)=a(a∈R)的解，即为直线y=a与函数y=f(x)图象交点的横坐标，
由(2)知，当a<−1e3时，直线y=a与函数y=f(x)图象没有交点；
当−1e3当a=−1e3或a≥0时，直线y=a与函数y=f(x)图象有1个交点，
所以当a<−1e3时，f(x)=a没有解；当−1e3当a≥0或a=−1e3时，f(x)=a有一个解．
18.解：(I)f′(x)=a−1x，(x>0)．
a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．
a>0时，f′(x)=a(x−1a)x，(x>0)．
则f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增．
(II)a=1时，f(x)=x−2−lnx(x>0)．
f′(x)=x−1x，(x>0)．
则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．
x=1时，函数f(x)取得极小值即最小值，f(1)=−1．
x→0+时，f(x)→+∞；x→+∞时，f(x)→+∞．
∴函数f(x)存在两个零点．
(III)当a=1时，对∀x∈(1,+∞)，都有(4k−1−lnx)x+f(x)−1<0(k∈Z)成立，
化为：4kg′(x)=1x+1−(lnx+3)x2=x−lnx−2x2．
令u(x)=x−lnx−2，x∈(1,+∞)，
u′(x)=1−1x>0，∴函数u(x)在x∈(1,+∞)单调递增，
u(3)=1−ln3，u(4)=2−2ln2，
∴存在唯一的x0∈(3,4)，使得u(x0)=0，即x0−lnx0−2=0，
函数g(x)在(1,x0)内单调递减，在(x0,+∞)内单调递增．
∴g(x)min=g(x0)=lnx0+lnx0+3x0=x0−2+x0−2+3x0=x0+1x0−1∈(73,134)，
∵4k<(x0+1x0−1)min，k∈Z．
∴k的最大值为0．
19.解：(1)当a=1时，f(x)=x2+x=(x+12)2−14,x∈[−2,2]，
由二次函数的图象及性质可知，f(x)min=f(−12)=−14，f(x)max=f(2)=6，即所求值域为[−14,6]；
(2)当a=1时，函数f(x)是凹函数，此时f(x)=x2+x，
f(x1+x22)=(x1+x22)2+x1+x22，12[f(x1)+f(x2)]=12(x12+x1+x22+x2)，
作差得到：f(x1+x22)−12[f(x1)+f(x2)]=(x1+x22)2+x1+x22−12(x12+x22)−12(x1+x2)
=−x12+2x1x2−x224=−(x1+x22)2≤0，
即有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，故函数f(x)=x2+x是凹函数；
(3)由−1≤f(x)=ax2+x≤1，则有ax2+x≥−1ax2+x≤1，即ax2≥−x−1ax2≤1−x，
(i)当x=0时，则a∈R恒成立；
(ii)当x∈(0,1]时，有a≥−1x−1x2a≤−1x+1x2，即a≥−(1x+12)2+14a≤(1x−12)2−14，
又x∈(0,1]，则1x≥1，
∴当1x=1时，a≥−(1+12)2+14=−2，a≤(1−12)2−14=0，
∴实数a的取值范围为[−2,0]．