2024-2025学年湖南省长沙一中双语学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙一中双语学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−12024的倒数是( )
A. −2024B. 12024C. −12024D. 以上都不是
2.下列运算正确的是( )
A. (a2)3=a5B. a+2a=2a2
C. 2+ 3= 5D. x(1+y)=x+xy
3.月球与地球之间的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为( )
A. 38.4×104B. 3.84×105C. 0.384×106D. 3.84×106
4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.已知点P(2a−1,1−a)在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
6.一次函数y=−5x+3不经过第( )象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
7.在平面直角坐标系xOy中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆( )
A. 与x轴相交，与y轴相切B. 与x轴相离，与y轴相交
C. 与x轴相切，与y轴相交D. 与x轴相切，与y轴相离
8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为( )．
A. 5cmB. 10cmC. 14cmD. 20cm
9.如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是( )
A. 50°B. 40°C. 30°D. 25°
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示．有下列结论．
①b2−4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0；⑤(a+c)2其中，正确结论的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：3a2+6a+3=______．
12.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B.若∠OBA=30°，PA=3，则AB的长为 ．
13.如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是 ．
14.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=8，EB=2，则⊙O的半径为______．
15.如图，△ABC中，∠C=30°.将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB= °.
16.二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点)，则c+12b= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(12)−1+(π−3)0−|−3|+ 12．
18.(本小题6分)
解方程：
(1)x2+2x−1=0；
(2)3x(2x+1)=4x+2．
19.(本小题6分)
如图，过点A(−2,0)的直线l1：y=kx+b与直线l2：y=−x+1交于P(−1,a)．
(1)求直线l1对应的表达式；
(2)求四边形PAOC的面积．
20.(本小题8分)
为了了解九年级学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：
A、1.5小时以上(含1.5小时)
B、1−1.5小时(含1小时，不含1.5小时)
C、0.5−1小时(含0.5小时，不含1小时)
D、0.5小时以下(不含0.5小时)
如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图：

