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2024-2025学年江西省智学联盟体高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年江西省智学联盟体高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=R，集合A={x|x≥−1}，B={x|x2+2x−3<0}，则阴影部分表示的集合为( )
A. {x|−3≤x≤1}B. {x|−3C. {x|−32.若复数z=2+i1−i，则|z|=( )
A. 1B. 102C. 104D. 10
3.若函数f(x)=(x+a)ln2x−12x+1的图像关于y轴对称，则a=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
4.已知双曲线方程为x2a2−y23=1，F1，F2是双曲线的两个焦点，点A是双曲线上任意一点，若A点关于F1的对称点为点B，点B关于F2的对称点为点C，线段AC的长度是8，则双曲线的离心率是( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
5.已知sinα+csα=13，则2cs2(α−π4)cs2(α−π4)−sin2(α−π4)=( )
A. −23B. 19C. 89D. −18
6.设A，B，C，D是同一个球面上四点，球的半径为4，△ABC是面积为9 3的等边三角形，则三棱锥D−ABC体积的最大值为( )
A. 12 3B. 18 3C. 24 3D. 54 3
7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的a值为( )
A. −1
B. − 3
C. − 2
D. − 6− 22
8.命题“∃x∈(0,+∞)，使ax≤lgax(a>0且a≠1)成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. a>e12B. a>e1eC. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则( )
A. 众数是22 B. 80百分位数是28
C. 平均数是30 D. 前4个数据的方差比最后4个数据的方差大
10.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix=csx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”(e为自然对数的底数，i为虚数单位)，依据上述公式，则下列结论中正确的是( )
A. 复数eiπ2为纯虚数 B. 复数ei2对应的点位于第二象限
C. 复数eiπ6的共轭复数为 32+12i D. 复数eiθ(θ∈[0,π])在复平面内对应的点的轨迹是半圆
11.若数列{an}满足1an+1−1an=d(n∈N∗,d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”.已知数列{bn}为“调和数列”，下列说法正确的是( )
A. 若i=120bi=20，则b10+b11=b10b11 B. 若bn=2n+1cn，且c1=3，c2=15，则bn=12n−1
C. 若{bn}中各项均为正数，则bn+1≤bn+bn+22 D. 若b1=1，b2=12，则i=2n+1[bi⋅ln(i−1)]≤n2−n4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量a,b的夹角的余弦值为14，且|a|=1，|b|=4，则(2a+b)⋅b= ______．
13.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a6=1，S5=−55，则nSn的最小值为______．
14.四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别在侧棱PA、PB、PC上，且满足PE=14PA，PF=23PB，PG=12PC.若平面EFG与侧棱PD交于点H，则PH= ______PD．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四边形ABCD中，AB=2，AC= 7，AD=2 7，∠CAD=∠CBA=2π3．
(1)求cs∠BCA；
(2)求BD．
16.(本小题15分)
函数f(x)=ex+ln(x+1)−ax−1(a∈R)．
(1)f(x)在x=1处的切线与直线y=ex平行，求实数a的值．
(2)证明：对于∀x∈[0,+∞)，∀a∈(−∞,2]，f(x)≥0恒成立．
