2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线3x+2y−1=0的一个方向向量是( )
A. (2,−3)B. (2,3)C. (−3,2)D. (3,2)
2.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，G为棱AD的中点，若BA=a，BC=b，BD=c，则CG=( )
A. 12a−b+12c
B. 12a+b+12c
C. 32a−12b+12c
D. 32a+12b+12c
3.设直线l的方程为x−ysinθ+2=0，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A. [0,π]B. [π4,π2]C. [π4,3π4]D. [π4,π2)∪(π2,3π4]
4.若直线y=x+2k+1与直线y=−12x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是( )
A. (−52,12)B. (−25,12)C. [−52,−12]D. [−52,12]
5.已知圆C的圆心在x轴上且经过A(1,1)，B(2,−2)两点，则圆C的标准方程是( )
A. (x−3)2+y2=5B. (x−3)2+y2=17
C. (x+3)2+y2=17D. x2+(y+1)2=5
6.已知圆C的方程为x2+y2−2mx+4my+5m2−3m+3=0，若点(1,−2m)在圆外，则m的取值范围是( )
A. (−∞,1)∪(4,+∞)B. (1,+∞)
C. (1,4)D. (4,+∞)
7.已知Q为直线l：x+2y+1=0上的动点，点P满足QP=(1,−3)，记P的轨迹为E，则( )
A. E是一个半径为 5的圆B. E是一条与l相交的直线
C. E上的点到l的距离均为 5D. E是两条平行直线
8.已知直线l1：mx+y+4=0与直线l2：x−my−6−4m=0交于点P(x0,y0)，则x02+y02的最大值为( )
A. 4B. 8C. 32D. 64
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：2x+y+n=0，l2：4x+my−4=0互相平行，且l1，l2之间的距离为35 5，则m+n=( )
A. −3B. −2C. 3D. 5
10.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，且λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A(−2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|= 2|MB|，则下列说法正确的是( )
A. 点M的轨迹围成区域的面积为32π
B. 点M的轨迹关于直线x−y−6=0对称
C. 点M到原点的距离的最大值为6
D. △ABM面积的最大值为8 2
11.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1=2，点P为线段BC1上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线A1P/​/平面ACD1
B. 三棱锥P−ACD1的体积为23
C. 三棱锥A−CC1D1的外接球的表面积为9π2
D. 直线A1P与平面BCC1B1所成角的正弦值的最大值为 306
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1：(a−2)x+y−3=0和直线l2：x+ay+1=0垂直，则实数a= ______．
13.已知P(x,y)是圆x2+(y−3)2=1上的动点，定点A(2,0)，B(−2,0)，则PA⋅PB的最大值为______．
14.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求过两直线x−2y+4=0和x+y−2=0的交点P，且分别满足下列条件的直线l的方程．
(1)过点(2,1)；
(2)和直线3x−4y+5=0垂直．
16.(本小题15分)
平面直角坐标系中有点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(−1,2)，这四点能否在同一个圆上？为什么？
17.(本小题15分)
已知动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为12，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
18.(本小题17分)
已知λ为任意实数，当λ变化时，方程x+y−2+λ(3x+y−4)=0．
(1)此方程表示什么图形？图形有什么特点？
(2)求点P(−2,−1)与此方程所表示的图形的距离的最大值，并求出此时λ的值．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB= 3．
(1)若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为 427，求AD．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.A
5.A
6.D
7.C
8.D
9.AC
10.ABD
11.ABD
12.1
13.12
14. 22
15.解：由x−2y+4=0x+y−2=0解得x=0y=2，∴P(0,2)．
(1)由两点的坐标求得斜率为kl=−12，由点斜式求得直线方程为y=−12x+2，即x+2y−4=0．
(2)所求直线的斜率为k2=−43，由点斜式求得直线方程为y=−43x+2，即4x+3y−6=0．
16.解：设过的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0…(2分)
将点A、B、D的坐标分别代入圆的方程，
得1+E+F=04+1+2D+E+F=01+4−D+2E+F=0，
解得：D=−2，E=−6，F=5，
得圆的方程为x2+y2−2x−6y+5=0…(8分)
将点C的坐标代入上述所得圆的方程，方程成立
点C在该圆上，…(10分)
四个点在同一个圆上．…(12分)
17.解：设点M(x,y)，
动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为12，
则|MO||MA|= x2+y2 (x−3)2+y2=12，化简整理可得，(x+1)2+y2=4，
轨迹的形状为以(−1,0)为圆心，2为半径的圆．
18.解：(1)令3x+y−4=0x+y−2=0，解得x=1y=1，
故当λ变化时，方程x+y−2+λ(3x+y−4)=0表示过直线3x+y−4=0和直线x+y−2=0的交点(1,1)，
除直线3x+y−4=0以外的所有直线，包括直线x+y−2=0．
(2)当过P(−2,−1)和点A(1,1)的直线与所给方程表示的图形垂直时，此时距离最大，
则最大值为 (−2−1)2+(−1−1)2= 13，
此时kPA=1+11+2=23，
故(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0的斜率为−32，
故−32=−1+3λ1+λ，解得λ=13．
19.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，
又因为AD⊥PB，PA∩PB=P，PA,PB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB，
因为AB= 3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，
于是AD/​/BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC．
所以AD/​/平面PBC．
(2)因为AD⊥DC，以D为原点，分别以DA，DC，为x，y轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=a>0，则DC= 4−a2，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0, 4−a2,0)，P(a,0,2)，
设平面DCP的一个法向量n1=(x1,y1,z1)，因为DC=0, 4−a2,0，DP=a,0,2，
所以由DC·n1=0DP·n1=0，即 4−a2⋅y1=0ax1+2z1=0，
可取n1=(2,0,−a)；
又AP=(0,0,2)，AC=(−a, 4−a2,0)，
设平面ACP的一个法向量n2=(x2,y2,z2)，所以AP·n2=0AC·n2=0由2z2=0−ax2+ 4−a2y2=0,
取n2=( 4−a2,a,0)，
因为二面角A−CP−D的正弦值为 427，所以余弦值的绝对值为1 7．
所以由csn1,n2=1 7=n1⋅n2|n1|·n2=2 4−a22 4+a2，得a2=3，a= 3，
因此，AD= 3．