请根据以上条形统计图、扇形统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)学校共调查了______名学生；
(2)扇形统计图中B选项所占的百分比为______．
(3)请补全条形统计图；
(4)若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级平均每天参加体育活动时间在1小时以上(含1小时)的学生约有______名.
21.(本小题8分)
如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．
(1)求证：BE=AF；
(2)若AB=4，DE=1，求AG的长．
22.(本小题9分)
为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对安居琼江河周边污水进行处理．每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640t，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080t．
(1)求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨．
(2)经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500t，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？
23.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．
24.(本小题10分)
我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“能效函数”，其图象上这一点，称为“能效点”，如：“能效函数”y=3x−2，其“能效点”为(1,1)．
(1)在下列关于x的函数中，______(请填写对应序号)是“能效函数”．
①y=x−3；②y=−12x+1；③y=x2−2x．
(2)若点A、B是“能效函数”y=x2−(2m+1)x+(m−1)2(其中m>0)上的“能效点”，且8 2≤AB≤10 2，求m的取值范围；
(3)若“能效函数”y=−14x2+(m−k+2)x+n+k−1的图象上存在唯一的一个“能效点”，且当−5≤m≤−1时，n的最小值为k，求k的值．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0,0)和( a,116)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2)．
(1)求a，b，c的值；
(2)求证：在点P运动的过程中，圆心P带x轴的距离始终小于半径；
(3)设⊙P与x轴相交于M(x1,0)，N(x2,0)(x1参考答案
1.A
2.D
3.B
4.A
5.C
6.C
7.C
8.D
9.D
10.C
11.3(a+1)2
12.3
13.60°或120°
14.5
15.90
16.1
17.解：(12)−1+(π−3)0−|−3|+ 12
=2+1−3+2 3
=2 3．
18.解：(1)x2+2x−1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
x+1=± 2，
所以x1=−1+ 2，x2=−1− 2；
(2)3x(2x+1)=4x+2，
3x(2x+1)−2(2x+1)=0，
(2x+1)(3x−2)=0，
2x+1=0或3x−2=0，
所以x1=−12，x2=23．
19.解：(1)把P(−1,a)代入y=−x+1得a=2，
则P点坐标为(−1,2)；
把A(−2,0)，P(−1,2)代入y=kx+b得0=−2k+b2=−k+b，解得k=2b=4，
所以直线l1的表达式为y=2x+4；
(2)∵y=−x+1交x轴于B，交y轴于C，
∴B(1,0)，C(0,1)，
∴四边形PAOC的面积=S△ABP−S△BOC=12×3×2−12×1×1=52．
20.(1)80；
(2)40%；
(3)C选项的人数为：80×30%=24，
补全的条形统计图如图所示；
(4)260．
21.解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，
∴AD−DE=CD−CF，
即AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
AB=DA∠BAE=∠ADFAE=DF,
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴BE=AF；
(2)由(1)得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∠EBA+∠AEG=90°，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
∴BE= AB2+AE2= 42+32=5，
在Rt△ABE中，12AB·AE=12BE·AG，
∴AG=4×35=125．
22.解：(1)设每周每台A，B两种污水处理设备分别可以处理污水x吨和y吨，
根据题意，得x+2y=6402x+3y=1080，
解得x=240y=200，
∴每周每台A种污水设备处理污水240吨，B种污水设备处理污水200吨；
(2)设购买A中污水设备a台，则购买B种污水设备(20−a)台，
根据题意，得12a+10(20−a)≤230240a+200(20−a)≥4500，
解不等式组，得252≤a≤15，
∴当a=13时，A买13台，B买7台；
当a=14时，A买14台，B买6台；
当a=15时，A买15台，B买5台．
∵每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元，
∴A买的越少，资金越少，
∴A买13台，B买7台需要的资金最少，
最小值为13×12+7×10=226万元．
23.解：(1)如图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD//BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)如图，连接AC，交OD于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°，
∴四边形FDEC是矩形，
∴DF=CE=2，FC=DE=4，OD⊥AC，
∴AF=CF=DE=4，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得，(r−2)2+42=r2，
解得r=5.即半径为5．
24.解：(1)①令y=x，即x=x−3，方程无解，
∴y=x−3不是“能效函数”；
② ②③；
(2)设A(x1,x1)，B(x2,x2)，
∵点A、点B是“能效函数”y=x2−(2 m+1)x+(m−1)2(其中m>0)上的“能效点”，
∴x=x2−(2m+1)x+(m−1)2，整理得x2−(2m+2)x+(m−1)2=0，
∴Δ=[−(2m+2)]2−4(m−1)2=16m>0，x1+x2=2m+2，x1⋅x2=(m−1)2，
∴AB= (x1−x2)2+(x1−x2)2= 2 (x1+x2)2−4x1⋅x2=4 2m，
∵8 2≤AB≤10 2，
∴8 2≤4 2m≤10 2，
解得4≤m≤254，
∴m的取值范围为4≤m≤254；
(3)∵“能效函数”y=−14x2+(m−k+2)x+n+k−1的图象上存在唯一的一个“能效点”
∴x=−14x2+(m−k+2)x+n+k−1，整理得：−14x2+(m−k+1)x+n+k−1=0，
∴Δ=(m−k+1)2−4×(−14)×(n+k−1)=0，
解得n=−(m−k+1)2+1−k，
∴n关于m的二次函数图象开口向下，对称轴为直线m=k−1．
①当k−1≤−5，即k≤−4时，
当m=−1时，n取最小值k，
∴k=−(−1−k+1)2+1−k，
解得k=− 2−1(舍去)，k= 2−1(舍去)；
②当−1−k+1>k−1+5，k−1>−5，即−4当m=−1时，n取最小值k，
∴k=−(−1−k+1)2+1−k，
解得k=− 2−1，k= 2−1(舍去)；
③当−1−k+1当m=−5时，n取最小值k，
∴k=−(−5−k+1)2+1−k，
解得k= 10−5，k=− 10−5(舍去)；
④当k−1≥−1，即k≥0时，
当m=−5时，n取最小值k，
∴k=−(−5−k+1)2+1−k，
解得k= 10−5(舍去)，k=− 10−5(舍去)；
综上所述，k=− 2−1或k= 10−5．
25.(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0,0)和( a,116)两点，
∴抛物线的一般式为：y=ax2，
∴116=a( a)2，
解得：a=±14，
∵图象开口向上，
∴a=14，
∴抛物线解析式为：y=14x2，
故a=14，b=c=0；
(2)证明：设P(a,14a2)，
∵PA= a2+(2−14a2)2= 116a4+4，
作PH⊥MN于H，如图1，

又∵PH=14a2，
∴PA>PH，
∴圆心P与x轴的距离始终小于半径；
(3)解：连接PM、PN，如图2，

设P(a,14a2)，
由(2)可知，PA= 116a4+4，
则PM=PN= 116a4+4，
又∵PH=14a2，
则MH=NH= 116a4+4−(14a2)2=2，
故MN=4，
∴M(a−2,0)，N(a+2,0)，
又∵A(0,2)，
∴AM= (a−2)2+4，AN= (a+2)2+4，
当AN=MN时， (a+2)2+4=4，
解得：a=−2±2 3，则14a2=4±2 3；
综上所述，P的纵坐标为：4+2 3或4−2 3．