17.(本小题15分)
如图，三棱锥D−ABC中，CA⊥AB，CD=2 2，AB= 6，AC= 10，BD=4，cs∠ABD= 63，E为BD的中点．
(1)证明：AE⊥BC；
(2)求平面ADC与平面ABC夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知点A是抛物线C：x2=4y上的一点．
(1)若点A横坐标为4，求抛物线C在点A处的切线方程；
(2)过点A作圆O：x2+y2=1的两条切线，交抛物线的准线于M、N两点．
①若|MN|=2 11，求点A纵坐标；
②求△AMN面积的最小值．
19.(本小题17分)
如图，已知点列Pn(xn,2xn)与An(an,0)满足xn+1>xn，PnPn+1⊥AnPn+1且|PnPn+1|=|AnPn+1|，其中n∈Z+，x1=1．
(1)求x2；
(2)求xn+1与xn的关系式；
(3)证明：x22+x32+…+xn+12≤4n2．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.B
5.D
6.B
7.A
8.B
9.AC
10.ABD
11.BCD
12.18
13.−343
14.29
15.解：(1)△ABC中，由正弦定理得：
ACsin∠CBA=ABsin∠BCA，
则sin∠BCA=2sin2π3 7= 217，
∴cs∠BCA= 1−( 217)2=2 77；
(2)由题意，cs∠BAD=cs(∠BAC+2π3)=−cs∠BCA=−2 77，
所以BD2=BA2+AD2−2⋅BA⋅ADcs∠BAD=4+28−2×2×2 7×(−2 77)=48，
所以BD=4 3．
16.解：(1)因为函数f(x)=ex+ln(x+1)−ax−1(a∈R)．
所以f′(x)=ex+1x+1−a．
由题意：f′(1)=e+12−a=e，解得a=12．
(2)证明：f′(x)=ex+1x+1−a，f″(x)=ex−1(x+1)2，
因为x≥0，所以ex≥1，1(x+1)2≤1，
所以f′′(x)≥0，
所以f′(x)在[0,+∞)单调递增，
所以f′(x)≥f′(0)=2−a，
因为a≤2，所以2−a≥0，
所以f′(x)≥2−a≥0，
即f(x)在[0,+∞)单调递增，
所以f(x)≥f(0)=0．
17.(1)证明：∵AB⊥AC，AB= 6，AC= 10，∴BC=4，
在△ABD中，AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcs∠ABD=6，∴AD= 6，
∴AD=AB，又E为BD中点，∴AE⊥BD，
∵BD=4，∴BE=2，∴AE2=AB2−BE2=2，∴AE= 2，
取BC的中点F，连接EF，AF，
则EF=12CD= 2，AF=12BC=2，
∴AE2+EF2=AF2，∴AE⊥EF，
又AE⊥BD，EF∩BD=E，
∴AE⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，
∴AE⊥BC；
(2)取CD的中点O，∵BD=BC=4，∴OB⊥CD，
如图，以O为原点，OB、OC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系：
∵OB= BC2−OC2= 14，
∴B( 14,0,0)，C(0, 2,0)，D(0,− 2,0)，
∴E( 142,− 22,0)，A( 142,− 22, 2)，
∴AC=(− 142,3 22,− 2)，BC=(− 14, 2,0)，DC=(0,2 2,0)，
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AC=− 142x+3 22y− 2z=0n⋅BC=− 14x+ 2y=0，取n=(1, 7, 7)，
同理可求平面ADC的法向量为m=(2,0,− 7)，
∴平面ADC与平面ABC夹角的余弦值为：
|cs|=|m⋅n||m||n|=5 15× 11= 16533．
18.解：(1)已知点A是抛物线C：x2=4y上的一点，
∵A的横坐标为4，
则4y=16，
即y=4，
∴A(4,4)，
又∵y=x24，
求得y′=12x，
∴抛物线在A处的切线斜率为12×4=2，
∴切线方程为y−4=2(x−4)，
即y=2x−4．
(2)设AM与圆O相切于点B，AN与圆O相切于点C，
MN与圆O相切于点D，
由切线长相等可得：|MB|=|MD|，|AB|=|AC|，|ND|=|NC|，
∴△AMN周长为2|MN|+2|AB|=2|MN|+2 |AO|2−1，
∴S△AMN=12(2|MN|+2 |AO|2−1)×1=|MN|+ |AO|2−1，
设A(x0,y0)，
