2024-2025学年广东省揭阳市揭东区两校九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省揭阳市揭东区两校九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+c=0B. x2=0
C. x2+1x=1D. (x−1)2+1=x2
2.已知x2−3x+1=0，依据下表，它的一个解的范围是( )
A. 2.53.若关于x的方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k>−1且k≠0B. k>−1C. k<−1D. k<1且k≠0
4.已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式(m+n)2024的值为( )
A. 1B. 0C. 32024D. 72024
5.下列命题为真命题的是( )
A. 有两边相等的平行四边形是菱形B. 有一个角是直角的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形D. 有三个角是直角的四边形是矩形
6.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是( )
A. 12cm2B. 24cm2C. 48cm2D. 96cm2
7.若顺次联结一个四边形各边的中点得到的图形是矩形，则这个四边形的对角线( )
A. 互相平分B. 相等C. 互相垂直D. 互相垂直且平分
8.等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足 2a−3b+8与(2a+3b−16)2互为相反数，则此等腰三角形的周长为( )
A. 10B. 8C. 8或10D. 7或10
9.在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x(m)，则可列方程( )
A. (30−2x)(20−x)=468 B. (20−2x)(30−x)=468
C. 30×20−2⋅30x−20x=468 D. (30−x)(20−x)=468
10.如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE=AP=1，PB= 3.下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为 22；③S△APD+S△APB= 2+12；④S正方形ABCD=2+ 2.其中正确结论的序号是( )
A. ①③④B. ①②③
C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若(m+2)x|m|+(m−1)x−1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是______．
12.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是
13.对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2−ab，例如，5※3=52−5×3=10.若(x+1)※(x−2)=6，则x的值为______．
14.若关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5.的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
15.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH.若AB=8，AD=6，EF=5，则GH的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
已知代数式A=(a−4a)÷2a−4a．
(1)化简A；
(2)若一个矩形两条对角线的长为x2−4x+a=0的两根，求A的值．
17.(本小题7分)
如图，已知▱ABCD(AD>AB)，连接AC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
作AC的垂直平分线MN，分别交AD，BC，AC于点M，N，O，连接CM和AN；
(2)在(1)的条件下，若四边形AMCN的周长为16，求AM的长．
18.(本小题7分)
阅读下列材料：
方程x2+3x−1=0两边同时除以x(x≠0)，得x+3−1x=0，即x−1x=−3.因为(x−1x)2=x2+1x2−2，所以x2+1x2=(x−1x)2+2=11．
根据以上材料、解答下列问题：
(1)已知方程x2−4x−1=0(x≠0)，则x−1x= ______；x2+1x2= ______．
(2)若m是方程2x2−7x+2=0的根，求m2+1m2的值．
19.(本小题9分)
已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．
(1)求证：CF=CP；
(2)若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
(3)求证：CP−BM=2FN．
20.(本小题9分)
如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为12米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？
(2)能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．
21.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知OA=6，OB=10，点D坐标为(0,2)，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段AC−CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．
(1)如图1，当点P经过点C时，DP的长为______．
(2)如图2，把长方形沿着直线OP折叠，点B的对应点B′；恰好落在AC边上，求点P的坐标．
(3)在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22.(本小题13分)
在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE(A,P,E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化．
(1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是______，BC与CE的位置关系是______；
(2)如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE.若AB=2 3，BE=2 19，请直接写出△APE的面积．
23.(本小题14分)
【课本再现】
(1)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形A1B1C1O可绕点O转动.则下列结论正确的是______(填序号即可)．
①△AEO≌△BFO；
②OE=OF；
③四边形OEBF的面积总等于14；
④连接EF，总有AE2+CF2=EF2．
【类比迁移】
