2024-2025学年陕西科技大学附中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西科技大学附中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是( )
A. x2+3x−5=0B. x2−2=(x+3)2
C. x2+5=0D. ax2+bx+c=0
2.已知菱形的两条对角线长分别是4和6，则菱形的面积为( )
A. 48B. 24C. 12D. 9
3.如图，菱形的对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，且OE=3，则CD的长是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
4.下列命题中正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
5.根据表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是( )
A. 1.16.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若AB=OB=1，则FO的长度为( )
A. 32B. 3−1
C. 12D. 3−12
7.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2−6x+8=0的两根．则该等腰三角形的周长是( )
A. 2B. 8C. 10D. 10或8
8.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为( )
A. 4
B. 2 3
C. 2 2
D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.方程x(x−2)+3(x−2)=1化成一般形式是______．
10.如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接BF，则∠CBF的度数为______．
11.关于x的一元二次方程x2+4x−3a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
12.若x1，x2是方程x2+x−2=0的两根，则(x1−2)(x2−2)的值为______．
13.如图，在正方形ABCD中，AB=2，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别为边BC、CD上的动点(不与端点重合)，且BE=CF，连接OE、OF、EF，则线段EF的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.（4分）解方程：x(x+2)=3x+2．
15.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，请用尺规作图法，以AC为对角线求作一个菱形AECF，点E在AD上，点F在BC上.(保留作图痕迹，不写作法)
16.（5分）已知关于x的一元二次方程x2+(2m−3)x+m2=0的两个不相等的实数根α，β，且满足α+β=αβ，求m的值．
17.（5分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠AEB=∠AFD，求证：BE=DF．
18.（5分）【阅读材料】
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．
19.（6分）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)当四边形ABCD的对角线满足______条件时，四边B形EFGH是矩形？并说明理由．
20.（6分）已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程2x2−2mx+m−12=0的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
(2)若AB=2，求▱ABCD的周长．
21.（6分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+3−3k2=0.若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．
22.（6分）已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+1)x+k+2=0有两个实数根，则k的取值范围是______．
23.（7分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE，若∠AFC=2∠D.求证：四边形ABEC是矩形．
24.（7分）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.(0(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(2)连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于8cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
25.（7分）有两个全等的三角形纸片△ABC和△DEF，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F，将△ABC和△DEF按如图所示方式摆放，斜边AC和DF的中点重合(标记为点O)，DE交AB于点G.当DF/​/AB时，试判断四边形AGDO的形状，并说明理由．
26.（12分）定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．

(1)连结EC，BG，问EC，BG的数量关系和位置关系是什么？请说明理由．
(2)四边形BCGE ______“中方四边形”(此空填“是”或“不是”)
拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点．
(3)试探索BD与MN的数量关系，并说明理由．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.C
5.C
6.D
7.C
8.C
9.x2+x−7=0
10.45°
11.a>−43
12.0
13. 2
14.解：∵x(x+2)=3x+2，
∴x2−x−2=0，
∴(x−2)(x+1)=0，
∴x−2=0或x−3=+1，
解得x1=−1，x2=2．
15.解：①分别以A、C为圆心，大于12AC长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，
②连接MN，分别与AD、AC、BC，交于点E、O、F，
③连接CE、AF；
如图，

根据作图可知：EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，AE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠OEA=∠OFC，∠OAE=∠OCF，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE/​/CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形，
∴菱形AECF即为所求．
16.解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2m−3)2−4m2>0，
解得：m<34，
依题意得：α+β=3−2m，αβ=m2，
∵α+β=αβ，
∴3−2m=m2，即m2+2m−3=0，
解得：m1=1，m2=−3，
∵m<34，
∴m=−3．
17.证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE与△ADF中，
∠B=∠D∠AEB=∠AFDAB=AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴BE=DF．
18.证明：由作图可知AD=AB=BC，
∵AE//BF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
19.(1)证明：如图，连接BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH//BD，EH=12BD，
同理FG//BD，FG=12BD，
∴EH//FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)互相垂直
理由如下：
如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH//BD，HG//AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故答案为：互相垂直．
20.解：(1)因为四边形ABCD是菱形，
所以AB=AD，则方程有两个相等的实数根，
则Δ=(−2m)2−4×2×(m−12)=0，
解得m=1．
(2)∵AB=2，
∴8−4m+m−12=0，
解得m=52，
因此，原方程为2x2−5x+2=0，
则AB+AD=52，
∴▱ABCD的周长为2(AB+AD)=5．
21.解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得，3+t=−6，3t=3−3k2，
解得t=−9，k=± 10，
即k的值为± 10，方程的另一个根为−9．
22.解：∵关于x的一元二次方程kx2−(2k+1)x+k+2=0有两个实数根，
∴k≠0△=[−(2k+1)]2−4k(k+2)≥0，
解得：k≤14且k≠0．
23.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，∠ABC=∠D，
∵CE=CD，
∴AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BC=2BF，AE=2AF，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAE=2∠D，
∴∠ABC=∠BAE，
∴AF=BF，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
24.解：(1)在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒(0∴BQ=2t cm，AP=t cm，
∴PB=AB−AP=(5−t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得PQ2=PB2+BQ2，
∴(5−t)2+(2t)2=52，
解得t1=0(舍去)，t2=2，
∴当t=2时，PQ的长度等于5cm；
(2)由题意得：CQ=BC−BQ=(6−2t)cm，
∵△PQC的面积等于8cm2，
∴12CQ⋅PB=8，
∴12(5−t)(6−2t)=8，
∴t=1或t=7(舍去)，
∴当t=1时，使得△PQC的面积等于8cm2．
25.解：四边形AGDO是菱形，理由如下：
∵∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F，
∴∠A=∠D，
∵DF//AB，
∴∠BGD=∠D，
∴∠BGD=∠A，
∴DG//AO，
∴四边形AGDO是平行四边形，
∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
又∵点O是斜边AC和DF的中点，
∴AO=12AC=12DF=DO，
∴平行四边形AGDO是菱形．
26.(1)结论：CE=BG，CE⊥BG．
理由：如图2中，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
∴∠EAC=∠BAG，
∴△EAC≌△BAG(SAS)，
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°，
∴EC⊥BG；
(2)是“中方四边形“．
理由：如图2，设四边形BCGE的边BC、CG、GE、BE的中点分别为M、N、R、L，
∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR，RL，LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MN//BG，MN=12BG，RL//BG，RL=12BG，RN//CE，RN=12CE，ML//CE，ML=12CE，
∴MN//RL，MN=RL，RN//CE//ML，RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵CE=BG，
又∵RL=12BG，RN=12CE，
∴RL=RN，
∴平行四边形MNRL是菱形，
∵∠BKP=90°，
又∵MN//BG，ML//CE，
∴∠LMN=90°．
∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”．
(3)结论：MN= 22BD，理由如下：
如图3，记AD、BC的中点分别为E、F，连接EM，MF，FN，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
∴四边形ENFM是正方形，
∴FM=FN，∠MFN=90°，
∴MN= FM2+FN2= 2FM，
∵N，F分别是DC，BC的中点，
∴FN=12BD，
∴MN= 22BD，
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
−3.59
−2.16
−0.71
0.76
老师的问题：
已知：如图，AE/​/BF．
求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上．
小明的作法：
(1)以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D；
(2)以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；
(3)连接CD．
四边形ABCD就是所求作的菱形．