由抛物线的对称性，设y0>1，
∵S△AMN=12|MN|⋅(y0+1)，
∴|MN|+ |AO|2−1=12|MN|(y0+1)，
∴|MN|=2 |AO|2−1y0−1=2 x02+y02−1y0−1=2 y02+4y0−1y0−1，
①由|MN|=2 11，
则2 y02+4y0−1y0−1=2 11，
解得y0=2，
所以点A的纵坐标为2．
②S△AMN=12|MN|(y0+1)=(y0+1) y02+4y0−1y0−1，
令t=y0−1>0，
则S△AMN= (t2+4t+4)(t2+6t+4)t2= (t+t4+4)⋅(t+4t+6)，
∵t+4t≥2 t×4t=4，当且仅当t=4t，即t=2时取等号，
∴S△AMN≥ (4+4)×(4+6)=4 5，
当且仅当t=2，
即y0=3时，△AMN面积最小值为4 5．
19.解：(1)因为P1P2⊥A1P2，|P1P2|=|A1P2|，
所以(x2−x1,2x2−2x1)⋅(x2−a1,2x2)=(x2−x1)(x2−a1)+2x2⋅2(x1−x2)x1x2=0，
化为x2−a1=4x1x22，又(x2−x1)2+(2x2−2x1)2=(x2−a1)2+(2x2)2，
得x2−x1=2x2，由x1=1，可得x22−x2−2=0，
所以x2=2．
(2)由PnPn+1=(xn+1−xn,2xn+1−2xn),AnPn+1=(xn+1−an,2xn+1)，
PnPn+1⋅AnPn+1=0⇒xn+1−an=4xn+12xn①，
又|PnPn+1|=|AnPn+1|，则(xn+1−xn)2+(2xn+1−2xn)2=(xn+1−an)2+(2xn+1)2②，
将①代入②得(xn+1−xn)2(1+4xn+12xn2)=4xn+12(1+4xn+12xn2)⇒(xn+1−xn)2=4xn+12⇒xn+1−xn=2xn+1．
(3)证明：首先证明当n≥2时，xn+1−x2=i=2n(xn+1−xn)=i=2n2xi+1≤i=2n2 2i+1．
由xn+1−x2=i=2n(xi+1−xi)=i=2n2xi+1xn+1−xn=2xn+1⇒2=xn+12−xnxn+12n⇒xn+1> 2n+1，
因为2 2i+1=4 2i+1+ 2i+1<4 2i+ 2i+2=2 2( i+1− i)，
所以xn+1−x2≤2 2( 3− 2+2− 3+...+ n+1− n)=2 2( n+1− 2)
⇒xn+1≤ 8n+8−2⇒xn+12≤8n+8+4−4 8n+8≤8n−4
⇒x22+x32+⋅⋅⋅+xn+12≤4(1+3+⋅⋅⋅+(2n−1))=4n2，
∴x22+x32+⋅⋅⋅+xn+12≤4n2．
1.已知全集U=R，集合A={x|x≥−1}，B={x|x2+2x−3<0}，则阴影部分表示的集合为( )
A. {x|−3≤x≤1}B. {x|−3
A. 1B. 102C. 104D. 10
3.若函数f(x)=(x+a)ln2x−12x+1的图像关于y轴对称，则a=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
4.已知双曲线方程为x2a2−y23=1，F1，F2是双曲线的两个焦点，点A是双曲线上任意一点，若A点关于F1的对称点为点B，点B关于F2的对称点为点C，线段AC的长度是8，则双曲线的离心率是( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
5.已知sinα+csα=13，则2cs2(α−π4)cs2(α−π4)−sin2(α−π4)=( )
A. −23B. 19C. 89D. −18
6.设A，B，C，D是同一个球面上四点，球的半径为4，△ABC是面积为9 3的等边三角形，则三棱锥D−ABC体积的最大值为( )
A. 12 3B. 18 3C. 24 3D. 54 3
7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的a值为( )
A. −1
B. − 3
C. − 2
D. − 6− 22
8.命题“∃x∈(0,+∞)，使ax≤lgax(a>0且a≠1)成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. a>e12B. a>e1eC. 1
9.某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则( )
A. 众数是22 B. 80百分位数是28
C. 平均数是30 D. 前4个数据的方差比最后4个数据的方差大
10.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix=csx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”(e为自然对数的底数，i为虚数单位)，依据上述公式，则下列结论中正确的是( )