(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=2cm时，求线段EF的长度．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.A
5.D
6.B
7.C
8.A
9.A
10.A
11.2
12.30°或150°
13.1
14.5
15.7.5
16.解：(1)A=(a−4a)÷2a−4a
=a2−4a⋅a2a−4
=(a+2)(a−2)a⋅a2(a−2)
=a+22；
(2)∵一个矩形两条对角线的长为x2−4x+a=0的两根，
∴Δ=(−4)2−4a=0，
∴a=4，
当a=4时，A=4+22=3．
17.解：(1)如图，MN为所作；

(2)∵MN垂直平分AC，
∴OA=OC，MN⊥AC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠MAO=∠NCO，
在△AOM和△CON中，
∠MAO=∠NCOAO=CO∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON(ASA)，
∴OM=ON，
∴AC和MN互相垂直平分，
∴四边形AMCN为菱形，
∵四边形AMCN的周长为16，
∴AM的长为4．
18.(1)4，18；
(2)∵m是方程2x2−7x+2=0的根，
∴2m2−7m+2=0，
方程两边同时除以2m，得m−72+1m=0，
∴m+1m=72，
∵(m+1m)2=m2+1m2−2，
∴m2+1m2=(m+1m)2+2=(72)2+2=494+2=574．
19.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠CAD=∠ACD=45°，
∵CP⊥CF，
∴∠FCP=90°=∠BCD，
∴∠BCF=∠DCP，
∵CD=CB，∠CBF=∠CDP=90°，
∴△CDP≌△CBF(ASA)，
∴CF=CP；
(2)∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF=22.5°，
∴∠BFC=67.5°，
∵△CDP≌△CBF，
∴∠P=∠BFC=67.5°，且∠CAP=45°，
∴∠ACP=∠P=67.5°，
∴AC=AP，
∵AC= 2AB=4 2，
∴S△ACP=12AP×CD=8 2；
(3)在CN上截取NH=FN，连接BH，

∵△CDP≌△CBF，
∴CP=CF，
∵FN=NH，且BN⊥FH，
∴BH=BF，
∴∠BFH=∠BHF=67.5°，
∴∠FBN=∠HBN=∠BCH=22.5°，
∴∠HBC=∠BAM=45°，
∵AB=BC，∠ABM=∠BCH，
∴△AMB≌△BHC(ASA)，
∴CH=BM，
∴CF=BM+2FN，
∴CP−BM=2FN．
20.解：(1)设AD的长为x米，则AB=27−3x，根据题意，得x(27−3x)=54，
整理，得x2−9x+18=0，
解得x1=3，x2=6
∵墙的最大可用长度为12米，
∴27−3x≤12，
∴x≥5，
∴x=6，即AD的长为6米；
(2)不能围成面积为90平方米的花圃．
理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米，
于是有(27−3y)⋅y=90，
整理得y2−9y+30=0，
∵Δ=(−9)2−4×1×30=−39<0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为90平方米的花圃．
21.10
【解析】解：(1)如图1，
∵BC=OA=6，BD=OB−OD=10−2=8，
∴DP= BD2+BC2= 82+62=10；
(2)由折叠的性质可知，PB=PB′，OB=OB′=10，
在Rt△AOB′中，由勾股定理可得：AB′=8，
∴B′C=2，
设BP=x，则CP=6−x，
在Rt△CPB′中，由勾股定理可得：x2=(6−x)2+4，
解得：x=103，
∴P(103,10)；
(3)存在，
∵D(0,2)，
∴BD=8，
①当BP=BD=8时，
∵BP>BC，
∴P在AC上，
由勾股定理可得：CP= 82−62=2 7，
∴P(6,10−2 7)，
②当BP=DP时，P在BD的垂直平分线，
∴P在AC上，
∴P(6,6)，
③当DP=BD=8时，P在AC上，
由①可知，AP=OD+2 7=2+2 7，
∴P(6,2+2 7)，
∴P的坐标为：(6,10−2 7)，(6,6)，(6,2+2 7).
22.(1)BP=CE，CE⊥AD；
(2)(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°+∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE(SAS)，
∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30°，
∴∠DCE=30°，
∵∠ADC=60°，
∴∠DCE+∠ADC=90°，
∴∠CHD=90°，
∴CE⊥AD；
∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立；
(3)如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC=60°，AB=2 3，
∴∠ABO=30°，
∴AO=12AB= 3，OB= 3AO=3，
∴BD=6，
由(2)知CE⊥AD，
∵AD//BC，
∴CE⊥BC，
∵BE=2 19，BC=AB=2 3，
∴CE= (2 19)2−(2 3)2=8，
由(2)知BP=CE=8，
∴DP=2，
∴OP=5，
∴AP= OA2+OP2= ( 3)2+52=2 7，
∵△APE是等边三角形，
∴S△AEP= 34×(2 7)2=7 3，
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP= OA2+OP2= ( 3)2+112=2 31，
∴S△AEP= 34×(2 31)2=31 3，
23.(1)①②③④；
(2)猜想：AE2+CF2=EF2，理由如下：
连接AC，∵O是矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中心．
∴AO=CO，
延长EO交CD于点G，连接FG，
在矩形ABCD中，∠BCD=90°，AB/​/CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠AEO=∠CGO，
∴△AEO≌△CGO(AAS)，
∴AE=CG，OE=OG，
在矩形A1B1C1O中，∠A1OC1=900，
∴EF=FG，
在Rt△FCG中，CG2+CF2=GF2
∴AE2+CF2=EF2；
(3)设CF=x cm．
①当点E在线段AC上时，
∵AE=2cm，
∴CE=1cm
在Rt△FCE中，∠C=90°，
∴12+x2=EF2，
又由(2)易知EF2=AE2+BF2，
∴EF2=22+BF2
∴12+x2=22+(4−x)2，
解得x=198．
∴EF= 12+(198)2=5 178．
②当点E在CA延长线上时，同理可证EF2=AE2+BF2．
∴EF2=22+(4+x)2，
又在Rt△FCE中，EF2=x2+(3+2)2．
∴x2+(3+2)2=22+(4+x)2．
解得x=58．
∴EF= 52+(58)2=5 658．
故EF的长度为5 178cm或5 658cm．
x
2.5
2.6
2.7
2.8
x2−3x+1
−0.25
−0.04
0.19
0.44