A. 复数eiπ2为纯虚数 B. 复数ei2对应的点位于第二象限
C. 复数eiπ6的共轭复数为 32+12i D. 复数eiθ(θ∈[0,π])在复平面内对应的点的轨迹是半圆
11.若数列{an}满足1an+1−1an=d(n∈N∗,d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”.已知数列{bn}为“调和数列”，下列说法正确的是( )
A. 若i=120bi=20，则b10+b11=b10b11 B. 若bn=2n+1cn，且c1=3，c2=15，则bn=12n−1
C. 若{bn}中各项均为正数，则bn+1≤bn+bn+22 D. 若b1=1，b2=12，则i=2n+1[bi⋅ln(i−1)]≤n2−n4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量a,b的夹角的余弦值为14，且|a|=1，|b|=4，则(2a+b)⋅b= ______．
13.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a6=1，S5=−55，则nSn的最小值为______．
14.四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别在侧棱PA、PB、PC上，且满足PE=14PA，PF=23PB，PG=12PC.若平面EFG与侧棱PD交于点H，则PH= ______PD．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四边形ABCD中，AB=2，AC= 7，AD=2 7，∠CAD=∠CBA=2π3．
(1)求cs∠BCA；
(2)求BD．
16.(本小题15分)
函数f(x)=ex+ln(x+1)−ax−1(a∈R)．
(1)f(x)在x=1处的切线与直线y=ex平行，求实数a的值．
(2)证明：对于∀x∈[0,+∞)，∀a∈(−∞,2]，f(x)≥0恒成立．
17.(本小题15分)
如图，三棱锥D−ABC中，CA⊥AB，CD=2 2，AB= 6，AC= 10，BD=4，cs∠ABD= 63，E为BD的中点．
(1)证明：AE⊥BC；
(2)求平面ADC与平面ABC夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知点A是抛物线C：x2=4y上的一点．
(1)若点A横坐标为4，求抛物线C在点A处的切线方程；
(2)过点A作圆O：x2+y2=1的两条切线，交抛物线的准线于M、N两点．
①若|MN|=2 11，求点A纵坐标；
②求△AMN面积的最小值．
19.(本小题17分)
如图，已知点列Pn(xn,2xn)与An(an,0)满足xn+1>xn，PnPn+1⊥AnPn+1且|PnPn+1|=|AnPn+1|，其中n∈Z+，x1=1．
(1)求x2；
(2)求xn+1与xn的关系式；
(3)证明：x22+x32+…+xn+12≤4n2．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.B
5.D
6.B
7.A
8.B
9.AC
10.ABD
11.BCD
12.18
13.−343
14.29
15.解：(1)△ABC中，由正弦定理得：
ACsin∠CBA=ABsin∠BCA，
则sin∠BCA=2sin2π3 7= 217，
∴cs∠BCA= 1−( 217)2=2 77；
(2)由题意，cs∠BAD=cs(∠BAC+2π3)=−cs∠BCA=−2 77，
所以BD2=BA2+AD2−2⋅BA⋅ADcs∠BAD=4+28−2×2×2 7×(−2 77)=48，
所以BD=4 3．
16.解：(1)因为函数f(x)=ex+ln(x+1)−ax−1(a∈R)．
所以f′(x)=ex+1x+1−a．
由题意：f′(1)=e+12−a=e，解得a=12．
(2)证明：f′(x)=ex+1x+1−a，f″(x)=ex−1(x+1)2，
因为x≥0，所以ex≥1，1(x+1)2≤1，
所以f′′(x)≥0，
所以f′(x)在[0,+∞)单调递增，
所以f′(x)≥f′(0)=2−a，
因为a≤2，所以2−a≥0，
所以f′(x)≥2−a≥0，
即f(x)在[0,+∞)单调递增，
所以f(x)≥f(0)=0．
17.(1)证明：∵AB⊥AC，AB= 6，AC= 10，∴BC=4，
在△ABD中，AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcs∠ABD=6，∴AD= 6，
∴AD=AB，又E为BD中点，∴AE⊥BD，
∵BD=4，∴BE=2，∴AE2=AB2−BE2=2，∴AE= 2，
取BC的中点F，连接EF，AF，
则EF=12CD= 2，AF=12BC=2，
∴AE2+EF2=AF2，∴AE⊥EF，
又AE⊥BD，EF∩BD=E，
∴AE⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，
∴AE⊥BC；
(2)取CD的中点O，∵BD=BC=4，∴OB⊥CD，
如图，以O为原点，OB、OC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系：
∵OB= BC2−OC2= 14，
∴B( 14,0,0)，C(0, 2,0)，D(0,− 2,0)，
∴E( 142,− 22,0)，A( 142,− 22, 2)，
∴AC=(− 142,3 22,− 2)，BC=(− 14, 2,0)，DC=(0,2 2,0)，
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AC=− 142x+3 22y− 2z=0n⋅BC=− 14x+ 2y=0，取n=(1, 7, 7)，
同理可求平面ADC的法向量为m=(2,0,− 7)，
∴平面ADC与平面ABC夹角的余弦值为：
|cs
18.解：(1)已知点A是抛物线C：x2=4y上的一点，
∵A的横坐标为4，
则4y=16，
即y=4，
∴A(4,4)，
又∵y=x24，
求得y′=12x，
∴抛物线在A处的切线斜率为12×4=2，
∴切线方程为y−4=2(x−4)，
即y=2x−4．
(2)设AM与圆O相切于点B，AN与圆O相切于点C，
MN与圆O相切于点D，
由切线长相等可得：|MB|=|MD|，|AB|=|AC|，|ND|=|NC|，
∴△AMN周长为2|MN|+2|AB|=2|MN|+2 |AO|2−1，
∴S△AMN=12(2|MN|+2 |AO|2−1)×1=|MN|+ |AO|2−1，
设A(x0,y0)，
由抛物线的对称性，设y0>1，
∵S△AMN=12|MN|⋅(y0+1)，
∴|MN|+ |AO|2−1=12|MN|(y0+1)，
∴|MN|=2 |AO|2−1y0−1=2 x02+y02−1y0−1=2 y02+4y0−1y0−1，
①由|MN|=2 11，
则2 y02+4y0−1y0−1=2 11，
解得y0=2，
所以点A的纵坐标为2．
②S△AMN=12|MN|(y0+1)=(y0+1) y02+4y0−1y0−1，
令t=y0−1>0，
则S△AMN= (t2+4t+4)(t2+6t+4)t2= (t+t4+4)⋅(t+4t+6)，
∵t+4t≥2 t×4t=4，当且仅当t=4t，即t=2时取等号，
∴S△AMN≥ (4+4)×(4+6)=4 5，
当且仅当t=2，
即y0=3时，△AMN面积最小值为4 5．
19.解：(1)因为P1P2⊥A1P2，|P1P2|=|A1P2|，
所以(x2−x1,2x2−2x1)⋅(x2−a1,2x2)=(x2−x1)(x2−a1)+2x2⋅2(x1−x2)x1x2=0，
化为x2−a1=4x1x22，又(x2−x1)2+(2x2−2x1)2=(x2−a1)2+(2x2)2，
得x2−x1=2x2，由x1=1，可得x22−x2−2=0，
所以x2=2．
(2)由PnPn+1=(xn+1−xn,2xn+1−2xn),AnPn+1=(xn+1−an,2xn+1)，
PnPn+1⋅AnPn+1=0⇒xn+1−an=4xn+12xn①，
又|PnPn+1|=|AnPn+1|，则(xn+1−xn)2+(2xn+1−2xn)2=(xn+1−an)2+(2xn+1)2②，
将①代入②得(xn+1−xn)2(1+4xn+12xn2)=4xn+12(1+4xn+12xn2)⇒(xn+1−xn)2=4xn+12⇒xn+1−xn=2xn+1．
(3)证明：首先证明当n≥2时，xn+1−x2=i=2n(xn+1−xn)=i=2n2xi+1≤i=2n2 2i+1．
由xn+1−x2=i=2n(xi+1−xi)=i=2n2xi+1
因为2 2i+1=4 2i+1+ 2i+1<4 2i+ 2i+2=2 2( i+1− i)，
所以xn+1−x2≤2 2( 3− 2+2− 3+...+ n+1− n)=2 2( n+1− 2)
⇒xn+1≤ 8n+8−2⇒xn+12≤8n+8+4−4 8n+8≤8n−4
⇒x22+x32+⋅⋅⋅+xn+12≤4(1+3+⋅⋅⋅+(2n−1))=4n2，
∴x22+x32+⋅⋅⋅+xn+12≤4n2．
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